the linearized differential equatio

the linearized differential equation of the system, equation (9), by the same method that is commonly used for determination of conditions which lead to the loss of stability of the non-inverted pendulum through excitation of ordinary parametric resonance (the ranges of parametric instability; see, for example, [10]). We can apply the linearized equation to this problem because at the boundary of dynamic stability the amplitude of oscillations is infinitely small. The periodic solution to equation (9), which corresponds to the boundary of instability, can be represented as a superposition of the fundamental harmonic whose frequency ω/2 equals half the driving frequency, and the third harmonic with the frequency 3ω/2:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สมการเชิงอนุพันธ์ linearized ของระบบ สมการ (9), โดยวิธีการเดียวกันที่ใช้ทั่วไปสำหรับการกำหนดเงื่อนไขที่นำไปสู่การสูญเสียความมั่นคงของลูกตุ้มกลับไม่ผ่านในการกระตุ้นของธรรมดาพาราเมตริกการสั่นพ้อง (ช่วงของความไม่แน่นอนพาราเมตริก การเห็น ตัวอย่าง, [10]) เราสามารถใช้สมการ linearized ปัญหานี้เนื่องจากมีขนาดเล็กเพียงที่ขอบเขตของความมั่นคงแบบ คลื่นของการแกว่ง หนทางแก้สมการ (9), ซึ่งสอดคล้องกับขอบเขตของความไม่แน่นอน เป็นครั้งคราวสามารถแสดงในรูปของ superposition ของ harmonic พื้นฐานที่ ω/2 ความถี่เท่ากับความถี่ที่ขับครึ่ง และ harmonic ที่ 3 มีความถี่ 3ω/2:

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นของระบบสมการ (9) โดยวิธีเดียวกันกับที่เป็นที่นิยมใช้ในการกำหนดเงื่อนไขที่นำไปสู่​​การสูญเสียความมั่นคงของลูกตุ้มที่ไม่คว่ำผ่านการกระตุ้นของเสียงสะท้อนพาราสามัญ (ช่วงของความไม่แน่นอนพารา ดูตัวอย่างเช่น [10]) เราสามารถใช้สมการเชิงเส้นที่จะแก้ไขปัญหานี้เพราะในขอบเขตของความมั่นคงแบบไดนามิกกว้างของการแกว่งที่มีขนาดเล็กเพียบ วิธีการแก้ปัญหาเป็นระยะเพื่อสมการ (9) ซึ่งสอดคล้องกับขอบเขตของความไม่แน่นอนที่สามารถแสดงเป็นการทับซ้อนของฮาร์โมนิพื้นฐานที่มีความถี่ω / 2 เท่ากับครึ่งหนึ่งของความถี่ในการขับรถและฮาร์โมนิที่สามที่มีความถี่3ω / 2:

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ช่วงที่สมการของระบบสมการที่ ( 9 ) โดยวิธีการเดียวกันที่ใช้กันทั่วไปสำหรับการหาเงื่อนไขที่นำไปสู่การสูญเสียเสถียรภาพของไม่มีลูกตุ้มผกผันผ่านความตื่นเต้นของสามัญพาราเรโซแนนซ์ ( ช่วงของพารามิเตอร์ความไม่มั่นคง ; ดูเช่น [ 10 ] )เราสามารถใช้สมการของปัญหานี้ เพราะช่วงที่เขตแดนของพลวัตความมั่นคงขนาดของการสั่นจะยิ่งเล็ก โซลูชั่นแบบสมการ ( 9 ) ซึ่งสอดคล้องกับขอบเขตของธุรกิจที่สามารถแสดงเป็น superposition ของพื้นฐานที่มีความถี่ฮาร์มอนิกω / 2 มีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของการขับความถี่และสามเสียงประสานกับความถี่ 3 ω / 2