motion changes when the walker revi

motion changes when the walker revisits regions where
Faraday wave sources created in the past are still active. For
orbital motions, this occurs when the memory length SMe ¼ Vτ=λF is of the order of the nondimensional orbital
perimeter 2πΛ.
In the high memory regime (SMe > 2πΛ), the trapping
leads to the appearance of states, as described previously
[11]. Each of them associates a stable periodic orbit with a
specific global wave field. The orbits have different shapes
(circles, ovals, lemniscates, trefoils, etc.) and two observables
are needed to characterize them. Figure 1(b), adapted
from Ref. [11], shows the mean nondimensional radius
R¯ ¼ h
ffiffiffiffiffiffi
pR2=λFi as a function of the mean nondimensional
angular momentum ¯L ¼ hLi=mWλFhVi. The experimental
data are located at the nodes (n, m) of a lattice as both
observables can only take discrete values. They correspond
for R¯ to the successive zeros of the Bessel function J0ð2πrÞ:
fr1 ¼ 0.37; r2 ¼ 0.87; r3 ¼ 1.87g. For each given level n
the mean angular momentum ¯L is also quantized:
L¯ m ∈ f−rn;−rn−2;…; 0;…; rn−2; rng. These states are
only observed in narrow ranges Λ−
n;m < Λ < Λþn;m centered
around a set of discrete values Λn;m [Fig. 1(c)].
The present article deals with the complex trajectories
observed when Λ is tuned outside the stability ranges of the
periodic orbits. Figure 1(d) shows a typical example for
Me ≈ 200 and SMe=2πΛ ¼ 1.6. While the complexity
increases with memory, it is remarkable that the regular
orbits (n,m) still show up during short time intervals. In
Fig. 1(d) seven of them are present: circles (1, 1),
lemniscates (2,0), ovals (2, 2), and loops (3, 1).
In order to put this coexistence of modes on a
quantitative basis, we study the chaotic motion in the
first two regions of instability (Λþ1
;1 < Λ < Λ−2;0 and
Λþ2
;0 < Λ < Λ−2;2), for intermediate values of the memory
for which SMe=2πΛ is close to 1. Figure 2(a) shows an
example of a complex trajectory obtained for Λ ¼ 0.49 at a
memory (Me ≈ 63 and SMe=2πΛ ≈ 1). Only three unstable
states, the small orbits (1, 1), and the lemniscate (2,0)
coexist. Figure 2(b) shows a typical scenario of a circular
orbit destabilization. It originates in a mismatch of the
classical orbiting radius (due to the central force) and the
orbiting radius induced by the wave field. The transition
from a circle to a lemniscate, occurs when the wobbling
brings the trajectory close to the center. A topological
change then leads to a lemniscate. This multilooped motion
appears unstable and mediates a return to orbiting motion
with a possible flip of the angular momentum [19,20] [21].
Figure 2(c) shows the time recording of nondimensional L
associated to the trajectory of Fig. 2(a). The transitions are
typical of low-dimensional chaos in dissipative systems
[22–24].
The multistability can be characterized using a map of
first return relating the nondimensional distance R to the
center at time t þ TI to its value at time t. The discretization
is obtained by considering the evolution of the successive
maxima. The time interval TI is then self-determined. The
resulting iterative map of Rkþ1 as a function of Rk is
shown in Fig. 2(d). The dynamics is described by the
application of first return. The two fixed points A and B
correspond to circles and lemniscates, respectively. Here,
the tuning value of Λ sets the system in a regime where
both these attractors are unstable. Starting from A, the
wobbling grows corresponding to a drift from A to B along
the upper branch. In the neighborhood of B, the motion is
a lemniscate. After a few loops, its instability triggers a
return to A. The route back depends on the memory. For
Me ≈ 40 with SMe=2πΛ ≈ 0.8, the iterative points drift
directly from C to the upper branch in the vicinity of A.
B (r)
F
d
V
m
(a)
d
−1 0
0
1
L
(1,1)
(2,-2)
(1,-1)
(2,0)
(3,3)
(2,2)
(3,-3)
(b)
R
1
(3,-1) (3,1)
0 2.5
1
R
0.5
0
(c)
1.1 2.0 2.2 3.3
−2
0
x/λF
y/λF (d)
2
−2 0 2
FIG. 1 (color online). (a) Sketch of the experiment. The droplet
loaded with ferrofluid is located in an axisymmetric spatially
varying magnetic field BdðrÞ and thus trapped in a twodimensional
attractive harmonic potential well. (b) The eigenmodes
defined by a plot of their mean nondimensional spatial
extension R¯ versus their mean nondimensional angular momentum
L¯ . (c) When the control parameter Λ changes, the stable
modes (n, m) are observed in narrow ranges of Λ shown in grey.
(d) A highly intermittent trajectory of a drop of velocity< V >¼ 8.1 mms−1 at Me ≈ 200 for Λ ¼ 0.83 and SMe=2πΛ ¼ 1.6.
The selected sections show the coexistence of orbits (1, 1),

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เคลื่อนไหวเปลี่ยนแปลงเมื่อวอล์คเกอร์ที่ revisits ภูมิภาคที่แหล่งคลื่นฟาราเดย์สร้างในอดีตจะยังคงทำงาน สำหรับเคลื่อนไหวโคจร ที่นี้เกิดขึ้นเมื่อความยาวจำ SMe ¼ Vτ = λF เป็นลำดับออร์บิทอล nondimensional2πΛ ในขอบเขตในระบอบการปกครองหน่วยความจำสูง (SMe > 2πΛ), ที่ดักนำไปสู่ลักษณะที่ปรากฏของอเมริกา ตามที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้[11] . แต่ละของพวกเขาร่วมวงโคจรเป็นครั้งคราวมั่นคงด้วยการคลื่นโลกเฉพาะฟิลด์ วงโคจรมีรูปร่างแตกต่างกัน(วงกลม วงรี lemniscates, trefoils ฯลฯ) และ observables สองมีความจำเป็นต้องกำหนดลักษณะเหล่านั้น รูป 1(b) ดัดแปลงจากอิง [11], แสดงรัศมี nondimensional หมายถึงR¯ ¼ hffiffiffiffiffiffipR2 = λFi เป็นฟังก์ชันของค่าเฉลี่ย nondimensionalโมเมนตัมเชิงมุม ¯L ¼ hLi = mWλFhVi การทดลองข้อมูลอยู่ที่โหน (n, m) ของโครงตาข่ายประกอบเป็นทั้งobservables สามารถรองรับค่าที่ไม่ต่อเนื่อง พวกเขาตรงสำหรับ R¯ ไปศูนย์ต่อเนื่องของฟังก์ชัน Bessel ที่ J0ð2πrÞ:fr1 ¼ 0.37 r2 ¼ 0.87 r3 ¼ 1.87 กรัม สำหรับ n แต่ละระดับกำหนดนอกจากนี้ยังมี quantized: ¯L โมเมนตัมเชิงมุมหมายถึงL¯ m ∈ f−rn; −rn−2;...; 0; ...; rn−2 rng รัฐเหล่านี้เป็นพบเฉพาะ ในช่วงแคบΛ−n; m < Λ < Λþn; m แปลกรอบชุดของค่าที่ไม่ต่อเนื่อง Λn; m [Fig. 1(c)]นำเสนอบทความที่เกี่ยวข้องกับ trajectories ซับซ้อนสังเกตเมื่อปรับΛนอกช่วงความมั่นคงของการวงโคจรเป็นครั้งคราว 1(d) รูปแสดงตัวอย่างทั่วไปในฉัน≈ 200 และ SMe = 2πΛ ¼ 1.6 ขณะที่ความซับซ้อนเพิ่มความจำ มันเป็นความโดดเด่นที่ประจำการวงโคจร (n, m) ยังคงแสดงขึ้นในระหว่างช่วงเวลาสั้น ๆ ในFig. 1(d) เจ็ดของพวกเขาทำงานอยู่: วงกลม (1, 1),lemniscates (2.0), วงรี (2, 2), แล้วลูป (3, 1)เพื่อใส่นี้มีอยู่ร่วมกันของวิธีการเกณฑ์เชิงปริมาณ เราศึกษาการเคลื่อนไหววุ่นวายในการความไม่มีเสถียรภาพ (Λþ1 แรกสองภูมิภาค; 1 < Λ < Λ−2; 0 และΛþ2; 0 < Λ < Λ−2; 2), ค่ากลางของหน่วยความจำสำหรับ SMe ที่ = 2πΛ มี 1 รูปที่ 2(a) แสดงการตัวอย่างของวิถีที่ซับซ้อนได้Λ 0.49 ¼ที่เป็นหน่วยความจำ (ฉัน≈ 63 และ SMe = 2πΛ ≈ 1) 3 เสถียรเท่านั้นอเมริกา วงโคจรเล็ก (1, 1), และ lemniscate (2.0)มีอยู่ 2(b) รูปแสดงสถานการณ์ของวงการโคจร destabilization มันมีต้นกำเนิดในไม่ตรงกันของการรัศมีโคจรคลาสสิก (เพราะกองกลาง) และรัศมีการโคจรที่เหนี่ยวนำ โดยคลื่นฟิลด์ การเปลี่ยนแปลงจากวงกลมจะเป็น lemniscate เกิดขึ้นเมื่อการ wobblingนำวิถีใกล้กับศูนย์กลาง ที่ topologicalเปลี่ยนแปลงนำไปสู่การ lemniscate แล้ว นี้เคลื่อนไหว multiloopedปรากฏไม่เสถียร และ mediates กลับไปโคจรเคลื่อนไหวมีพลิกได้ของโมเมนตัมเชิงมุม [19,20] [21]2(c) รูปแสดงการบันทึกเวลาของ nondimensional Lเกี่ยวข้องกับวิถีของ Fig. 2(a) มีการเปลี่ยนโดยทั่วไปของ chaos มิติต่ำในระบบ dissipative[22-24]สามารถลักษณะ multistability ที่ใช้แผนที่ของก่อน กลับที่เกี่ยวข้องระยะทาง nondimensional R ไปศูนย์ที่เวลา t þตี้ไปเป็นค่าที่เวลา t การ discretizationโดยพิจารณาวิวัฒนาการของการต่อเนื่องวอเตอร์ปาร์ค แล้วตนเองกำหนดช่วงเวลาตี้ ที่แผนที่ผลลัพธ์ซ้ำของ Rkþ1 เป็นฟังก์ชันของ Rk เป็นแสดงใน Fig. 2(d) อธิบายการเปลี่ยนแปลงโดยการใช้คืนแรก ทั้งสองคงที่จุด A และ Bตรงวงกลมและ lemniscates ตามลำดับ ที่นี่Λค่าปรับแต่งตั้งค่าระบบในระบอบการปกครองแบบที่ทั้ง attractors เหล่านี้จะไม่เสถียร เริ่มจาก A การwobbling เติบโตสอดคล้องกับการดริฟท์จาก A ไป B ตามสาขาด้านบน ในย่านของ B มีการเคลื่อนไหวlemniscate หลังจากวนรอบกี่ ความไม่แน่นอนของทริกเกอร์การกลับไปยังอ. เส้นทางกลับขึ้นอยู่กับหน่วยความจำ สำหรับฉัน≈ 40 กับ SMe = 2πΛ ≈ 0.8 ดริฟท์จุดซ้ำจาก C ถึงสาขาด้านบนดีอ.B (r)FdVm(a)d−1 001L(1.1)(2, -2)(1, -1)(2.0)(3,3)(2,2)(3, -3)(b)R1(3, -1) (3,1)0 2.51R0.50(c)1.1 2.0 2.2 3.3−20x / λFλF y (d)2−2 0 2FIG. 1 (สีออนไลน์) (ก) ร่างทดลอง การหยดมี ferrofluid อยู่ axisymmetric spatiallyสนามแม่เหล็ก BdðrÞ ที่แตกต่างกัน และจึง ติดอยู่ในตัว twodimensionalน่าสนใจมีค่าศักยภาพดีขึ้น (บี eigenmodes)กำหนด โดยแปลงของค่าเฉลี่ยตัว nondimensional ปริภูมินามสกุล R¯ เมื่อเทียบกับเมนตัมเชิงมุม nondimensional ของพวกเขาหมายถึงL¯ (ค) เมื่อเปลี่ยนแปลงการควบคุมพารามิเตอร์Λ คอกโหมด (n, m) จะพบในช่วงแคบของΛที่แสดงเป็นสีเทาวิถีลูกสูงไม่ต่อเนื่อง (d) A ของหยดเร็ว < V > ¼ mms−1 8.1 ที≈ 200 Λ¼ 0.83 และ SMe = 2πΛ ¼ 1.6ส่วนที่เลือกแสดงมีอยู่ร่วมกันของวงโคจร (1, 1),

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เคลื่อนไหวเปลี่ยนแปลงเมื่อวอล์คเกอร์ revisits ภูมิภาคที่
ฟาราเดย์คลื่นแหล่งสร้างในอดีตยังใช้งานอยู่ สำหรับ
โคจรการเคลื่อนไหวนี้เกิดขึ้นเมื่อหน่วยความจำความยาว SME ¼ V τ = λ F ของ nondimensional โคจรรอบ 2 πΛ
.
ในระบอบการปกครองของหน่วยความจำสูง ( SME > 2 πΛ ) , ดัก
นำไปสู่ลักษณะของรัฐ ตามที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้
[ 11 ]แต่ละของพวกเขาที่มีเสถียรภาพระยะวงโคจรกับ
สนามคลื่นสากลที่เฉพาะเจาะจง วงโคจรมีรูปร่างแตกต่างกัน
( วงกลม , วงรีเลมนิ คต trefoils , ฯลฯ ) และสองปฏิบัติ
เป็นลักษณะของพวกเขา รูปที่ 1 ( b )
) ดัดแปลงจาก [ 11 ] แสดงหมายถึง nondimensional รัศมี
r ¯¼ H

ffiffiffiffiffiffi PR2 = λ Fi เป็นฟังก์ชันของ nondimensional
หมายถึงโมเมนตัมเชิงมุม¯ผม¼ไทย = MW λ fhvi . ข้อมูล
อยู่ที่โหนด ( n , m ) ของตารางที่เป็นทั้ง
ปฏิบัติเท่านั้นสามารถใช้ค่าไม่ต่อเนื่อง พวกเขาสอดคล้อง
R ¯ไปยังศูนย์ต่อเนื่องของฟังก์ชันเบสเซล j0 ð 2 π R Þ :
fr1 ¼ 0.37 ; R2 ¼ 0.87 ; R3 ¼ 1.87g เพื่อให้แต่ละระดับ N
หมายถึงโมเมนตัมเชิงมุม¯ผมยังเป็นที่แน่นอน :
L ¯ M F − rn rn ∈ ; −− 2 ; . . . . . . . ; 0 ; . . . ; Rn − 2 ; แหวน .รัฐเหล่านี้จะพบในช่วงแคบ ๆΛ−เท่านั้น

n ; m < < ΛþΛ n ; M ตรงกลาง
รอบชุดต่อเนื่องค่าΛ n ; M [ รูปที่ 1 ( C ) ] .
บทความปัจจุบันที่เกี่ยวข้องกับวิถีที่ซับซ้อน
สังเกตเมื่อΛปรับเสถียรภาพนอกช่วงของ
วงโคจรตารางธาตุ รูปที่ 1 ( D ) แสดงให้เห็นตัวอย่างทั่วไป
ฉัน≈ 200 และ SME = 2 πΛ¼ 1.6 . ในขณะที่ความซับซ้อน
เพิ่มขึ้นด้วยหน่วยความจำแต่เป็นที่น่าสังเกตว่าการโคจรปกติ
( n , m ) ยังคงแสดงขึ้นในช่วงเวลาสั้น ๆ . ในรูปที่ 1 ( D )
7 ของพวกเขาเป็นปัจจุบัน : วงกลม ( 1  เลมนิ คต ( 1 )
0 l ) , วงรี ( 2 ,  2 ) และลูป ( 3 ,  1 ) .
เพื่อวางนี้การอยู่ร่วมกันของโหมดบน
พื้นฐานเชิงปริมาณ เราศึกษาเคลื่อนไหววุ่นวาย ใน
2 ภาคแรกของความไม่แน่นอน ( Λþ 1
; 1 < Λ < Λ− 2 ; 0
Λþ 2
; 0 < Λ < Λ− 2 ; 2 )สำหรับค่ากลางของความทรงจำ
ที่ 1 = 2 πΛใกล้ 1 รูปที่ 2 ( ก ) แสดงให้เห็นตัวอย่างของการเคลื่อนที่ที่ซับซ้อนได้

สำหรับΛ¼ 0.49 ที่หน่วยความจำ ( ผม≈ 63 และ SME = 2 πΛ≈ 1 ) เพียงสามเสถียร
รัฐวงโคจรเล็ก ( 1  1 ) และเลมนิสเคต (
0 l ) อยู่ร่วมกัน . รูปที่ 2 ( ข ) แสดงให้เห็นถึงสถานการณ์โดยทั่วไปของ destabilization วงโคจรกลม

มันมาในที่ไม่ตรงกันของ
คลาสสิกโคจรรัศมี ( เนื่องจากการบังคับกลาง ) และรัศมีของ
โคจรสนามคลื่น การเปลี่ยนแปลง
จากวงกลมไปเลมนิสเคตเกิดขึ้นเมื่อโยกเยก
นำวิถี ใกล้กับ ศูนย์ การเปลี่ยนแปลงรูปแบบ
แล้วนำไปสู่เลมนิสเคต . นี้ multilooped เคลื่อนไหว
ปรากฏไม่แน่นอนและ mediates กลับมาโคจรเคลื่อนไหว
กับพลิกเป็นไปได้ของโมเมนตัมเชิงมุม [ 1920 ] [ 21 ] .
รูปที่ 2 ( c ) แสดงการบันทึกเวลาของ nondimensional L
เกี่ยวข้องกับวิถีของรูปที่ 2 ( ก ) การเปลี่ยนภาพเป็นปกติของความวุ่นวายในมิติต่ำ

[ dissipative ระบบ 22 24 – ] .
multistability สามารถลักษณะใช้แผนที่ของคืนแรกที่เกี่ยวกับระยะทาง
R nondimensional กับ
ศูนย์ที่เวลา t þ Ti คุณค่าของมันในเวลาที่ค่า
.ได้มาจากการพิจารณาวิวัฒนาการของ Maxima ต่อเนื่อง

เวลาตีช่วงแล้วตนเองมุ่งมั่น
ผลแผนที่ซ้ำของ RK þ 1 เป็นฟังก์ชันของ RK เป็น
แสดงในรูปที่ 2 ( D ) การเปลี่ยนแปลงคือการอธิบายโดย
การกลับไปก่อน 2 กำหนดจุด A และ B
สอดคล้องกับวงกลมและเลมนิ คต ตามลำดับ การปรับแต่งค่าของที่นี่
Λชุดระบบระบอบที่
ตัวนี้จะไม่เสถียร เริ่มจาก A ,
โซเซเติบโตสอดคล้องกับลอยจาก A ไป B
สาขาตอนบน ในบริเวณ B , เคลื่อนไหว : เลมนิสเคต . หลังจากไม่กี่รอบของเสถียรภาพก่อให้เกิด
กลับ . เส้นทางกลับขึ้นอยู่กับหน่วยความจำ สำหรับ
ฉัน≈ 40 กับ SME = 2 πΛ≈ 0.8 คะแนนซ้ำลอย
โดยตรงจาก C ไปสาขาบนบริเวณ A .
b ( R ) f
D
v

m
( )
D
− 1 0
0
1
L

( 1 , 1 ) ( 2 / 2 )
( 1 , - 1 )
(
0 l ) ( 3 , 3 )
( 2 , 2 )
( 3 , - 3 )
( b )
r
1
( 3 , - 1 ) ( 3 , 1 )
0
1
2 R
0
0
( C )
1.1 2.0 2.2 3.3
− 2
0
x / λ f
Y / λ F ( d )
2
0
รูปที่ 1 − 2 2 ออนไลน์ ( สี ) ( ก ) ร่างของการทดลอง โหลด ferrofluid แสง

เปลี่ยนตั้งอยู่ในทางนั้นสนามแม่เหล็กที่มีการเปลี่ยนแปลงð BD R Þจึงติดอยู่ใน twodimensional
มีเสน่ห์ฮาร์มอนิกที่มีศักยภาพดี ( ข ) กำหนด โดย eigenmodes
พล็อตของพวกเขาหมายถึง nondimensional พื้นที่ส่วนขยายของ¯
r เมื่อเทียบกับค่าเฉลี่ย nondimensional โมเมนตัมเชิงมุม
L ¯ . ( ค ) เมื่อควบคุมตัวแปรΛเปลี่ยนแปลง , โหมดมั่นคง
( n , m ) จะสังเกตได้ในช่วงแคบ ๆของΛ
แสดงในสีเทา( ง ) เป็นวงโคจรสูงต่อเนื่องของการลดลงของความเร็ว < V > ¼ 8.1 MMS − 1 ที่ผม≈ 200 Λ¼ 0.83 และ SME = 2 πΛ¼ 1.6
เลือกส่วนแสดงอยู่ร่วมวงโคจร ( 1 ,  1 )