Micro- and nanoelectromechanical sy

Micro- and nanoelectromechanical systems (MEMS and NEMS) are increasingly spawning a wide range of sensing applications, including detection of mass, force, and spin. In addition, they can also be used as time reference devices and as basic tools to explore fundamental physical processes and dynamical effects. At small vibrational amplitudes these systems behave as linear mechanical devices. However as the amplitude increases, nonlinear effects are readily manifested. This becomes of central importance in all of the aforementioned fields of application. For example, nonlinear phenomena impose a fundamental limit for the minimum detectable frequency shift, while simultaneously enabling rich and complex dynamical behavior. Arguably the most utilized mathematical description of the deformation of MEMS and NEMS cantilever beams is Euler-Bernoulli theory. We observe that this theory accurately ( ) predicts the resonant frequencies and other linear parameters for the flexural vibration modes of thin cantilever beams of aspect ratios (AR = length/width) greater than two; see Appendix I. The generic Euler-Bernoulli theory implicitly assumes the beam to be one-dimensional and is formally valid in the asymptotic limit of infinite AR. For beams of finite AR and non-negligible thickness, it is sometimes necessary to include the effects of transverse or shear deformation respectively, although these effects are second-order and can be often ignored in experimental design and application. As introduced before, nonlinear behavior manifests for finite amplitude of motion. This is true not only at the micro- and nano-scale, but also for macroscopic structures such as airplane wings. Consequently, an effort to predict the dynamics of the nonlinear response and the parameters governing it has recently gained momentum.Nonlinearity in the dynamic response of mechanical structures can have a multitude of origins, including transduction effects (actuation/detection), material properties (nonlinear constitutive relations), non-ideal boundary conditions, damping mechanisms,adsorption/desorption processes, and geometric/inertial effects. Geometric nonlinearities can appear in any mechanical structure when large deformations induce a nonlinear relation between strain and curvature, thus modifying the effective stiffness of the structure. Inertial nonlinearities are typically induced through the generation of additional degrees of freedom in the motion, which serve to enhance the effective mass of the structure. The intrinsic (i.e. originating from the mechanical structure) nonlinear response of doubly clamped beams has been shown to be dominated by a geometric nonlinearity due to enhanced tension along the beam. Stiffening behavior is observed, which is accurately predicted by Euler-Bernoulli theory. In contrast, the nonlinear response of cantilever beams has received comparatively little attention. Most articles report theoretical investigations of the nonlinear response of these structures. These studies predict a stiffening nonlinearity for the fundamental mode, while the higher order modes are predicted to be softening in nature. Strikingly, experimental assessment of the validity of such calculations for the fundamental mode has been limited in geometrical range and statistical analysis, and has not provided measurements with linear transduction.In this article, we address this issue and present detailed experimental results for the intrinsic nonlinear resonant responses of nanomechanical cantilever beams. In particular, we study the first and second flexural out-of-plane modes. The fabrication of these devices and the transduction of their motion are optimized in order to minimize the effect of other sources of nonlinearity. We show that Euler-Bernoulli beam theory yields predictions for the first mode that significantly deviate from our experimentally observed data, especially for cantilevers of low AR. In contrast, excellent agreement between theory and measurement is observed for the second mode. These results have significant implications for experimental design and interpretation, and are expected to stimulate further improvement in theoretical modeling beyond Euler-Bernoulli beam theory, as we discuss below.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ไมโครและระบบ nanoelectromechanical (MEMS และ NEMS) มีมากขึ้นวางไข่ที่หลากหลายของการใช้งานการตรวจวัดรวมทั้งการตรวจสอบมวลแรงและหมุน นอกจากนี้พวกเขายังสามารถใช้เป็นอุปกรณ์การอ้างอิงเวลาและเครื่องมือพื้นฐานในการสำรวจเป็นกระบวนการทางกายภาพพื้นฐานและผลกระทบพลัง ช่วงกว้างของคลื่นที่สั่นสะเทือนขนาดเล็กระบบเหล่านี้ประพฤติอุปกรณ์เชิงกลเป็นเชิงเส้นแต่เป็นเพิ่มความกว้างผลเชิงประจักษ์ได้อย่างง่ายดาย นี้จะกลายเป็นความสำคัญกลางในทุกสาขาของโปรแกรมดังกล่าว ตัวอย่างเช่นปรากฏการณ์เชิงกำหนดขีด จำกัด พื้นฐานสำหรับการปรับเปลี่ยนความถี่ที่ตรวจพบต่ำสุดในขณะเดียวกันทำให้พฤติกรรมพลังหลากหลายและซับซ้อนเนื้อหาที่อธิบายทางคณิตศาสตร์ใช้มากที่สุดของความผิดปกติของเมมส์และ NEMS คานเท้าแขนเป็นทฤษฎีออยเลอร์-Bernoulli เราสังเกตว่าทฤษฎีนี้ถูกต้อง () คาดการณ์ความถี่และพารามิเตอร์เชิงเส้นอื่น ๆ สำหรับโหมดการสั่นสะเทือนแรงดัดของคานเท้าแขนบางของอัตราส่วน (ar = ความยาว / กว้าง) มากกว่าสองดูภาคฉันออยเลอร์ทฤษฎี-Bernoulli ทั่วไปโดยปริยายถือว่าคานจะเป็นหนึ่งมิติและมีผลบังคับใช้อย่างเป็นทางการในขีด จำกัด ของ asymptotic ar ไม่มีที่สิ้นสุด เพื่อคานของความหนา จำกัด เท่และไม่เล็กน้อยบางครั้งมันเป็นสิ่งที่จำเป็นที่จะรวมถึงผลกระทบของการเฉือนตามขวางหรือความผิดปกติตามลำดับแม้ว่าผลกระทบเหล่านี้เป็นลำดับที่สองและมักจะละเลยในการออกแบบการทดลองและการประยุกต์ใช้ เป็นที่รู้จักก่อนที่จะมีพฤติกรรมไม่เชิงเส้นแสดงออกเพื่อความกว้าง จำกัด ของการเคลื่อนไหว นี้เป็นจริงไม่เพียง แต่ที่ไมโครและนาโน แต่ยังสำหรับโครงสร้างเปล่าเช่นปีกเครื่องบิน ดังนั้นความพยายามที่จะคาดการณ์การเจริญเติบโตของการตอบสนองเชิงเส้นและพารามิเตอร์ที่ควบคุมมันได้รับเมื่อเร็ว ๆ นี้ momentum.nonlinearity ในการตอบสนองแบบไดนามิกของโครงสร้างทางกลที่สามารถมีความหลากหลายของแหล่งกำเนิดรวมทั้งผลกระทบพลังงาน (การดำเนินการ / การตรวจสอบ) คุณสมบัติของวัสดุ (ความสัมพันธ์เชิงเส้นที่เป็นส่วนประกอบ ) เงื่อนไขขอบเขตที่ไม่เหมาะสำหรับการทำให้หมาด ๆ กลไกกระบวนการดูดซับ / คายและเรขาคณิต / ผลกระทบแรงเฉื่อย nonlinearities เรขาคณิตสามารถปรากฏในโครงสร้างทางกลใด ๆ เมื่อรูปร่างขนาดใหญ่ทำให้เกิดความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างความเครียดและความโค้งจึงปรับความแข็งที่มีประสิทธิภาพของโครงสร้าง nonlinearities เฉื่อยจะเกิดมักจะผ่านรุ่นองศาเพิ่มเติมของเสรีภาพในการเคลื่อนไหวที่ซึ่งให้บริการเพื่อเพิ่มมวลที่มีประสิทธิภาพของโครงสร้าง ที่แท้จริง (ที่มาคือจากโครงสร้างทางกล) การตอบสนองเชิงเส้นของคานบีบทวีคูณได้รับการแสดงที่จะถูกครอบงำโดยไม่เป็นเชิงเส้นทางเรขาคณิตเนื่องจากความตึงเครียดที่เพิ่มขึ้นตามคาน พฤติกรรมแข็งเป็นที่สังเกตซึ่งเป็นที่คาดการณ์ได้อย่างถูกต้องตามทฤษฎีออยเลอร์-Bernoulli ในทางตรงกันข้ามการตอบสนองที่ไม่เป็นเชิงเส้นของคานสะพานได้รับความสนใจน้อยเมื่อเทียบกับ บทความส่วนใหญ่รายงานการตรวจสอบทฤษฎีของการตอบสนองเชิงเส้นของโครงสร้างเหล่านี้ การศึกษาเหล่านี้ทำนายเชิงเส้นแข็งสำหรับโหมดพื้นฐานในขณะที่โหมดการสั่งซื้อที่สูงขึ้นคาดว่าจะมีการชะลอตัวในธรรมชาติ อย่างยอดเยี่ยมการประเมินผลการทดลองของความถูกต้องของการคำนวณดังกล่าวสำหรับโหมดพื้นฐานได้ถูก จำกัด อยู่ในช่วงทางเรขาคณิตและการวิเคราะห์ทางสถิติและไม่ได้ให้การวัดด้วยเส้น transduction.in บทความนี้เราจะแก้ไขปัญหานี้และผลการทดลองนำเสนอรายละเอียดสำหรับการตอบสนองภายในจังหวะไม่เชิงเส้น ของคานเท้าแขน nanomechanical โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราศึกษาดัดเป็นครั้งแรกและครั้งที่สองออกจากโหมดเครื่องบิน การประดิษฐ์ของอุปกรณ์เหล่านี้และพลังงานของการเคลื่อนไหวของพวกเขาได้รับการปรับให้เหมาะสมเพื่อลดผลกระทบจากแหล่งอื่น ๆ ไม่เป็นเชิงเส้น เราแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีคานออยเลอร์-Bernoulli ทำให้การคาดการณ์สำหรับโหมดแรกอย่างมีนัยสำคัญที่แตกต่างจากข้อมูลที่สังเกตทดลองของเราโดยเฉพาะอย่างยิ่งของ cantilevers ar ต่ำในทางตรงกันข้ามการทำข้อตกลงที่ดีระหว่างทฤษฎีและการวัดเป็นที่สังเกตสำหรับโหมดที่สอง ผลลัพธ์เหล่านี้มีผลกระทบอย่างมีนัยสำคัญสำหรับการออกแบบการทดลองและการตีความและที่คาดว่าจะกระตุ้นให้เกิดการพัฒนาต่อไปในการสร้างแบบจำลองทางทฤษฎีเกินทฤษฎีคานออยเลอร์-Bernoulli ที่เราหารือเกี่ยวกับด้านล่าง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ระบบไมโครและ nanoelectromechanical (MEMS และ NEMS) ขึ้นวางไข่หลากหลายตรวจโปรแกรมประยุกต์ รวมถึงตรวจสอบมวล แรง และหมุน พวกเขายังสามารถใช้ เป็นอุปกรณ์อ้างอิงเวลา และ เป็นเครื่องมือพื้นฐานกระบวนการทางกายภาพพื้นฐานและผล dynamical ในช่วงเล็ก ๆ vibrational ระบบเหล่านี้ทำงานเป็นอุปกรณ์เชิงกล อย่างไรก็ตาม เป็นความกว้างเพิ่มขึ้น ลักษณะไม่เชิงเส้นจะพร้อมประจักษ์ นี้กลายเป็นศูนย์กลางสำคัญในฟิลด์ดังกล่าวของโปรแกรมประยุกต์ทั้งหมด ตัวอย่าง ปรากฏการณ์ไม่เชิงเส้นกำหนดขีดจำกัดพื้นฐานสำหรับกะความถี่ต่ำสุดที่สามารถตรวจสอบได้ ในขณะที่พร้อมเปิดใช้งานลักษณะ dynamical หลากหลาย และซับซ้อน ว่าคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ใช้งานมากที่สุดของแมพของ MEMS และ NEMS cantilever คานเป็นทฤษฎี Bernoulli ออยเลอร์ เราสังเกตว่า ทฤษฎีนี้ถูกต้อง()ทำนายความถี่คงที่และพารามิเตอร์อื่น ๆ เชิงเส้นสำหรับแบบวิธี flexural สั่นสะเทือนบาง cantilever คานของอัตราส่วนกว้างยาว (AR =ความยาว/กว้าง) มากกว่าสอง ดูภาคผนวกฉัน ทฤษฎี Bernoulli ออยเลอร์ทั่วไปสันนิษฐานคานเป็น one-dimensional และมีผลบังคับใช้อย่างเป็นกิจจะลักษณะในจำนวนอนันต์ AR. asymptotic นัย สำหรับคานของ AR มีจำกัดและไม่ใช่ระยะความหนา บางครั้งจำเป็นต้องรวมผลของการขวาง หรือแรงเฉือนแมพตามลำดับ แม้ว่าผลกระทบเหล่านี้เป็นลำดับที่สอง และสามารถมักจะ ถูกละเลยในการออกแบบการทดลองและการประยุกต์ เป็นนำก่อน ปรากฏพฤติกรรมไม่เชิงเส้นสำหรับจำกัดความกว้างของการเคลื่อนไหว นี้เป็นจริงไม่เพียงแต่ที่แบบไมโคร - และนาโนสเกล แต่ยังสำหรับโครงสร้าง macroscopic เช่นปีกเครื่องบิน ดังนั้น ความพยายามที่จะทำนายของการตอบสนองที่ไม่เชิงเส้นและพารามิเตอร์ที่ควบคุมมันเพิ่งได้รับโมเมนตัมNonlinearity ในการตอบสนองแบบไดนามิกของโครงสร้างเครื่องจักรกลได้หลากหลายต้นกำเนิด รวม transduction ผล (ตรวจ actuation), คุณสมบัติวัสดุ (ไม่เชิงเส้นความสัมพันธ์ขึ้น) เงื่อนไขขอบเขตไม่เหมาะ กลไก ตสากรรมการกระบวนการดูด ซับ/desorption และลักษณะ เรขาคณิต/inertial Nonlinearities เรขาคณิตสามารถปรากฏอยู่ในโครงสร้างเครื่องจักรกลใด ๆ เมื่อ deformations ขนาดใหญ่ก่อให้เกิดความสัมพันธ์ไม่เชิงเส้นระหว่างต้องใช้โค้ง ปรับเปลี่ยนโครงสร้างพังผืดที่มีประสิทธิภาพดังนั้น Inertial nonlinearities โดยทั่วไปจะเกิดผ่านการสร้างเพิ่มองศาความเป็นอิสระในการเคลื่อนไหว การให้บริการเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพโดยรวมของโครงสร้าง ใน intrinsic (เช่นสามารถเริ่มต้นได้จากโครงสร้างเครื่องจักรกล) ตอบสนองไม่เชิงเส้นของคาน clamped สองเหตุการณ์ได้รับการแสดงจะถูกครอบงำ โดย nonlinearity เรขาคณิตเนื่องจากความตึงเครียดเพิ่มขึ้นไปตามคาน Stiffening พฤติกรรมย่อย ที่แม่นยำทำนาย โดยทฤษฎี Bernoulli ออยเลอร์ ในทางตรงกันข้าม การตอบสนองที่ไม่เชิงเส้นของคาน cantilever ได้รับความสนใจน้อยดีอย่างหนึ่ง บทความส่วนใหญ่รายงานการตรวจสอบทฤษฎีของการตอบสนองที่ไม่เชิงเส้นของโครงสร้าง การศึกษานี้ทำนายว่า nonlinearity stiffening สำหรับโหมดพื้นฐาน ในขณะที่โหมดสั่งสูงคาดว่า จะถูกชะลอในธรรมชาติ กว่า ทดลองประเมินมีผลบังคับใช้ของการคำนวณดังกล่าวสำหรับโหมดพื้นฐานได้ถูกจำกัดในช่วง geometrical และวิเคราะห์ทางสถิติ และได้ให้วัด ด้วยเส้น transductionในบทความนี้ เราปัญหานี้ และนำเสนอรายละเอียดทดลองผลลัพธ์สำหรับคำตอบคงไม่เชิงเส้นการ intrinsic ของ nanomechanical cantilever คาน โดยเฉพาะ เราศึกษาวิธีการออกของเครื่องบินที่แรก และสอง flexural ผลิตอุปกรณ์เหล่านี้และ transduction ของการเคลื่อนไหวของพวกเขาเพิ่มประสิทธิภาพเพื่อลดผลของ nonlinearity แหล่งอื่น ๆ แสดงว่า ทฤษฎี Bernoulli ออยเลอร์ลำแสงทำให้คาดคะเนในโหมดแรกที่แตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากข้อมูลสังเกต experimentally โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ cantilevers AR. ต่ำ ในทางตรงกันข้าม แห่งข้อตกลงระหว่างทฤษฎีและการวัดเป็นสังเกตสำหรับวิธีสอง ผลลัพธ์เหล่านี้มีนัยสำคัญสำหรับการออกแบบการทดลองและการตีความ และคาดว่าจะกระตุ้นเพิ่มเติมปรับปรุงในทฤษฎีโมเดลนอกเหนือจากทฤษฎี Bernoulli ออยเลอร์ลำแสง เป็นเราหารือด้านล่าง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

Micro - ระบบ nanoelectromechanical และ( mems nems )และมีปลาไข่ความหลากหลายของแอปพลิเคชันการตรวจจับรวมถึงการตรวจจับของมวลชนมีผลใช้บังคับแล้วหมุนมากขึ้น นอกจากนี้ผู้ใช้ยังสามารถใช้เป็นอุปกรณ์การอ้างอิงเวลาและเป็นเครื่องมือพื้นฐานสำหรับการสำรวจกระบวนการทาง กายภาพ ปัจจัยพื้นฐานและผล(จิตใจ)อยู่นิ่งไม่ได้ด้วย ที่ amplitudes Vibrational Exercise ขนาดเล็กระบบเหล่านี้จะทำงานเสมือนเป็นอุปกรณ์ชนิดกลไกแบบ linearแต่ถึงอย่างไรก็ตามยังเป็นการเพิ่มแอมพลิจูด nonlinear ผลได้อย่างสวดอ้อนวอน โรงแรมแห่งนี้จะกลายเป็นศูนย์กลางของความสำคัญในฟิลด์ดังกล่าวของแอปพลิเคชันทั้งหมด ตัวอย่างเช่นปรากฏการณ์ nonlinear กำหนดวงเงินขั้นพื้นฐานสำหรับการเปลี่ยนแปลงความถี่สามารถจะสืบค้นได้อย่างน้อยในขณะที่ได้พร้อมกันซึ่งช่วยให้การทำงานเคลื่อนที่ที่หลากหลายและคอมเพล็กซ์ที่ถกเถียงกันว่าเป็นคำอธิบายทางคณิตศาสตร์มากที่สุดของการทำให้ผิดรูปของ mems และ nems คานยื่นถ่วงกันเองเป็นทฤษฎี euler-bernoulli เราสังเกตว่าทฤษฎีนี้ได้อย่างถูกต้อง()คาดว่าความถี่และความถี่ของคลื่นวิทยุที่พารามิเตอร์ตามแนวยาวอื่นๆสำหรับโหมดการสั่นสะเทือน flexural ของคานยื่นถ่วงกันเองบางแง่มุมของเกียร์(ความกว้าง=ความยาว/อาร์เจนตินา)มากกว่าสองดู I . ภาคผนวก A :ทฤษฎีทั่วไป, euler-bernoulli ที่ถือได้ว่าจะถือลำแสงที่เป็นหนึ่งเดียวและมีผลบังคับใช้อย่างเป็นทางการในการจำกัด asymptotic ของอาร์เจนตินาแบบไม่มีขอบเขต สำหรับคานของความหนาไม่ใช่เพียงเล็กน้อยและ Ar แบบจำกัดมีความจำเป็นบางครั้งการรวมถึงผลกระทบของการทำให้ผิดรูปตั้งอยู่คนละข้างหรือตัดตามลำดับแม้ว่าผลเหล่านี้เป็นที่สอง - การสั่งซื้อและสามารถมักถูกละเลยในแอปพลิเคชันและทดลองการออกแบบ เป็นการแนะนำก่อน nonlinear เพศตรงข้ามสำหรับแอมพลิจูดแบบจำกัดการเคลื่อนไหว โรงแรมแห่งนี้คือความจริงไม่ใช่เฉพาะที่ micro - และนาโนไดมอนด์ขนาดนี้แต่ยังมีในเชิงโครงสร้างในระดับจุล ภาค เช่นปีกเครื่องบิน ดังนั้นจึงมีผลทำให้ผลความพยายามที่จะทำนายพลวัตของการตอบสนอง nonlinear และพารามิเตอร์ที่ควบคุมได้รับแรง. nonlinearity ในการตอบสนองแบบไดนามิกของโครงสร้างทางกลไกเมื่อไม่นานมานี้จะมีมวลชนที่เหล่ารวมถึงผลกระทบ transduction (การตรวจจับการดุน/)คุณสมบัติของวัสดุ(ความสัมพันธ์จัดตั้ง nonlinear )ไม่เหมาะสมอย่างดีเยี่ยมเขตกันสะเทือนกลไกadsorption กระบวนการ/ desorption และผลกระทบ/รูปทรงเรขาคณิตแบบไหล nonlinearities รูปทรงเรขาคณิตจะปรากฏในโครงสร้างทางกลไกใดๆที่อาจเกิดขึ้นเมื่อความผิดเพี้ยนหรือ nonlinear ขนาดใหญ่ทำให้ความสัมพันธ์ระหว่างความโค้งความเมื่อยล้าและทำการแก้ไขอย่างมี ประสิทธิภาพ ที่สามารถรับแรงกระแทกของโครงสร้างที่ nonlinearities แบบไหลผ่านมีผลทำให้เกิดการสร้างเพิ่มเติมในระดับของความเป็นอิสระในการเคลื่อนไหวโดยทั่วไปซึ่งจัดให้บริการเพื่อเพิ่ม ประสิทธิภาพ การทำงานอย่างมี ประสิทธิภาพ โครงสร้าง ในเนื้อแท้(เช่นการเริ่มต้นจากโครงสร้างทางกลไก)การตอบสนอง nonlinear ของคานสองพันกันหรือไม่มีการแสดงต้องถูกครอบงำโดย nonlinearity รูปทรงเรขาคณิตเนื่องจากการเพิ่มความตึงเครียดตามแนวลำแสง พบว่ามีพฤติกรรมการหนุนซึ่งเป็นได้อย่างถูกต้องคาดว่าโดยทฤษฎี euler-bernoulli ในความเปรียบต่างการตอบสนอง nonlinear คานยื่นถ่วงกันเองได้รับความสนใจน้อยกว่า บทความรายงานการสอบสวนในทางทฤษฎีของการตอบสนอง nonlinear ของโครงสร้างเหล่านี้ การศึกษาเหล่านี้ทำนาย nonlinearity หนุนสำหรับโหมดพื้นฐานที่ในขณะที่โหมดการสั่งซื้อสูงกว่าจะคาดว่าจะอ่อนในธรรมชาติ จับตาทดลองการประเมินผลการปฏิบัติงานของความสมบูรณ์ของการคำนวณขนาดของแหล่งจ่ายไฟสำหรับโหมดพื้นฐานที่ได้รับการจำกัด(มหาชน)ในกลุ่มเลขาคณิตและการวิเคราะห์ข้อมูลทางสถิติและยังไม่มีการวัดพร้อมด้วย transduction ตามแนวยาวในข้อนี้เราแอดเดรสปัญหานี้และมีผลการทดลองโดยละเอียดในการตอบกลับได้ nonlinear พิสดารของคานวิธี nanomechanical ในเฉพาะเราศึกษาโหมด flexural out - of - เครื่องบินเป็นครั้งแรกและครั้งที่สอง เสกสรรปั้นแต่งของอุปกรณ์เหล่านี้และ transduction ที่มีการเคลื่อนไหวของพวกเขาได้รับการปรับแต่งเพื่อลดผลกระทบในแหล่งอื่นๆของ nonlinearity เราแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีลำแสง euler-bernoulli อัตราผลตอบแทนการคาดเดาสำหรับโหมดแรกที่มีนัยสำคัญเบี่ยงเบนจากข้อมูลพบว่าทดลองของเราโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ cantilevers ของอาร์เจนตินาต่ำในทางตรงกันข้ามความตกลงที่ดีเยี่ยมระหว่างการวัดและพบว่ามีทฤษฎีในโหมดที่สอง ผลการทดสอบนี้มีผลอย่างมีนัยสำคัญสำหรับการแปล ภาษา และการออกแบบการทดลองและคาดว่าจะกระตุ้นให้การปรับปรุงเพิ่มเติมในการสร้างแบบจำลองในเชิงทฤษฎีมากกว่าทฤษฎีลำแสง euler-bernoulli ที่เราพูดคุยกันถึงด้านล่าง