Truncating the series. In section 5

Truncating the series. In section 5.2, I truncated a Taylor series abruptly; the questions below help you to justify that step.
To simplify the analysis, specify that the reservoir is a monoatomic classical ideal gas of N spinless atoms
To specify an energy eigenstate, we will need to specify N triple {n_x,n_y,n_z} in the spirit of section 4.1 There will be one quantum state per unit volume in an enlarged mathematical space of 3 N dimensions. (That statement would be literally correct if the N particles were distinguishable. The actual indistinguishability has no qualitative effect on the subsequent reasoning, and so we ignore it.) The energy E will continue to be proportional to n^2 , where is n is the “radius” vector in that space. The integral in the analog of equation (4.6), however, will contain the factor n^(3N-1) dn, for a “volume” in a space of 3 N dimensions must go as n^3N, The density of states must have the form
D(E)=constant×E^(f(N))

(a) Determine the exponent f(N); do not bother to evaluate the constant.
(b) Check your value for the exponent f(N) by computing from the partition function.
(c) To study the reservoir’s entropy, write the entropy as follows:

S_res (E_tot-E_j )=kf(N)in(1-E_j/E_tot )+part independent of E_j
Be sure to confirm this form, starting with the definition in equation (4.15). Because the reservoir is much larger than the sample, E_tot≅N×(3/2 kT), and this approximations gets better as N gets larger. Write out the first three nonzero terms in the Taylor series of the logarithm (about the 1 for the argument). Then study the limit of equation (1) as N goes to infinity. Do you find that only surviving dependence on E_j is the single term that we calculated in section 5.2?

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การตัดทอนชุด ในส่วนที่ 5.2 ฉันตัดชุดเทย์เลอร์ทันที คำถามด้านล่างช่วยให้คุณใช้ขั้นตอน เพื่อทำการวิเคราะห์ ระบุว่า อ่างเก็บน้ำแบบ monoatomic คลาสสิกแก๊สอุดมคติของอะตอม spinless N ระบุการพลังงาน eigenstate เราจะต้องระบุจะสถานะควอนตัมหนึ่งต่อปริมาตรต่อหน่วยในพื้นที่ทางคณิตศาสตร์การขยาย 3 N มิติทริ N {n_x, n_y, n_z } ในจิตวิญญาณของส่วน 4.1 มี (คำสั่งที่จะถูกต้องอย่างแท้จริงถ้าอนุภาค N แตกต่าง Indistinguishability จริงไม่มีเชิงคุณภาพผลในเหตุผลตามมา และดังนั้น เราไม่สนใจมัน) พลังงาน E ยังคงเป็นสัดส่วนกับ n ^ 2 ซึ่ง n คือ เวกเตอร์ "รัศมี" ในนี้ ทฤษฎีบูรณาการในระบบแอนะล็อกของสมการ (4.6), อย่างไรก็ตาม จะประกอบด้วย n^(3N-1) ปัจจัย dn สำหรับ "เสียง" ในช่องว่างของมิติ N 3 ต้องไปเป็น n ^ 3 คืน ความหนาแน่นของอเมริกาต้องมีแบบฟอร์มD(E)=constant×E^(f(N))(ก) กำหนด f(N) ยกกำลัง รบกวนประเมินค่าคง(ข) ตรวจสอบค่าของคุณสำหรับ f(N) ยกกำลัง โดยการคำนวณ จากฟังก์ชันการพาร์ติชัน(ค) การศึกษาเอนโทรปีของอ่างเก็บน้ำ เขียนเอนโทรปีจะเป็นดังนี้: S_res (E_tot E_j) = kf (N) (1-E_j/E_tot) + ส่วนอิสระของ E_jตรวจสอบให้แน่ใจว่าการยืนยันแบบฟอร์มนี้ เริ่มต้น มีการกำหนดในสมการ (4.15) เนื่องจากอ่างเก็บน้ำขนาดใหญ่กว่าตัวอย่าง ซื้อ E_tot≅N (3/2 kT), และเพียงการประมาณนี้จะดีกว่าเป็น N มีขนาดใหญ่ เขียนออกเงื่อนไข nonzero สามอันดับแรกในชุดเทย์เลอร์ของลอการิทึม (เกี่ยวกับ 1 สำหรับอาร์กิวเมนต์) จากนั้น ศึกษาจำนวนสมการ (1) เป็น N ไปว่าย พบว่า เฉพาะ รอดพึ่งพา E_j เป็นคำเดียวที่เราคำนวณในส่วนที่ 5.2

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตัดทอนซีรีส์ ในส่วน 5.2 ผมตัดชุดเทย์เลอร์ทันที; คำถามต่อไปนี้ช่วยคุณในการแสดงให้เห็นถึงขั้นตอนนั้น.
เพื่อให้ง่ายต่อการวิเคราะห์ระบุว่าอ่างเก็บน้ำเป็นก๊าซที่เหมาะ monoatomic คลาสสิกของอะตอมไม่มี spinless
ต้องการระบุ eigenstate พลังงานที่เราจะต้องระบุยังไม่มีสาม {n_x, n_y, n_z} ใน จิตวิญญาณของส่วน 4.1 จะมีรัฐหนึ่งควอนตัมต่อหน่วยปริมาณในพื้นที่ทางคณิตศาสตร์ขยาย 3 N มิติ (คำสั่งที่จะเป็นตัวอักษรที่ถูกต้องถ้าอนุภาคไม่มีมีความแตกต่าง. โดย indistinguishability จริงไม่มีผลเชิงคุณภาพในการให้เหตุผลที่ตามมาและเพื่อให้เราไม่สนใจมัน.) อีพลังงานจะยังคงเป็นสัดส่วนกับ n ^ 2 ซึ่งเป็น n คือ ว่า "รัศมี" เวกเตอร์ในพื้นที่นั้น ซึ่งเป็นส่วนประกอบสำคัญในอนาล็อกของสมการ (4.6) แต่จะมีปัจจัย n ^ (3N-1) DN สำหรับ "ปริมาณ" ในพื้นที่ 3 N มิติจะต้องเป็นไปตามที่ n ^ 3N, ความหนาแน่นของรัฐที่ต้อง มีรูปแบบ
D (E) = คง× E ^ (f (N)) (ก) กำหนดสัญลักษณ์ f (N); ไม่รำคาญที่จะประเมินอย่างต่อเนื่อง. (ข) การตรวจสอบค่าของคุณเป็นสัญลักษณ์ f (N) โดยการคำนวณ


. จากฟังก์ชั่นพาร์ทิชัน
(ค) เพื่อศึกษาเอนโทรปีของอ่างเก็บน้ำที่เขียนเอนโทรปีดังนี้S_res (E_tot-E_j) kf = (N) (1-E_j / E_tot) + ส่วนที่เป็นอิสระจาก E_j ให้แน่ใจว่าได้ยืนยันแบบฟอร์มนี้ เริ่มต้นที่มีความหมายในสมการ (4.15) เพราะอ่างเก็บน้ำมีขนาดใหญ่กว่าตัวอย่างE_tot≅N× (3/2 โฮเทล) และการประมาณนี้ได้รับที่ดีกว่าไม่มีขนาดใหญ่ได้รับ เขียนออกมาครั้งแรกที่สามแง่ภัณฑ์ในซีรีส์เทย์เลอร์ลอการิทึม (ประมาณ 1 สำหรับอาร์กิวเมนต์) จากนั้นศึกษาขีด จำกัด ของสมการที่ (1) ขณะที่ยังไม่มีไปที่อินฟินิตี้ คุณพบว่าการพึ่งพาเดียวที่หลงเหลืออยู่ใน E_j เป็นคำเดียวที่เราคำนวณในส่วน 5.2?

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตัดชุด ในส่วนแรก ผมตัดเป็นอนุกรมเทเลอร์ชะงัก ; คำถามด้านล่าง ช่วยให้คุณปรับขั้นตอน .
เพื่อลดความซับซ้อนของการวิเคราะห์ ระบุว่า อ่างเก็บน้ำเป็น monoatomic คลาสสิกแก๊สอุดมคติของ spinless อะตอม
เพื่อระบุ eigenstate พลังงาน เราจะต้องระบุ N สาม n_x n_y n_z } { , , ใน วิญญาณของมาตรา 41 จะต้องมีสถานะควอนตัมต่อปริมาตรต่อหน่วยในการขยายพื้นที่ของคณิตศาสตร์ 3 n มิติ ( งบจะหมายที่ถูกต้องถ้า N พบอนุภาคที่แตกต่าง . มีความเหมือนกันจริงไม่มีคุณภาพต่อเหตุผลที่ตามมา และเราจะไม่สนใจมัน ) พลังงาน E จะได้สัดส่วนกับ n
2ที่ n คือ " รัศมี " เวกเตอร์ในพื้นที่ หนึ่งในแบบของสมการ ( 4.6 ) แต่จะประกอบด้วยปัจจัย N
( 3n-1 ) DN สำหรับ " เสียง " ในพื้นที่ 3 n มิติต้องเป็น n
3N , ความหนาแน่นของสหรัฐอเมริกาต้องมีแบบฟอร์ม
d ( e ) = ค่าคงที่× e
( F ( n )

( ) ตรวจสอบเลข f ( n ) ; ไม่ต้องประเมินอย่างต่อเนื่อง
( ข ) การตรวจสอบค่าของเลขชี้กำลัง f ( n ) โดยการคำนวณ < E > จากฟังก์ชันพาร์ทิชัน .
( C ) เพื่อศึกษาของอ่างเก็บน้ำเอนโทรปีเอนโทรปี เขียนดังนี้

s_res ( e_tot-e_j ) = KF ( N ) ( 1-e_j / e_tot ) ส่วนที่เป็นอิสระของ e_j
แน่ใจ เพื่อยืนยันรูปแบบนี้เริ่มต้นด้วยคำนิยามในสมการ ( 4.15 ) เนื่องจากอ่างเก็บน้ำขนาดใหญ่กว่าตัวอย่าง e_tot ≅ n × 3 / 2 KT )และการได้รับดีขึ้นเป็น n ได้ขนาดใหญ่ เขียนออกมาสามตัวแรก 0 เงื่อนไขในอนุกรมเทย์เลอร์ของลอการิทึม ( เกี่ยวกับ 1 สำหรับอาร์กิวเมนต์ ) การศึกษาข้อจำกัดของสมการ ( 1 ) N ไปไม่มีที่สิ้นสุด คุณจะพบว่าเพียงการพึ่งพา e_j เป็นคําเดียวว่าเราคำนวณในส่วน 5.2 ?