If a straight line is drawn paralle

If a straight line is drawn parallel to one of the sides of a triangle, then it cuts the sides of the triangle proportionally; and, if the sides of the triangle are cut proportionally, then the line joining the points of section is parallel to the remaining side of the triangle.
Let DE be drawn parallel to BC, one of the sides of the triangle ABC.
I say that BD is to AD as CE is to AE.
java applet or image
Join BE and CD.
I.37
Therefore the triangle BDE equals the triangle CDE, for they are on the same base DE and in the same parallels DE and BC.
And ADE is another triangle.
V.7
But equals have the same ratio to the same, therefore the triangle BDE is to the triangle ADE as the triangle CDE is to the triangle ADE.
VI.1
But the triangle BDE is to ADE as BD is to AD, for, being under the same height, the perpendicular drawn from E to AB, they are to one another as their bases.
For the same reason, the triangle CDE is to ADE as CE is to AE.
V.11
Therefore BD is to AD also as CE is to AE.
Next, let the sides AB and AC of the triangle ABC be cut proportionally, so that BD is to AD as CE is to AE. Join DE.
I say that DE is parallel to BC.
VI.1
V.11
With the same construction, since BD is to AD as CE is to AE, but BD is to AD as the triangle BDE is to the triangle ADE, and CE is to AE as the triangle CDE is to the triangle ADE, therefore the triangle BDE is to the triangle ADE as the triangle CDE is to the triangle ADE.
Therefore each of the triangles BDE and CDE has the same ratio to ADE.
V.9
Therefore the triangle BDE equals the triangle CDE, and they are on the same base DE.
I.39
But equal triangles which are on the same base are also in the same parallels.
Therefore DE is parallel to BC.
Therefore, if a straight line is drawn parallel to one of the sides of a triangle, then it cuts the sides of the triangle proportionally; and, if the sides of the triangle are cut proportionally, then the line joining the points of section is parallel to the remaining side of the triangle.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ถ้าเส้นตรงวาดแบบขนานกับด้านของรูปสามเหลี่ยมอย่างใดอย่างหนึ่ง แล้วมันตัดด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมตามสัดส่วน และ ถ้าด้านของรูปสามเหลี่ยมจะตัดสัดส่วน เส้นเชื่อมจุดของส่วนโดยขนานกับด้านที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมให้เดวาดแบบขนานไป BC หนึ่งด้านของรูปสามเหลี่ยม ABCผมบอกว่า BD เป็นโฆษณาเป็น CE กับ AE แอปเพล็ต java หรือรูปภาพสามารถเข้าร่วม และซีดีI.37ดังนั้น สามเหลี่ยม BDE เท่ากับสามเหลี่ยม CDE สำหรับพวกเขาอยู่ บนเดอฐานเดียวกัน และ ในแนวเดียวกันเดอและ BCและ ADE เป็นรูปสามเหลี่ยมอีกV.7แต่เท่ากับมีอัตราส่วนเดียวกันเดียวกัน ดังนั้นสามเหลี่ยม BDE จะสามเหลี่ยม ADE เป็นรูปสามเหลี่ยม CDE เป็นสามเหลี่ยม ADEVI.1แต่สามเหลี่ยม BDE จะ ADE เป็นโฆษณา การ ภายใต้ความสูงเดียวกัน BD ตั้งฉากที่ลากจาก E ไป AB พวกเขาเป็นอีกคนหนึ่งเป็นฐานการด้วยเหตุผลเดียวกัน สามเหลี่ยม CDE จะ ADE CE คือ AEV.11ดังนั้น BD คือการโฆษณายังเป็น CE เพื่อ AEให้ด้าน AB และ AC ของ ABC รูปสามเหลี่ยมที่ตัดได้สัดส่วน ถัดไป เพื่อที่ BD เป็นโฆษณาเป็น CE กับ AE เข้าร่วมเดผมบอกว่า DE ขนานกับ BCVI.1 V.11มีการก่อสร้างที่เดียวกัน BD เป็นการ โฆษณาเป็น CE AE แต่ BD เป็นโฆษณาสามเหลี่ยม BDE จะสามเหลี่ยม ADE และ CE คือ AE เป็นสามเหลี่ยม CDE จึงไปสามเหลี่ยม ADE สามเหลี่ยม BDE จะสามเหลี่ยม ADE เป็นรูปสามเหลี่ยม CDE เป็นสามเหลี่ยม ADEดังนั้น รูปสามเหลี่ยม BDE และ CDE แต่ละคนมีอัตราส่วนเดียวกันกับ ADEV.9ดังนั้น สามเหลี่ยม BDE เท่ากับสามเหลี่ยม CDE และพวกเขาอยู่บนเดอฐานเดียวกันI.39แต่รูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันซึ่งอยู่บนฐานเดียวกันอยู่ในแนวเดียวกันดังนั้น DE เป็นขนานกับ BCดังนั้น ถ้าเส้นตรงวาดแบบขนานกับด้านของรูปสามเหลี่ยมอย่างใดอย่างหนึ่ง แล้วมันตัดด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมตามสัดส่วน และ ถ้าด้านของรูปสามเหลี่ยมจะตัดสัดส่วน เส้นเชื่อมจุดของส่วนโดยขนานกับด้านที่เหลือของรูปสามเหลี่ยม

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ถ้าเป็นเส้นตรงขนานจะถูกวาดให้เป็นหนึ่งในด้านของรูปสามเหลี่ยมจากนั้นจะตัดด้านของสามเหลี่ยมสัดส่วนนั้น และถ้าเป็นด้านของสามเหลี่ยมจะถูกตัดตามสัดส่วนแล้วเส้นที่เชื่อมจุดของส่วนที่ขนานกับด้านที่เหลือของรูปสามเหลี่ยม.
Let DE จะวาดขนานไปกับคริสตศักราชหนึ่งของด้านของรูปสามเหลี่ยมเอบีซี.
ผมบอกว่า BD คือการโฆษณาด้วยเช่น CE คือการ AE.
Java แอปเพล็หรือภาพ
เข้าร่วมเป็นและซีดี.
I.37
ดังนั้นสามเหลี่ยม BDE เท่ากับสามเหลี่ยม CDE สำหรับพวกเขาอยู่บนฐานเดียวกันและในแนวเดียวกันและ BC.
และ ADE เป็นอีกหนึ่งสามเหลี่ยม.
V.7
แต่เท่ากับมีอัตราส่วนเดียวกันเดียวกันจึงสามเหลี่ยม BDE คือการสามเหลี่ยม ADE เป็นรูปสามเหลี่ยม CDE เป็นสามเหลี่ยม ADE.
VI.1
แต่สามเหลี่ยม BDE คือการ ade เป็น BD คือการ โฆษณาหาอยู่ภายใต้ความสูงเดียวกันตั้งฉากมาจาก E เพื่อ AB, พวกเขาเป็นอีกคนหนึ่งที่เป็นฐานของพวกเขา.
ด้วยเหตุผลเดียวกัน, สามเหลี่ยม CDE คือการ ade เป็น CE คือการ AE.
V.11
ดังนั้น BD คือ การโฆษณายังเป็นซีอีคือการ AE.
ถัดไปให้ด้าน AB และ AC ของรูปสามเหลี่ยมเอบีซีจะถูกตัดตามสัดส่วนเพื่อให้ BD คือการโฆษณาด้วยเช่น CE คือการ AE ร่วม.
ผมบอกว่า DE ขนานกับ BC.
VI.1
V.11
กับการก่อสร้างเดียวกันตั้งแต่ BD คือการโฆษณาด้วยเช่น CE คือการ AE แต่ BD คือการโฆษณาเป็นรูปสามเหลี่ยม BDE คือการสามเหลี่ยม ADE และ CE คือการ AE เป็นรูปสามเหลี่ยม CDE คือการสามเหลี่ยม ADE จึงสามเหลี่ยม BDE คือการสามเหลี่ยม ADE เป็นรูปสามเหลี่ยม CDE คือการสามเหลี่ยม ADE.
ดังนั้นแต่ละรูปสามเหลี่ยม BDE และ CDE มีอัตราส่วนเดียวกันเพื่อ ADE.
โวลต์ 9
ดังนั้นสามเหลี่ยม BDE เท่ากับสามเหลี่ยม CDE และพวกเขาอยู่บนฐานเดียวกัน DE.
I.39
แต่รูปสามเหลี่ยมเท่ากันซึ่งอยู่บนฐานเดียวกันยังอยู่ในแนวเดียวกัน.
ดังนั้น DE ขนานกับ BC.
ดังนั้นถ้าตรง สายจะถูกวาดขนานไปกับหนึ่งในด้านของรูปสามเหลี่ยมจากนั้นจะตัดด้านของสามเหลี่ยมสัดส่วนนั้น และถ้าเป็นด้านของสามเหลี่ยมจะถูกตัดตามสัดส่วนแล้วเส้นที่เชื่อมจุดของส่วนที่ขนานกับด้านที่เหลือของรูปสามเหลี่ยม