The contribution of Subrahmanyam’s

The contribution of Subrahmanyam’s work is in [ 5,6,7].

Later Raja Gopala rao [2] has generalized the concept of B-vector spaces to vector spaces over regular rings ( simply R-vector spaces) .

He studied several properties of these spaces in [ 2,3] , generalizing the results of Subrahmanayam.

Also Venkateswarlu [8] has introduced the concept of direct sums in R- vector spaces and has proved that ) (∑ n i iG )* is a basis for ) (∑ n i iV if V1…..Vn are vector spaces over the same regular ring R having bases G1* , ……Gn* respectively.

In this paper we introduce the concept of strong linear homomorphism from an R- Vector space V into another R-Vector space W and give a necessary and sufficient condition of a linear homomorphism to be strongly linear homomorphism ( see theorem 2.5)

.Also we prove that G* is a basis for V then T(G*) is a basis for T(V)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ผลงานของการทำงานของ Subrahmanyam อยู่ใน [5,6,7] ภายหลังราว Gopala ราชา [2] มีทั่วไปแนวคิดของพื้นที่ B เวกเตอร์เวกเตอร์พื้นที่ผ่านแหวนปกติ (เพียงเวกเตอร์ R พื้นที่) เขาศึกษาคุณสมบัติหลาย ๆ อย่างของใน 2 [3], generalizing ผลลัพธ์ของ Subrahmanayam ยัง Venkateswarlu [8] ได้แนะนำแนวคิดของผลรวมโดยตรงใน R - เวกเตอร์พื้นที่ และได้พิสูจน์ที่) (∑ n ผม iG) * ยังเป็นพื้นฐาน) (∑ n ผม iV ถ้า V1... Vn เป็นเวกเตอร์พื้นที่ผ่านเหมือนมีวงแหวนปกติ R ฐาน G1 *, ... Gn * ตามลำดับ ในเอกสารนี้ เราแนะนำแนวคิดของ homomorphism เชิงเส้นที่แข็งแรงจากการ R - เวกเตอร์ V เป็นเวกเตอร์ R พื้นที่อื่น W และให้เงื่อนไขจำเป็น และเพียงพอของ homomorphism แบบเชิงเส้นจะ homomorphism ขอเชิงเส้น (ดูทฤษฎีบท 2.5) . เราพิสูจน์ว่า G * เป็นพื้นฐานสำหรับ V แล้ว T(G*) เป็นพื้นฐานสำหรับ T(V)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ผลงานของการทำงาน Subrahmanyam อยู่ใน [5,6,7].

ต่อมาราชา Gopala ราว [2] ได้ทั่วไปแนวคิดของพื้นที่ B-เวกเตอร์เพื่อเวกเตอร์พื้นที่มากกว่าปกติแหวน (เพียงพื้นที่ R-เวกเตอร์).

เขาศึกษาคุณสมบัติหลาย ๆ อย่างของ ช่องว่างเหล่านี้ใน [2,3] generalizing ผลการ Subrahmanayam ได้.

นอกจากนี้ยัง Venkateswarlu [8] ได้นำแนวคิดของผลบวกโดยตรงในการ R- เวกเตอร์พื้นที่และได้พิสูจน์ให้เห็นว่า) (Σพรรณี iG) * เป็นพื้นฐานสำหรับ a) (Σ พรรณี iV ถ้า V1 ... ..Vn ช่องว่างเวกเตอร์แหวนปกติเดียวกัน R มีฐาน G1 * * * * * ...... Gn ตามลำดับ.

ในบทความนี้เรานำเสนอแนวคิดของ homomorphism เชิงเส้นที่แข็งแกร่งจาก R- เวกเตอร์พื้นที่วีเข้า R- อื่น เวกเตอร์ W พื้นที่และให้เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอของ homomorphism เชิงเส้นที่จะ homomorphism เชิงเส้นอย่างยิ่ง (ดูทฤษฎีบท 2.5)

นอกจากนี้เราพิสูจน์ให้เห็นว่า G * เป็นพื้นฐานสำหรับ V แล้ว T (G *) เป็นพื้นฐานสำหรับ T (V)