Problem 1 (Russia 1996). Find all p

Problem 1 (Russia 1996). Find all positive integers n for which there exist
positive integers x, y and k such that gcd(x, y) = 1, k > 1 and 3
n = x
k + y
k
.
Solution. k should be an odd integer (otherwise, if k is even, then x
k and y
k
are perfect squares, and it is well known that for integers a, b we have 3 | a
2 +b
2
if and only if 3 | a and 3 | b, which is in contradiction with gcd(x, y) = 1.).
Suppose that there exists a prime p such that p | x + y. This prime should
be odd. So vp(3n
) = vp(x
k + y
k
), and using Theorem 2 we have vp(3n
) =
vp(x
k + y
k
) = vp(k) + vp(x + y). But p | x + y means that vp(x + y) ≥ 1 > 0
and so vp(3n) = vp(k) + vp(x + y) > 0 and so p | 3
n. Thus p = 3. This means
x + y = 3m for some positive integer m. Note that n = v3(k) + m. There are
two cases:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ปัญหาที่ 1 (รัสเซีย 1996) พบทุกจำนวนเต็มบวก n ที่มีอยู่ integers บวก
x, y และ k ดังกล่าวว่า, gcd (x, y) = 1 k> 1 และ 3
n = x
ky
k
.
การแก้ปัญหา k ควรจะเป็นเลขคี่ (มิฉะนั้นถ้า k เป็นแม้แล้ว x
k และ y
k
สี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบและเป็นที่รู้จักกันดีว่าสำหรับ integers, b เรามี 3 |
2 b
2
ถ้า และเมื่อ 3 | 3 | b ซึ่งอยู่ในความขัดแย้งด้วย ห.ร.ม. (x,.. y) = 1)
คิดว่ามีนายก p เช่นที่พี | x y ที่สำคัญควร
แปลก ดังนั้น VP (3n
) = VP (x
ky
k
) และการใช้ทฤษฎีบท 2 เรามี VP (3n
) =
VP (x
ky
k
) = VP (k) VP (เซ็กซี่) แต่พี | เซ็กซี่หมายความว่า VP (เซ็กซี่) ≥ 1> 0
และเพื่อ VP (3n) = VP (k) VP (เซ็กซี่)> 0 และดังนั้นพี | 3
n จึง p = 3 นี้หมายความ
เซ็กซี่ = 3m สำหรับบางจำนวนเต็มบวก m ทราบว่า n = v3 (k) ม. มี
สองกรณี

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ปัญหา 1 (รัสเซียปี 1996) มีอยู่ทั้งหมดเป็นจำนวนเต็มบวก n สำหรับการค้นหา
จำนวนเต็มบวก x, y และ k ดังกล่าวนั้น gcd (x, y) = 1, k > 1 และ 3
n = x
k y
k
.
โซลูชัน k ควรเป็นจำนวนเต็มคี่ (มิฉะนั้น ถ้า k เป็นเลขคู่ x แล้ว
k และ y
k
เป็นกำลังสองสมบูรณ์แบบ และเป็นที่รู้จักว่า สำหรับจำนวนเต็ม a, b มี 3 | เป็น
2 b
2
ถ้า และ เมื่อ 3 | การ และ 3 | b ซึ่งอยู่ในความขัดแย้งกับ gcd (x y) = 1)
สมมติว่า มีอยู่ที่จุด p ดังกล่าวที่ p | x y นายกนี้ควร
จะคี่ Vp(3n
) ดังนั้น = vp (x
k y
k
), และใช้ทฤษฎีบท 2 เรามี vp(3n
) =
vp (x
k y
k
) = vp(k) vp(x y) แต่ p | x y หมายความ ว่า vp(x y) ≥ 1 > 0
และดังนั้น vp(3n) = vp(k) vp(x y) > 0 และ p ให้ | 3
n ดังนั้น p = 3 หมาย
x y = 3 เมตรสำหรับบางม.จำนวนเต็มบวก n ที่ทราบ = v3(k) m มี
กรณีที่ 2:

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ปัญหา 1 (รัสเซีย, 1996 ) พบกับทั้งหมดในเชิงบวก integers n ที่มีในเชิงบวก integers
X , Y และ K ที่ gcd ( X , Y )= 1 , K > 1 และ 3
N = x

K K Y
ซึ่งจะช่วย..
โซลูชัน. K ควรจะต้องเป็นเรื่องแปลกจำนวนเต็ม(มิเช่นนั้นแล้วหาก K ได้แล้ว X และ Y
K K

มีสมบรูณ์แบบสี่เหลี่ยมจัตุรัส,และเป็นที่ทราบกันดีว่าสำหรับ integers A , B เรามี 3 |

2 b 2
หากและเฉพาะในกรณีที่ 3 ||และ 3 B ,ที่อยู่ในความขัดแย้งกับ gcd ( X ,Y )= 1 .)..
คิดว่ามีนายกรัฐมนตรี p ที่ P | X , Y ที่ ดีเยี่ยมแห่งนี้ควรจะเป็นเรื่องแปลก
ดังนั้น VP ( 3 N
)= VP ( x

K K Y
),และการใช้บทพิสูจน์ 2 เราได้ VP ( 3 N
)=
VP ( x

K K Y
)= VP ( K ) VP ( X , Y ) แต่ P | X , Y หมายถึงที่ VP ( X , Y )กำหนด≥ 1 > 0
และ VP ( 3 N )= VP ( K ) VP ( X , Y )> 0 และ P | 3
N . ดังนั้น P = 3 ซึ่งหมายความว่าม.
X , Y = 3 สำหรับม.จำนวนเต็มบวกบางอย่าง บันทึกไว้ด้วยว่า n = V 3 ( K )ม. มี
ตามมาตรฐานทั้งสองกรณี: