Lemma 3.6. Let L and L′ be two GADL

Lemma 3.6. Let L and L′ be two GADLs with 0, 0′, respectively. If f : L → L′
is a homomorphism, then for any non-empty subset A of L, we have
f(A∗) ⊆ {f(A)}∗.
Proof. Let x ∈ f(A∗) and y ∈ f(A). Then there exists a ∈ A∗ and b ∈ A such
that x = f(a) and y = f(b). Now x∧y = f(a)∧f(b) = f(a∧b) = f(0) (∵ a ∈ A∗
and b ∈ A)= 0′. That is x∧y = 0′ for all y ∈ f(A). Hence x ∈ {f(A)}∗. Therefore
f(A∗) ⊆ {f(A)}∗.
If L is a GADL with 0, then for any A ⊆ L, {f(A)}∗ = f(A∗) is not true in
general. Consider the following example.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

จับมือ 3.6 ให้ L และ L′ จะ GADLs 2 กับ 0, 0′ ตามลำดับ ถ้า f: L → L′เป็น homomorphism แล้วย่อยใด ๆ ไม่ว่าง A L เรามี∗ f(A∗) ⊆ {f(A) }หลักฐานการ ให้ x ∈ f(A∗) และ y ∈ f(A) แล้วมีเป็น∈ A∗ และ b ∈เป็นเช่นที่ x = f(a) และ y = f(b) ตอนนี้ x∧y = f(a)∧f(b) = f(a∧b) = f(0) (∵ a ∈ A∗และ b ∈ A) = 0′ คือ x∧y = 0′ สำหรับทุก y ∈ f(A) ดังนั้น x ∈ {f(A) } ∗ดังนั้น∗ f(A∗) ⊆ {f(A) }ถ้า L เป็น GADL กับ 0 แล้ว สำหรับใด ๆ ⊆ A {f(A) } ∗ L = f(A∗) ไม่เป็นความจริงในทั่วไป พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทแทรก 3.6 ขอ L และ L 'เป็นสอง GADLs กับ 0, 0' ตามลำดับ ถ้า f: L → L '
เป็น Homomorphism แล้วสำหรับการใด ๆ ย่อยที่ไม่ว่างเปล่าของ L เราได้
f (*) ⊆ {f ()} *.
หลักฐาน ให้ x ∈ f (*) และ y ∈ f (A) จากนั้นก็มีอยู่∈ * และ b ∈เช่น
ว่า x = f () และ y = f (ข) ตอนนี้x∧y = f () ∧f (ข) = f (a∧b) = f (0) (∵∈ *
และข∈) = 0 ' นั่นคือx∧y = 0 'ทั้งหมดและ∈ f (A) ดังนั้น x ∈ {f ()} * ดังนั้น
f (*) ⊆ {f ()} *.
ถ้า L เป็น GADL กับ 0 แล้วสำหรับการใด ๆ ⊆ L {f ()} * = f (*) ไม่เป็นจริงใน
ทั่วไป พิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

แทรก 3.6 ให้ฉันและฉันได้รับเป็นสอง gadls 0 , 0 ’ ตามลำดับ ถ้า F : L → keyboard - key - name ผมนั้น
เป็น homomorphism แล้วสำหรับการใด ๆไม่ใช่เปล่าย่อยของฉัน เราได้
F ( ∗ ) ⊆ { f ( a ) } ∗ .
พิสูจน์ ให้ f ( x ∈∗ ) และ Y ∈ F ( A ) แล้วมีอยู่∈เป็น∗และ B ∈เช่น
ที่ x = f ( a ) และ y = f ( b ) ตอนนี้∧ y = f ( x ) ∧ F ( B ) = f ( ∧ B ) = f ( 0 ) ( ∵เป็น∈เป็น∗
b ∈ ) = 0 นั้น . นั่นคือ x ∧ Y = 0 นั้นทั้งหมด∈ f ( y )ดังนั้น x ∈ { f ( a ) } ∗ . ดังนั้น
F ( ∗ ) ⊆ { f ( a ) } ∗ .
ถ้าฉันเป็น gadl กับ 0 แล้วสำหรับการใด ๆ ⊆ L , { f ( a ) } ∗ = F ( ∗ ) ไม่เป็นจริงใน
ทั่วไป ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้