Here is a challenging problem for a

Here is a challenging problem for anyone with an interest in geometry. This project requires background research to solve it, but it is an excellent illustration of visual thinking in mathematics.

The chain of inscribed circles is sometimes called a Pappus Chain, for Pappus of Alexandria, who studied and wrote about it in the 4th century A.D. The inscribed circles are tangent to one another, and to the boundaries of the arbelos. That is, iC1 is tangent to each of the three semicircles that form the boundary of the arbelos, while each successive circle is tangent to the preceding one and to two of the semicircles that bound the arbelos (note that, in its default position, the figure illustrates just one of three possible configurations of the chain). Pappus proved a theorem (which he called "ancient"), which states that the height, hn, of the center of the nth inscribed circle, iCn, above the line segment AC is equal to n times the diameter of iCn.



Pappus' proof, relying solely on Euclidean geometry, ran over many pages. The modern proof is much simpler and uses the powerful method of circle inversion, invented in the 1820's by Jacob Steiner. Try manipulating the figure by clicking and dragging one of the orange points, A, or B. Note that as you do this, not only do you re-size the arbelos and the chain of inscribed circles, you also cause the corresponding black point, A' or B', to move as well. Point A' is the inverse of point A, and point B' is the inverse of point B, both points having been inverted through a circle whose center is at point C.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

นี่เป็นปัญหาท้าทายสำหรับคนที่ มีความสนใจในเรขาคณิต โครงการนี้ต้องการพื้นหลังวิจัยเพื่อแก้ปัญหา แต่มันเป็นภาพประกอบที่ดีของการคิดภาพในคณิตศาสตร์ของวง inscribed เป็นบางครั้งเรียกโซ่ปัปปุส ปัปปุสของซานเดรีย ผู้ศึกษา และเขียนเกี่ยวกับมันในศตวรรษที่ 4 วง inscribed มีแทนเจนต์อื่น และขอบเขตของการ arbelos ที่ iC1 แทนเจนต์ semicircles สามที่ขอบเขตของ arbelos วงกลมต่อเนื่องกันเป็น เส้นสัมผัสใด และสองของ semicircles ที่ผูก arbelos (หมายเหตุว่า ในตำแหน่งเริ่มต้น รูปการแสดงเพียงหนึ่งในสามได้ค่าของ) แต่ละ ปัปปุสพิสูจน์ทฤษฎีบท (ซึ่งเขาเรียกว่า "โบราณ"), ซึ่งระบุว่า ความสูง hn ศูนย์ของวง inscribed ที่ n, iCn เหนือส่วนสาย AC เท่ากับ n เท่าของ iCn หลักฐานของปัปปุส แต่เพียงผู้เดียวในเรขาคณิตแบบยุคลิด วิ่งผ่านหลาย ๆ หลักฐานสมัยเป็นง่ายมาก และใช้วิธีการอันทรงพลังของวงกลับ คิดค้นในการ 1820's โดยสไตเนอร์จาค็อบ ลองจัดการกับตัวเลข โดยการคลิก และลากจุดสีส้ม A หรือ B. หมายเหตุว่า เป็นคุณทำเช่นนี้ ไม่เพียงแต่คุณใหม่ขนาด arbelos การและห่วงโซ่ของวง inscribed คุณทำให้เกิดจุดดำสอดคล้องกัน A 'หรือ B' ไปด้วยกัน จุด A' ผกผันของจุด A และ B' จุด ผกผันของจุด B ทั้งสองจุดที่มีการกลับผ่านวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุด c

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

นี่เป็นปัญหาที่ท้าทายสำหรับทุกคนที่มีความสนใจในเรขาคณิต โครงการนี้ต้องวิจัยพื้นหลังเพื่อแก้ไขมัน แต่มันเป็นที่ยอดเยี่ยมภาพประกอบคิดภาพทางคณิตศาสตร์ห่วงโซ่ของจารึกวงกลมบางครั้งเรียกว่าห่วงโซ่แพปพัส สำหรับแพพพัสอเล็กซานเดรีย ที่ศึกษาและเขียนเกี่ยวกับมันในศตวรรษที่คริสตศักราชที่จารึกวงกลมสัมผัสกันและกัน และขอบเขตของ arbelos . นั่นคือ IC1 จะสัมผัสกับแต่ละสาม semicircles รูปแบบขอบเขตของ arbelos ในขณะที่แต่ละวงกลมต่อเนื่องจะสัมผัสก่อนหน้านี้หนึ่งและสองของ semicircles ที่เชื่อม arbelos ( หมายเหตุ ในรูปแสดงตำแหน่งเริ่มต้นเพียงหนึ่งในสามของค่าที่เป็นไปได้ของโซ่ ) พิสูจน์ทฤษฎีบทแพปพัส ( ซึ่งเค้าเรียกว่า " โบราณ " ) ซึ่งระบุว่า ความสูง , HN , ศูนย์กลางของแลก ( วงกลม , ICN , ดังกล่าวข้างต้นส่วนของเส้นตรง AC เท่ากับ N เท่าเส้นผ่าศูนย์กลางของแคลิฟอร์เนีย .แพปพัส " หลักฐาน อาศัย แต่เพียงผู้เดียวในการใช้เรขาคณิต วิ่งมาหลายหน้า หลักฐานที่ทันสมัยง่ายมากและใช้วิธีการที่มีประสิทธิภาพของการผกผันวงกลมคิดค้นใน 1820 โดย Jacob สไตเนอร์ ลองใช้รูปโดยการคลิกและลากหนึ่งของส้มจุด A หรือ B . โปรดทราบว่าเมื่อคุณทำเช่นนี้ คุณไม่เพียง แต่ขนาด arbelos และห่วงโซ่ของจารึกวงกลมอีกครั้งคุณยังเกิดจุดสีดำที่สอดคล้องกัน " หรือ B " , ที่จะย้ายเช่นกัน ชี้ " เป็นตรงกันข้ามของจุด A และจุด B " 3 จุด B จุดทั้งสองได้กลับหัวผ่านวงกลมที่มีศูนย์ที่จุด C