2. Geometrical properties of curves

2. Geometrical properties of curves rational in polar coordinates
2.1. Preliminaries and first properties
Along the paper, given a point P ∈R2 we denote its polar coordinates by (r,θ), and its Cartesian coordinates by (x,y). Notice that the polar coordinates of P are not unique, since (r,θ), (r,θ+2kπ) with k∈Z, or (−r,θ+(2l+1)π) with l∈Z, define the same point.
We will analyze the geometry of a planar curve C which is rational when parametrized in polar coordinates. In other words, there exist four real polynomials A(t), B(t), C(t), D(t) not all of them constant, with gcd(A, B) = gcd(C, D) = 1, such
that
parametrizes C in polar coordinates. For theoretical purposes, we will also consider the curve C⋆ = φ(C), i.e. the rational planar curve parametrized by φ(t) over the (r,θ)-plane; for example, if φ(t)=(t,t) (which parametrizes an Arquimedes’ spiral), then C⋆ is a line over the (r,θ)-plane. Certainly our goal is not to describe C⋆; however, the use of this curve will be helpful for proving certain facts on C.
Furthermore we assume that φ(t), as a parametrization of C⋆, is proper, i.e. that it is injective for almost all values of t (equivalently, that almost all points of C⋆ are generated by just one t-value). If φ(t) is not proper then it can always be properly reparametrized by applying the algorithm in Chapter 6 of Sendra et al. (2008). Also, we will say that a point P0 ∈C⋆ is reached by the parametrization if there exists some t0 ∈ C such that φ(t0) = P0. It can be proven (see Proposition 4.2 in
A(t) C(t)
φ(t)= r(t),θ(t) = B(t),D(t) , t∈R,

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

2. คุณสมบัติเรขาคณิตของเส้นโค้งที่มีเหตุผลในพิกัดเชิงขั้ว2.1. ขั้นและคุณสมบัติแรกตามกระดาษ ∈R2 จุด P ที่กำหนด เราแสดงพิกัดเชิงขั้ว (r ค่าθ) โดย และพิกัดคาร์ทีเซียนโดย (x, y) สังเกตเห็นว่า พิกัดเชิงขั้วของ P ไม่มีเอกลักษณ์เฉพาะ ตั้งแต่ (r ค่าθ), (r ค่าθ + 2kπ) กับ k∈Z หรือ (−r,θ+(2l+1)π) กับ l∈Z กำหนดจุดเดียวกันเราจะวิเคราะห์เรขาคณิตของเส้นโค้งระนาบ C ซึ่งเป็นเหตุผล parametrized ในพิกัดเชิงขั้ว ในคำอื่น ๆ มีอยู่ดำรงพระพุทธศาสนาจริงสี่ A(t), B(t), C(t), D(t) ไม่ทั้งหมดคง ด้วย gcd (A, B) = gcd (C, D) = 1 ดังกล่าวที่parametrizes C ในพิกัดเชิงขั้ว สำหรับวัตถุประสงค์ในทางทฤษฎี เราจะพิจารณาเส้นโค้ง C⋆ = φ(C) เช่น parametrized เส้นโค้งระนาบเหตุผล โดย φ(t) ผ่าน (r ค่าθ) -เครื่องบิน ตัวอย่างเช่น ถ้า φ(t)=(t,t) (เกลียวซึ่ง parametrizes เป็นของ Arquimedes), แล้ว C⋆ เป็นสายผ่าน (r ค่าθ) -เครื่องบิน แน่นอนว่าเป้าหมายของเราคือไม่ อธิบาย C⋆ อย่างไรก็ตาม การใช้เส้นโค้งนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับการพิสูจน์ข้อเท็จจริงบางอย่างในคนอกจากนี้ เราสมมติว่า φ(t), parametrization ของ C⋆ เป็นที่เหมาะสม เช่นเป็นที่สำหรับทุกค่าของ t injective (equivalently ว่า เกือบทุกจุดของ C⋆ สร้างขึ้น โดยค่า t หนึ่ง) ถ้า φ(t) ไม่เหมาะสม แล้วจะได้ถูก reparametrized โดยใช้อัลกอริทึมในบทที่ 6 ของ Sendra et al. (2008) นอกจากนี้ เราจะพูดว่า เป็น ∈C⋆ จุด P0 จะถึง โดยการ parametrization มีบาง t 0 ∈ C ดังกล่าวว่า φ(t0) = P0 พิสูจน์ได้ (ดูข้อเสนอที่ 4.2 ใน A(t) C(t) Φ(t) = r(t),θ(t) = B(t),D(t), t∈R

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

2. สมบัติทางเรขาคณิตของเส้นโค้งที่มีเหตุผลในพิกัดเชิงขั้ว
2.1 รอบคัดเลือกโซนและคุณสมบัติแรก
พร้อมกระดาษที่ได้รับเป็นจุด P ∈R2เราแสดงพิกัดเชิงขั้วของตนโดย (R, θ) และพิกัดคาร์ทีเซียนของตนโดยการ (x, y) ขอให้สังเกตว่าพิกัดเชิงขั้วของ P ไม่ได้ไม่ซ้ำกันตั้งแต่ (R, θ), (R, θ + 2kπ) กับk∈Zหรือ (-R, θ + (2L + 1) π) กับl∈Zกำหนด จุดเดียวกัน.
เราจะวิเคราะห์รูปทรงเรขาคณิตของระนาบโค้งตัว C ซึ่งเป็นเหตุผลเมื่อ parametrized ในพิกัดขั้วโลก ในคำอื่น ๆ ที่มีอยู่สี่จริงมีหลายชื่อ A (t) B (T), C (T), D (T) ไม่ทั้งหมดของพวกเขาอย่างต่อเนื่องกับ GCD (A, B) = GCD (C, D) = 1 เช่น
ที่
parametrizes ซีในพิกัดเชิงขั้ว เพื่อวัตถุประสงค์ในทางทฤษฎีเรายังจะพิจารณาโค้งC⋆ = φ (C) คือเส้นโค้งระนาบเหตุผล parametrized โดยφ (t) มากกว่า (r, θ) เครื่องบิน; ตัวอย่างเช่นถ้าφ (t) = (T, T) (ซึ่ง parametrizes Arquimedes 'เกลียว) แล้วC⋆เป็นสายเหนือ A (R, θ) เครื่องบิน แน่นอนว่าเป้าหมายของเราคือไม่ได้ที่จะอธิบายC⋆; อย่างไรก็ตามการใช้ของเส้นโค้งนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับการพิสูจน์ข้อเท็จจริงบางอย่างในซี
นอกจากนี้เราคิดว่าφ (t) เป็นตัวแปรที่ของC⋆เป็นที่เหมาะสมคือว่ามันเป็นเรื่องนึงเกือบทุกค่าของ T (ค่าเท่ากัน ว่าเกือบทุกจุดของC⋆จะถูกสร้างโดยเพียงหนึ่ง T-ค่า) ถ้าφ (T) ไม่เหมาะสมแล้วก็มักจะสามารถ reparametrized อย่างถูกต้องโดยใช้อัลกอริทึมในบทที่ 6 ของ Sendra et al, (2008) นอกจากนี้เรายังจะบอกว่าเป็นจุด P0 ∈C⋆คือถึงโดยตัวแปรที่ถ้ามีอยู่บาง t0 ∈ C ดังกล่าวว่าφ (t0) = P0 มันสามารถพิสูจน์ได้ (ดูข้อเสนอที่ 4.2 ใน
A (t) C (T)
φ (t) = R (t) θ (t) = B (T), D (t) t∈R,