2. ADAPTIVE RATES OF CONVERGENCE2.1

2. ADAPTIVE RATES OF CONVERGENCE
2.1. Statistical Framework
In this section, we consider a general statistical experiment (Y ε , B ε , {Pε }f ∈Σ ) generated by anf
ε , where ε > 0 can be understood as the noise level. We address the problem of estimationobservation Y
of a functional G of f , where G acts from Σ to some Banach space (E, · ).
˜To measure the performance of an arbitrary estimator fε , with respect to a function f ∈ Σ, we consider
the normalized risk
(q) ˜−1˜Rε (fε , f, ψε ) = Eε [(ψε G(fε ) − G(f ) )q ]f
1/q
,
where q > 0 is fixed. Here ψε > 0 is a normalization and Eε denotes the expectation with respect tof
ε . We consider a collection of subspaces Σ of Σ, where the “nuisance” parameter κ belongs to somePfκ
m . We then define, for any κ ∈ K, the maximal normalized risk over Σ byknown set K ⊂ Rκ
(q) ˜(q) ˜
Rε (fε , Σκ , ψε ) = sup Rε (fε , f, ψε ).
f ∈Σκ
(q) ˜˜For an arbitrary estimator fε one can consider the family of normalizations {Rε (fε , Σκ , 1)}κ∈K,ε>0
which measure the quality of this estimator with respect to the collection of spaces considered. In words,
˜the quality of fε is measured simultaneously over all Σκ , κ ∈ K. The question we would like to answer
in this section is the following: how to choose the “best” estimator or, equivalently, how to define the
optimal family of normalizations?
∗
An obvious answer can be done if there exists a single estimation procedure fε such that
(q) ∗
lim sup Rε (fε , Σκ , Nε (κ)) < +∞,
ε→0
∀κ ∈ K,
(q) ˜
where Nε (κ) = inf fε Rε (fε , Σκ , 1) is the minimax rate of convergence over Σκ (the infimum is taken
˜
over all possible estimators). In what follows, the family of normalizations {Nε (κ)}κ∈K will be denoted
by N .
Things turn out to be more difficult if no estimator can achieve the minimax rate of convergence
simultaneously over each Σκ : we thus have to compare families of normalizations that can be viewed as
functions of κ. Since, in general, no notion of “natural” order can be used in such a situation, this leads to
introducing a criterion of optimality. Lepski (1990) and Tsybakov (1998) proposed two different options
to solve this problem. Since both of them are not satisfactory in a general framework (see Section 2.5
below) we propose a new definition in order to overcome the main drawbacks of these criteria.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

2. ปรับอัตราการลู่เข้า2.1 การกรอบที่ทางสถิติ ในส่วนนี้ เราพิจารณาแบบทั่วไปสถิติทดลอง (Y ε B ε ∈Σ f {Pε }) สร้างขึ้น โดย anf Ε สามารถเข้าใจε > 0 เป็นระดับเสียงที่ เราแก้ไขปัญหาของ estimationobservation Yของ G ที่ทำงานของ f ที่ G ทำหน้าที่จากΣกับบางพื้นที่ Banach (E ขาด) เรา ˜To วัดประสิทธิภาพการทำงานของ fε การกำหนดประมาณ อิงเป็นฟังก์ชัน f ∈Σ พิจารณาความเสี่ยงมาตรฐาน (q) ˜−1˜Rε (fε, f ψε) = Eε f [q (ψε G (fε) − G (f))]1/q,ที่ q > 0 คือ fixed Ψε > 0 เป็นการฟื้นฟู และ Eε หมายถึงความคาดหวังกับความเคารพ tof Ε เราพิจารณาชุดของΣ subspaces ของΣ ซึ่งκพารามิเตอร์ "รบกวน" เป็นของ somePfκ ม. เราแล้ว define สำหรับใด ๆ κ∈ K ความเสี่ยงมาตรฐานสูงสุดผ่านชุด byknown Σ K ⊂ Rκ (q) ˜(q) ˜Rε (fε Σκ ψε) = Rε (fε, f ψε) ผู้จำหน่ายf ∈Σκ (q) ˜˜For fε การกำหนดประมาณหนึ่งสามารถพิจารณาของ normalizations {Rε (fε Σκ 1) } κ∈K ε > 0การวัดคุณภาพของประมาณนี้กับคอลเลกชันของช่องว่างที่ถือ คำพูด ˜the คุณภาพของ fε วัดพร้อมกันไปทั้งหมดΣκ ∈κคุณ คำถามที่เราอยากจะตอบในส่วนนี้คือต่อไปนี้: วิธีการเลือกประมาณ "ดี" หรือ equivalently วิธีการ define การครอบครัวดีที่สุดของ normalizations ∗ คำตอบที่ชัดเจนสามารถทำได้ถ้ามี fε ขั้นตอนการประเมินเดียวเช่นว่า (q) ∗ริมทรัพย์ Rε (fε Σκ Nε (κ)) < + ∞Ε→0∀Κ∈ K (q) ˜ที่ Nε (κ) = inf fε Rε (fε Σκ 1) เป็นอัตรา minimax บรรจบกันΣκ (infimum นำมา ˜ผ่านทั้งหมดได้ estimators) ในสิ่งต่อไปนี้ จะแทนของ κ∈K normalizations { Nε (κ) }โดย N สิ่งที่เปิดออกจะ difficult เพิ่มเติมหากประมาณการไม่สามารถบรรลุอัตรา minimax บรรจบกันกันไปแต่ละΣκ: เราจึงต้องเปรียบเทียบครอบครัวของ normalizations ที่สามารถใช้เป็นฟังก์ชันของκ ตั้งแต่ ทั่วไป ความไม่สั่ง "ธรรมชาติ" ที่สามารถใช้ในสถานการณ์ดังกล่าว ซึ่งนำไปสู่แนะนำเกณฑ์ของ optimality นำเสนอจัด different Lepski (1990) และ Tsybakov (1998)การแก้ปัญหานี้ เนื่องจากทั้งสองอย่างไม่พอใจในกรอบการทำงานทั่วไป (ดู 2.5 ส่วนด้านล่าง) เราเสนอ definition ใหม่เพื่อเอาชนะข้อเสียหลักของเงื่อนไขเหล่านี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

2. อัตรา ADAPTIVE ของการลู่
2.1 กรอบทางสถิติในส่วนนี้เราจะพิจารณาการทดสอบทางสถิติทั่วไป (Y ε, B ε {} Pεฉ∈Σ) ที่สร้างโดย ANF εที่ε> 0 สามารถเข้าใจได้เป็นระดับเสียง เราแก้ไขปัญหาของ estimationobservation Y ของการทำงานของจีเอฟที่ทำหน้าที่ G จากΣกับบางพื้นที่นาค (E, ·). ~To วัดประสิทธิภาพการทำงานของfεประมาณการโดยพลการที่เกี่ยวกับฟังก์ชัน f ∈Σเรา พิจารณาความเสี่ยงปกติ(ด) ~-1~Rε (fε, F, ψε) = Eε [(ψε G (fε) - G (ฉ)) คิว] ฉ1 / q, ที่คิว> 0 คงที่ นี่ψε> 0 เป็นบรรทัดฐานและEεหมายถึงความคาดหวังด้วยความเคารพ TOF ε เราพิจารณาชุดของ subspaces ΣΣของที่ "รำคาญ" κพารามิเตอร์เป็นsomePfκเมตร จากนั้นเราจะเดสายตะวันออกเฉียงเหนือ, สำหรับการใด ๆ κ∈ K, ความเสี่ยงปกติสูงสุดมากกว่าΣ byknown ตั้ง K ⊂Rκ (ด) ~ (ด) ~ Rε (fε, Σκ, ψε) = จีบRε (fε, F, ψε). ฉ∈ Σκ (ด) ~~For ประมาณการพลfεหนึ่งสามารถพิจารณาครอบครัวของ normalizations {Rε (fε, Σκ 1)} κ∈K, ε> 0 ซึ่งวัดคุณภาพของประมาณการนี้ที่เกี่ยวกับคอลเลกชันของพื้นที่พิจารณา . ในคำ, คุณภาพของfε ~the เป็นวัดพร้อมกันมากกว่าΣκทุกκ∈เคคำถามที่เราต้องการคำตอบในส่วนนี้คือต่อไปนี้: วิธีการเลือก "ดีที่สุด" ประมาณการหรือเท่ากันวิธีการที่จะสายทิศตะวันออกเฉียงเหนือที่ดีที่สุดครอบครัว normalizations? * คำตอบที่ชัดเจนสามารถทำได้ถ้ามีขั้นตอนการประมาณค่าเดียวfεดังกล่าวที่(ด) * ลิ้มจีบRε (fε, Σκ, Nε (κ)) <+ ∞, ε→ 0 ∀κ∈ K, (ด) ~ ที่Nε (κ) = INF fεRε (fε, Σκ, 1) เป็นอัตรามินิแมกซ์ของการบรรจบกันมากกว่าΣκ (ในแม่ไฟถูกนำ~ เหนือประมาณเป็นไปได้ทั้งหมด) ในสิ่งต่อไปนี้ครอบครัวของ normalizations แม่น้ำ {Nε (κ)} κ∈Kจะแสดงโดยไม่มี. สิ่งที่กลายเป็นลัทธิความเชื่อ FFI di มากขึ้นถ้าประมาณการไม่สามารถบรรลุอัตรามินิแมกซ์ของการบรรจบพร้อมกันมากกว่ากันΣκเราจึงต้องเปรียบเทียบครอบครัวของ normalizations ที่สามารถถูกมองว่าเป็นหน้าที่ของκ เนื่องจากโดยทั่วไปความคิดของการสั่งซื้อ "ธรรมชาติ" ไม่สามารถนำมาใช้ในสถานการณ์เช่นนี้นำไปสู่การแนะนำเกณฑ์optimality Lepski (1990) และ Tsybakov (1998) ได้เสนอสองดิ FF ตัวเลือกต่างกันในการแก้ปัญหานี้ เนื่องจากทั้งสองของพวกเขาไม่พอใจในกรอบทั่วไป (ดูมาตรา 2.5 ด้านล่าง) เราเสนอสายใหม่ nition เพื่อที่จะเอาชนะข้อบกพร่องที่สำคัญของเกณฑ์เหล่านี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

2 . ปรับอัตราการลู่เข้า
2.1 .
กรอบสถิติในส่วนนี้เราพิจารณาทั่วไปทางสถิติการทดลอง ( Y ε B ε { P ε } F ∈Σ ) สร้างขึ้นโดย ANF
εที่ε > 0 สามารถเข้าใจได้เป็นระดับเสียง เราแก้ไขปัญหา estimationobservation Y
ของฟังก์ชัน g f ที่ G ทำจากΣบางปริภูมิบานาค ( E ,
ด้วย )˜เพื่อวัดสมรรถนะของตัวประมาณค่า F εโดยพลการ ส่วนฟังก์ชัน f ∈Σ เราพิจารณา

( Q ) ค่าความเสี่ยง˜− 1 ˜ε R ( F ε , F , ψε ) = E ε [ ( ψε G ( F ε ) − G ( F ) F ) Q ]


ที่ 1 / q , Q > 0 คือจึง xed . ที่นี่ψε > 0 เป็นบรรทัดฐานและ E εแสดงความคาดหวัง ด้วยความเคารพ tof
ε . เราพิจารณาเป็นคอลเลกชันของ subspaces ของΣΣ ,ว่า " รำคาญ " κพารามิเตอร์เป็นของ somepf κ
M . จากนั้นเรา de จึงไม่ใด ๆ κ∈ K สูงสุดได้แก่ความเสี่ยงมากกว่าΣ byknown ตั้งค่า K ⊂ R κ
( q ) ˜ ( q ) ˜
R ( F εΣκε , , εψε ) = sup R ( F ε , F , ψε )

( q ) F ∈Σκ˜˜สำหรับโดยพลการประมาณการ F εหนึ่งสามารถพิจารณาครอบครัวของ normalizations ε { R ( F εΣκ , 1 ) } κ∈ K , ε > 0
ซึ่งการวัดคุณภาพของตัวนี้เทียบกับคอลเลกชันของเป็นสำคัญ ในคำ ,
˜คุณภาพ F εวัดพร้อมกันทั่วทุกΣκκ∈ , K . คำถามที่เราอยากจะตอบ
ในส่วนนี้คือต่อไปนี้ : วิธีการเลือก " วิธีที่ดีที่สุด " หรือ ก้อง วิธีการ de จึงเน่
ที่ดีที่สุดของครอบครัว normalizations ?

∗คำตอบที่ชัดเจนสามารถทำได้ หากมีขั้นตอนเดียวประมาณ F εเช่น
( q ) ∗
ลิม sup R ( F εΣκε , N ε ( κ ) ) < ∞
0
, ε→∀κ∈ K ,
( q ) ˜
ที่ N ε ( κ ) = inf εε F R ( F εΣκ , 1 ) เป็นบริการอัตราการลู่เข้าของΣκ ( ในแม่จึงถูก

ไปประมาณ˜เป็นไปได้ทั้งหมด ) ในสิ่งต่อไปนี้ ครอบครัวของ normalizations { n ε ( κ ) } κ∈ K จะแทนด้วย n
.
สิ่งที่เปิดออกเพื่อจะมากขึ้น ดิ ffiศาสนา ถ้าไม่มีประมาณการสามารถบรรลุบริการอัตราการลู่เข้า
พร้อมกันแต่ละΣκ : เราจึงต้องเปรียบเทียบครอบครัวของ normalizations ที่สามารถดูการทำงานของκ
. ตั้งแต่ , ในทั่วไป , ไม่มีความคิดของ " ธรรมชาติ " เพื่อให้สามารถใช้ในสถานการณ์ดังกล่าวนี้ นำไปสู่
แนะนำเกณฑ์ optimality .lepski ( 1990 ) และ tsybakov ( 2541 ) เสนอสอง ดิ ff
erent ตัวเลือกเพื่อแก้ไขปัญหานี้ เนื่องจากทั้งสองของพวกเขาจะไม่เป็นที่พอใจในกรอบทั่วไป ( ดูส่วน 2.5
ด้านล่าง ) เราเสนอใหม่ เดอ จึง nition เพื่อเอาชนะข้อด้อยหลักของเกณฑ์เหล่านี้