The present work attempts to give a

The present work attempts to give a unified view of different known aspects of the pendulum when suffering distinct
external perturbations. In particular we are interested in considering the general case of the plane simple pendulum,
whose pivot is subjected to having different motions on the plane. For the case of the spherical pendulum, that is not
included in this work (see [23–25]). In principle, our main interest lies in the possibility to integrating, in one single
model, several known particular situations, such as the familiar forced pendulum, the harmonically forced pendulum
[26–28], the vertically forced pendulum and combinations of them, such as the rotating pendulum. Moreover, we introduce
in the expression of the generalized pendulum nonlinear damping terms, which in spite of its interest for many
practical purposes, they are seldom used. All these models have been studied separately by many authors, but a general
scheme as the one we are offering here is clearly lacking. Besides the forced pendulum, perhaps the case which has
deserved more attention in the literature is the pendulum with a vertically oscillating pivot. This system was apparently
first studied by Stephenson in 1908 [29] and somewhat later, in the twenties, by van der Pol and Strutt [30]. A good
treatment of the inverted pendulum may be found in [31,32]. One outstanding interest in it relies upon its stability
properties (see for instance [33,34] and the many references therein).
Once this generalized expression of the equations of motion of the simple pendulum, which we call a generalized
perturbed pendulum, is obtained, different possible avenues of further study may be open. The strategy that we have
followed here is based on the approach given by the Melnikov method, which typically applies to continuous dynamical
systems. This method gives some conditions for the chaotic motion of these dynamical systems, which basically are
related to the topological behavior of the invariant manifolds associated to hyperbolic saddle points in phase space. As
a natural consequence of the use of this method to the generalized perturbed pendulum, some formulae related to the
chaotic behavior (homoclinic chaos) of the pendulum are given, which comprise most particular cases that one may
have taken into consideration.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

งานปัจจุบันพยายามให้มุมมองด้านต่าง ๆ รู้จักของลูกตุ้มที่รวมเมื่อทุกข์หมดperturbations ภายนอก เรามีความสนใจในการพิจารณากรณีทั่วไปของลูกตุ้มอย่างง่ายเครื่องบินสาระสำคัญที่ต้องมีการเคลื่อนไหวต่าง ๆ บนเครื่องบิน สำหรับกรณีของลูกตุ้มทรงกลม ไม่รวมอยู่ในงานนี้ (ดู [23-25]) หลัก ดอกเบี้ยหลักของเราอยู่ในความสามารถในการรวม ในหนึ่งเดียวรุ่น รู้จักเฉพาะสถานการณ์ต่าง ๆ เช่นลูกตุ้มบังคับคุ้นเคย ลูกตุ้มบังคับ harmonically[26-28], แนวบังคับลูกตุ้มและชุดของพวกเขา เช่นลูกตุ้มหมุน นอกจากนี้ เราแนะนำในนิพจน์ของลูกตุ้มเมจแบบทั่วไปที่ไม่เชิงเส้นตสากรรมการเงื่อนไข ทั้ง ๆ ที่ในหนึ่งในหลายของทางปฏิบัติเอนกประสงค์ พวกเขาจะค่อยใช้ รุ่นนี้มีการศึกษาแยกกัน โดยผู้เขียนหลาย แต่ทั่วไปชัดเจนมีการขาดแผนเป็นหนึ่งที่เราจะนำเสนอที่นี่ นอกจากบังคับลูกตุ้ม อาจเป็นกรณีที่มีสมควรได้รับความสนใจเพิ่มมากขึ้นในวรรณคดีเป็นลูกตุ้ม มีสาระสำคัญตามแนวตั้งสั่นได้ด้วย ระบบนี้เห็นได้ชัดก่อน ศึกษา โดยสตีเฟนสัน ในค.ศ. 1908 [29] และค่อนข้าง หลัง ยี่ โดย Pol van der Strutt [30] ดีรักษาของเพนดูลัมอาจพบใน [31,32] หนึ่งอาศัยสนใจโดดเด่นในเรื่องความมั่นคงของคุณสมบัติ (ดูตัวอย่าง [33,34] และการอ้างอิงใน therein)เมื่อนี้ตั้งค่าทั่วไปของสมการของการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มอย่างง่าย ซึ่งเราเรียกการเมจแบบทั่วไปลูกตุ้ม perturbed ได้รับ avenues ต่าง ๆ สามารถศึกษาเพิ่มเติมอาจเปิด กลยุทธ์ที่เรามีตามนี่ขึ้นอยู่กับวิธีที่กำหนด โดยวิธี Melnikov ซึ่งโดยปกติใช้กับต่อเนื่อง dynamicalระบบ วิธีนี้ทำให้บางเงื่อนไขสำหรับการเคลื่อนไหววุ่นวายของระบบ dynamical เหล่านี้ ซึ่งโดยทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับพฤติกรรม topological ของ manifolds บล็อกที่เกี่ยวข้องกับไฮเพอร์โบลิอานจุดในพื้นที่ระยะ เป็นส่งผลต่อธรรมชาติของการใช้วิธีนี้กับลูกตุ้ม perturbed เมจแบบทั่วไป บางสูตรที่เกี่ยวข้องกับการพฤติกรรมวุ่นวาย (homoclinic chaos) ของลูกตุ้มที่ได้ ซึ่งประกอบด้วยกรณีใดมากที่สุดที่หนึ่งอาจมีพิจารณา

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การทำงานในปัจจุบันพยายามที่จะให้มุมมองแบบครบวงจรในด้านที่เป็นที่รู้จักกันแตกต่างกันของลูกตุ้มเมื่อความทุกข์ที่แตกต่างกันการรบกวนจากภายนอก
โดยเฉพาะอย่างยิ่งเรามีความสนใจในการพิจารณากรณีทั่วไปของเครื่องบินลูกตุ้มที่เรียบง่ายที่มีสาระสำคัญอยู่ภายใต้การมีการเคลื่อนไหวที่แตกต่างกันบนเครื่องบิน สำหรับกรณีที่มีลูกตุ้มทรงกลมที่ไม่ได้รวมอยู่ในงานนี้ (ดู [23-25])
ในหลักการความสนใจหลักของเราอยู่ในความเป็นไปได้ที่จะบูรณาการในหนึ่งเดียวรุ่นหลายสถานการณ์โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นที่รู้จักกันเช่นลูกตุ้มบังคับคุ้นเคยลูกตุ้มบังคับ harmonically [26-28] ลูกตุ้มบังคับแนวตั้งและการรวมกันของพวกเขาเช่น เป็นลูกตุ้มหมุน นอกจากนี้เราแนะนำในการแสดงออกของลูกตุ้มทั่วไปเชิงแง่การทำให้หมาด ๆ ซึ่งทั้งๆที่น่าสนใจสำหรับหลายวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติพวกเขาจะไม่ค่อยมีใครใช้ ทุกรุ่นเหล่านี้ได้รับการศึกษาที่แยกจากกันโดยนักเขียนจำนวนมาก แต่โดยทั่วไปโครงการเป็นหนึ่งที่เราจะนำเสนอที่นี่เป็นอย่างชัดเจนขาด นอกจากลูกตุ้มบังคับบางทีกรณีที่ได้สมควรได้รับความสนใจมากขึ้นในวรรณคดีเป็นลูกตุ้มที่มีเดือยสั่นในแนวตั้ง ระบบนี้จะเห็นได้ชัดว่าการศึกษาแรกโดยสตีเฟนสันในปี 1908 [29] และค่อนข้างต่อมาในวัยยี่สิบโดยฟานเดอร์และพลตัทท์ [30] ดีรักษาลูกตุ้มคว่ำอาจพบได้ใน [31,32] หนึ่งที่น่าสนใจที่โดดเด่นในนั้นขึ้นอยู่กับความมั่นคงของคุณสมบัติ (ดูตัวอย่าง [33,34] และการอ้างอิงจำนวนมากอยู่ในนั้น). ครั้งนี้การแสดงออกทั่วไปของสมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มง่ายซึ่งเราเรียกทั่วไปลูกตุ้มตกอกตกใจ, จะได้รับ ลู่ทางเป็นไปได้ที่แตกต่างกันของการศึกษาต่อไปอาจจะเปิด กลยุทธ์ที่เรามีตามที่นี่จะขึ้นอยู่กับวิธีการที่กำหนดโดยวิธีการ Melnikov ซึ่งมักจะนำไปใช้กับพลังอย่างต่อเนื่องระบบ วิธีการนี้จะช่วยให้สภาพบางอย่างสำหรับการเคลื่อนไหววุ่นวายของพลังเหล่านี้ซึ่งโดยทั่วไปจะเกี่ยวข้องกับพฤติกรรมของ topological manifolds คงที่ที่เกี่ยวข้องไปยังจุดอานผ่อนชำระในอวกาศ ในฐานะที่เป็นผลมาจากธรรมชาติของการใช้วิธีการนี้เพื่อลูกตุ้มตกอกตกใจทั่วไปสูตรบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมวุ่นวาย(ความวุ่นวาย homoclinic) ของลูกตุ้มจะได้รับซึ่งประกอบด้วยส่วนใหญ่โดยเฉพาะอย่างยิ่งกรณีที่หนึ่งอาจได้นำมาพิจารณา

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

งานปัจจุบันพยายามที่จะให้มุมมองรวมของต่าง ๆรู้จักลักษณะของลูกตุ้มเมื่อทุกข์ได้ภายนอกที่แตกต่าง

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรามีความสนใจในการพิจารณาคดีของเครื่องบินง่ายลูกตุ้ม
ที่มีเดือย คือต้องมีการเคลื่อนไหวต่าง ๆ บนเครื่องบิน สำหรับกรณีของลูกตุ้มกลม ไม่ใช่
รวมอยู่ในงานนี้ ( ดู [ 23 – 25 ] )ในหลักการ ประโยชน์หลักของเราอยู่ในความเป็นไปได้ที่จะรวมในหนึ่งรูปแบบเดียว
หลายรู้จักสถานการณ์เฉพาะเช่นคุ้นเคยบังคับให้ลูกตุ้มที่ประสานกันบังคับให้ลูกตุ้ม
[ 26 28 – ] , แนวตั้งบังคับให้ลูกตุ้มและชุดของพวกเขา เช่น การหมุนของลูกตุ้ม นอกจากนี้เราแนะนำ
ในการแสดงออกของลูกตุ้มแบบไม่เชิงเส้นแบบเงื่อนไขซึ่งแม้ดอกเบี้ยหลาย
ในทางปฏิบัติวัตถุประสงค์ พวกเขาจะไม่ค่อยใช้ ทุกรุ่นเหล่านี้ได้ทำการแยกโดยผู้เขียนหลายคน แต่ทั่วไป
โครงการเป็นหนึ่งที่เราเสนอให้ชัดเจนว่าขาด นอกจากบังคับให้ลูกตุ้มบางทีกรณีซึ่งมี
สมควรได้รับความสนใจเพิ่มเติมในวรรณคดีเป็นลูกตุ้มกับแนวตั้งส่ายหมุน ระบบนี้เป็นที่เห็นได้ชัด
ก่อนเรียนโดยสตีเฟนสันใน 1908 [ 29 ] และ ค่อนข้าง ต่อมาในศตวรรษที่ 20 โดย แวน เดอร์ พลและ Strutt [ 30 ] การรักษาที่ดี
ของลูกตุ้มผกผันอาจพบได้ใน [ 31,32 ] หนึ่งที่สนใจมันขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของความมั่นคง
( เห็นตัวอย่าง [ 33,34 ] และมีการอ้างอิงในนั้น ) .
เมื่อนิพจน์นี้กราฟของสมการการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มอย่างง่ายซึ่งเราเรียกทั่วไป
ไม่สบายใจลูกตุ้มที่ได้รับแตกต่างกันเป็นไปได้ลู่ทางการศึกษาต่ออาจจะเปิด กลยุทธ์ที่เรามี
ตามมาที่นี่จะขึ้นอยู่กับแนวทางที่กำหนดโดยวิธี melnikov ซึ่งโดยปกติจะใช้กับระบบพลวัต
อย่างต่อเนื่อง วิธีนี้จะช่วยให้เงื่อนไขบางอย่างสำหรับการเคลื่อนไหวที่วุ่นวายของระบบพลวัตเหล่านี้ ซึ่งโดยทั่วไปจะ
ที่เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมที่เกี่ยวข้องกับรูปแบบของ manifolds ค่าคงที่ค่าระยะอานจุดในพื้นที่ โดย
เป็นผลตามธรรมชาติของการใช้วิธีนี้กับตัว วนเวียน ลูกตุ้ม บางสูตรที่เกี่ยวข้องกับพฤติกรรมวุ่นวาย ( homoclinic วุ่นวาย ) ของลูกตุ้มจะได้รับซึ่งประกอบด้วยกรณีมากที่สุดโดยเฉพาะอย่างใดอย่างหนึ่งอาจ
ได้พิจารณา .