You do modular arithmetic several t

You do modular arithmetic several times every day when you are thinking about time. Imagine, for example, you're going on a train trip at 11pm that lasts three hours. What time will you arrive? Not at 11+3 = 14 o'clock, but at 2 o'clock in the morning. That's because, on a 12-hour clock, you start counting from the beginning again after you get to 12. (On a 24-hour clock, you start again after you get to 24.) So, on a 12-hour clock you have:

4 + 9 = 1,
7 + 7 = 2,
5 + 12 = 5,

and so on. When you are subtracting hours, you do the same but backwards:

4 - 7 = 9
1 - 11 = 2
6 - 12 = 6.

You could play the same game using other numbers, apart from 12 and 24, to define your cycle. For example, in modular arithmetic modulo 5 you have

4 + 2 = 1
3 + 4 = 2
1 - 4 = 2
3 - 5 = 3

These sums can be a little tedious to work out if you're counting on your fingers, but luckily there is a general method. Let's say you're doing arithmetic modulo some natural number p and you're looking at some other natural number x. To find the value of x modulo p (the value of x on a clock with p hours), compute the remainder when dividing x by p: that's your result.

This also works when x is negative (noting that the remainder is defined to be always positive). For example, for p = 12 and x = -3 we have

-3 = (-1) x 12 + 9,

so the remainder is 9. Therefore -3 modulo 12 is equal to 9. (If you use the modulus function in some computer languages you have to be a little careful though, as some return a different value for negative numbers.)

If you want to add or subtract two numbers module some natural number p, you simply work out the result, call it x, in ordinary arithmetic and then find the value of x modulo p.

There is clearly something very cyclical about modular arithmetic. Whatever number p defines your arithmetic, you can think of it as counting forward or backward in clock with p hours. To put this in technical maths language, modular arithmetic modulo p gives you a cyclic group of order p. You can find out more about group theory in this article and about modular arithmetic on our sister site NRICH.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คุณทำแบบแยกส่วนหลายครั้งคณิตศาสตร์ทุกวันเมื่อคุณคิดเกี่ยวกับเวลา ลองนึกภาพตัวอย่างเช่นคุณกำลังจะไปในการเดินทางรถไฟที่ 11:00 ที่มีระยะเวลาสามชั่วโมง สิ่งที่เวลาที่คุณจะมาถึง? ไม่ได้อยู่ที่ 11 + 3 = 14 โมง แต่ที่ 02:00 ในตอนเช้า นั่นเป็นเพราะในเวลาแบบ 12 ชั่วโมงคุณจะเริ่มนับจากจุดเริ่มต้นอีกครั้งหลังจากที่คุณได้รับถึง 12 (ในนาฬิกาตลอด 24 ชั่วโมงคุณจะเริ่มต้นอีกครั้งหลังจากที่คุณได้รับ 24) ดังนั้นในนาฬิกาแบบ 12 ชั่วโมงคุณ มี: 4 + 9 = 1, 7 + 7 = 2, 5 + 12 = 5, และอื่น ๆ เมื่อคุณลบชั่วโมงคุณทำเช่นเดียวกัน แต่ไปข้างหลัง: 4-7 = 9 1 - 11 = 2 6 n - 12 = 6. คุณสามารถเล่นเกมเดียวกันโดยใช้ตัวเลขอื่น ๆ นอกเหนือจาก 12 และ 24 เพื่อกำหนดวงจรของคุณ ยกตัวอย่างเช่นในการคำนวณแบบแยกส่วนแบบโมดูโล 5 คุณมี4 + 2 = 1 3 + ​​4 = 2 1 - 4 = 2 3 - 5 = 3 จำนวนเงินเหล่านี้สามารถจะเป็นเพียงเล็กน้อยที่น่าเบื่อที่จะทำงานออกถ้าคุณนับนิ้วมือของคุณ แต่ โชคดีที่มีวิธีการทั่วไป สมมติว่าคุณกำลังทำอะไรบางอย่างทางคณิตศาสตร์แบบโมดูโลพีจำนวนธรรมชาติและคุณกำลังมองที่บางส่วนจำนวนธรรมชาติอื่น ๆ x เพื่อหาค่าของ x โมดูโลพี (ค่าของ x บนนาฬิกาที่มีชั่วโมงพีก) คำนวณเหลือเมื่อหาร x โดยพี: ที่ผลลัพธ์ของคุณ. นี้จะทำงานเมื่อ x เป็นลบ (สังเกตว่าส่วนที่เหลือจะถูกกำหนดให้เป็น บวกเสมอ) ตัวอย่างเช่นสำหรับ p = 12 x = -3 เรามี-3 = (-1) x 12 + 9 เพื่อให้ส่วนที่เหลือเป็น 9. ดังนั้น -3 โมดูโล 12 มีค่าเท่ากับ 9 (ถ้าคุณใช้ฟังก์ชั่นในโมดูลัส บางภาษาคอมพิวเตอร์ที่คุณต้องเป็นเพียงเล็กน้อยระวัง แต่ขณะที่บางคนกลับค่าที่แตกต่างกันสำหรับตัวเลขเชิงลบ.) หากคุณต้องการที่จะเพิ่มหรือลบสองโมดูลตัวเลขบางพีจำนวนธรรมชาติคุณก็ทำงานออกผลที่เรียกว่า x ใน คณิตศาสตร์สามัญแล้วหาค่าของ x พีโมดูโลได้. มีบางอย่างอย่างชัดเจนเกี่ยวกับวัฏจักรทางคณิตศาสตร์แบบแยกส่วน สิ่งที่พีจำนวนกำหนดเลขคณิตของคุณคุณสามารถคิดว่ามันเป็นนับไปข้างหน้าหรือย้อนกลับไปในนาฬิกาที่มีชั่วโมงพี วางนี้ในภาษาคณิตศาสตร์เทคนิคพีโมดูโลคณิตศาสตร์แบบแยกส่วนช่วยให้คุณมีวงจรกลุ่มของพีเพื่อ คุณสามารถหาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎีกลุ่มในบทความนี้และเกี่ยวกับการคำนวณแบบแยกส่วนในเว็บไซต์ของน้องสาวของเรา NRICH

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

คุณทำเลขคณิตมอดุลาร์หลายครั้งทุกวันเมื่อคุณคิดเกี่ยวกับเวลา จินตนาการ ตัวอย่างเช่น คุณกำลังอยู่บนรถไฟเที่ยว 5 ทุ่มที่เป็นเวลาสามชั่วโมง คุณจะมาถึงเมื่อไหร่ ? ไม่ที่ 11 3 = 14 นาฬิกา แต่ 2 โมงเช้า นั่นเป็นเพราะว่า นาฬิกา 12 ชั่วโมง คุณเริ่มนับจากจุดเริ่มต้นอีกครั้งหลังจากได้ 12 ( นาฬิกา 24 ชั่วโมงคุณเริ่มต้นอีกครั้งหลังจากที่คุณได้รับถึง 24 ) ดังนั้น ใน 12 ชั่วโมงนาฬิกาคุณ :

4 9 = 1
7 = 2
5 12 = 5

และ เมื่อคุณลบชั่วโมง ทำเหมือนกันแต่ถอยหลัง :

4 - 7 = 9
1 - 11 = 2
6 - 12 = 6 .

คุณสามารถเล่นเกมเดียวกันโดยใช้ตัวเลขอื่น ๆนอกเหนือจาก 12 และ 24 กำหนดรอบของคุณ ตัวอย่างเช่นในโมดูลเลขคณิตมอดุโล 5 คุณ

2 = 1
3 4 = 2
4 = 2
13 - 5 = 3

เงินเหล่านี้สามารถเล็ก ๆน้อย ๆที่น่าเบื่อที่จะทำงานออกถ้าคุณกำลังนับนิ้ว แต่โชคดีมีวิธีการทั่วไป สมมติว่า คุณกำลังทำเลขคณิตมอดุโลจำนวนธรรมชาติบางจุดและคุณกำลังมองหาบางจำนวนธรรมชาติ x หาค่า x มอดุโล p ( ค่าของ x ในนาฬิกากับ P ชั่วโมง ) , คำนวณส่วนที่เหลือเมื่อแบ่ง X P :

ที่ผลลัพธ์ของคุณนี้ยังใช้งานเมื่อ x มีค่าเป็นลบ ( สังเกตว่าส่วนที่เหลือจะถูกกำหนดให้เป็นบวกเสมอ ) ตัวอย่างเช่น P = 12 x = - 3 เรา

- 3 = ( - 1 ) x 12 9

ดังนั้นส่วนที่เหลือคือ 9 ดังนั้น - 3 มอดุโล 12 เท่ากับ 9 ( ถ้าคุณใช้ฟังก์ชันโมดูลัส ในคอมพิวเตอร์คุณจะต้องระมัดระวังนิดหน่อยเป็นบางคืนค่าที่แตกต่างกันสำหรับตัวเลข ลบ )

ถ้าคุณต้องการที่จะเพิ่มหรือลบตัวเลขสองโมดูลบางจำนวนธรรมชาติ p , คุณเพียงแค่ทำงานได้ผล เรียกว่า เอ็กซ์ ในเลขคณิตธรรมดาแล้วหาค่าของ x มอดุโล p

มีชัดเจนอะไรมากเกินเรื่องเลขคณิตมอดุลาร์ . สิ่งที่หมายเลข P กำหนดค่าของคุณ คุณสามารถคิดว่ามันเป็นนับไปข้างหน้า หรือย้อนกลับในนาฬิกากับ P ชั่วโมงวางนี้ในภาษาคณิตศาสตร์เลขคณิตมอดุโล p ทางเทคนิคโมดูลจะช่วยให้คุณเป็น กลุ่มของคำสั่งหน้า คุณสามารถหาข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎีกลุ่มในบทความนี้และเลขคณิตมอดุลาร์ในรวย น้องสาวของเว็บไซต์ของเรา