IntroductionA unit disk graph is th

Introduction
A unit disk graph is the intersection graph of closed disks of diameter 1 in the plane. It has been widely studied from both
practical and theoretical points of view. Unit disk graphs representable in a limited area are also considered in the literature.
Ito and Kadoshita [5] showed that the maximum independent set problem and the minimum dominating set problem are
both W[1]-complete for unit disk graphs with all centers lying in a square of side length
√
t, when parameterized by the
area t. Breu [2] studied the unit disk graphs whose centers are in the area {(x, y) : −∞ < x < ∞, 0 ≤ y ≤ c}. Such unit
disk graphs are called c-strip graphs. Breu showed that every
√
3/2-strip graph is a co-comparability graph [2, Section 3.1.2].
We denote the class of unit disk graphs by UDG, and the class of c-strip graphs by SG(c). A unit interval graph is the intersection
graph of closed intervals of length 1 in the real line. We denote the class of unit interval graphs by UIG. From the
definitions, it follows that UIG = SG(0) ⊆ UDG. It is easy to show that indeed the inclusion is proper. For convenience sake,
let SG(∞) = UDG.
In this paper, we consider  the graphs that are c-strip graphs for every c > 0, which can be expressed in our notation as
0

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

IntroductionA unit disk graph is the intersection graph of closed disks of diameter 1 in the plane. It has been widely studied from bothpractical and theoretical points of view. Unit disk graphs representable in a limited area are also considered in the literature.Ito and Kadoshita [5] showed that the maximum independent set problem and the minimum dominating set problem areboth W[1]-complete for unit disk graphs with all centers lying in a square of side length√t, when parameterized by thearea t. Breu [2] studied the unit disk graphs whose centers are in the area {(x, y) : −∞ < x < ∞, 0 ≤ y ≤ c}. Such unitdisk graphs are called c-strip graphs. Breu showed that every√3/2-strip graph is a co-comparability graph [2, Section 3.1.2].We denote the class of unit disk graphs by UDG, and the class of c-strip graphs by SG(c). A unit interval graph is the intersectiongraph of closed intervals of length 1 in the real line. We denote the class of unit interval graphs by UIG. From thedefinitions, it follows that UIG = SG(0) ⊆ UDG. It is easy to show that indeed the inclusion is proper. For convenience sake,let SG(∞) = UDG.In this paper, we consider  the graphs that are c-strip graphs for every c > 0, which can be expressed in our notation as0appear that TSG = SG(0). However, it can be seen that SG(0) = UIG ( TSG from the following observations. From thedefinitions, SG(0) ⊆ TSG holds. It is known that K1,3 ̸∈ UIG [10]. On the other hand, K1,3 ∈ TSG, because the centers(−1, 0), (0, 0), (1, 0), and (0, ε) of unit disks represent K1,3 for every 0 < ε ≤ 1.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทนำ
กราฟดิสก์หน่วยแยกกราฟของดิสก์ปิดของขนาดเส้นผ่าศูนย์กลาง 1 ในเครื่องบิน จะได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางทั้งจาก
จุดปฏิบัติและทฤษฎีของมุมมอง กราฟดิสก์หน่วย representable ในพื้นที่ที่ จำกัด จะถือว่ายังอยู่ในวรรณคดี.
อิโตะและ Kadoshita [5] แสดงให้เห็นว่าปัญหาชุดอิสระสูงสุดและมีอำนาจเหนือปัญหาชุดขั้นต่ำ
ทั้ง W [1] ที่สมบูรณ์สำหรับกราฟดิสก์หน่วยที่มีศูนย์ทั้งหมดโกหก ในตารางของความยาวด้าน
√
ทีเมื่อแปรตาม
ทีพื้นที่ Breu [2] การศึกษากราฟดิสก์หน่วยลงทุนที่มีศูนย์อยู่ในพื้นที่ {(x, y): -∞ <x <∞, 0 ≤≤ y ที่ C} หน่วยดังกล่าว
กราฟดิสก์จะเรียกว่ากราฟคแถบ Breu แสดงให้เห็นว่าทุก
√
02/03 แถบกราฟเป็นกราฟเปรียบเทียบร่วม [2 มาตรา 3.1.2].
เราหมายถึงระดับของกราฟดิสก์หน่วยโดย UDG และระดับชั้นของกราฟคแถบโดยที่ SG (ค) . กราฟช่วงเวลาหน่วยเป็นจุดตัด
กราฟของช่วงเวลาปิดของความยาว 1 ในสายจริง เราแสดงให้เห็นถึงระดับของกราฟช่วงเวลาหน่วยโดย Uig จาก
คำจำกัดความของมันตามที่ Uig = SG (0) ⊆ UDG มันง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าจริง ๆ แล้วรวมเป็นที่เหมาะสม เพื่อเห็นแก่ความสะดวกสบาย
ให้ SG (∞) = UDG.
ในบทความนี้เราจะพิจารณากราฟที่มีกราฟคแถบทุกค> 0 ซึ่งสามารถแสดงออกในสัญกรณ์ของเราเป็น
0ปรากฏว่าทีเอสจี = SG (0) แต่ก็จะเห็นได้ว่าสิงคโปร์ (0) = Uig (TSG จากการสังเกตดังต่อไปนี้. จาก
คำจำกัดความ, SG (0) ⊆ TSG ถือ. เป็นที่รู้จักกันว่า K1,3 ̸∈ Uig [10]. ในทางกลับกัน , K1,3 ∈ TSG เพราะศูนย์
(-1, 0), (0, 0), (1, 0) และ (0, ε) ของดิสก์หน่วยเป็นตัวแทนของทุก K1,3 0 <ε≤ 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บทนำ
หน่วยดิสก์กราฟเป็นกราฟแยกปิดดิสก์เส้นผ่านศูนย์กลาง 1 ในเครื่องบิน ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางทั้งจาก
ปฏิบัติ และทฤษฎีจุดของมุมมอง หน่วยดิสก์กราฟ representable ในพื้นที่จำกัดยังถือว่าในวรรณคดี .
ITO และ kadoshita [ 5 ] พบว่าสูงสุดอิสระตั้งปัญหาและการตั้งปัญหา
ต่ำสุดทั้ง W [ 1 ] - สมบูรณ์สำหรับหน่วยดิสก์กราฟกับทุกศูนย์โกหกในสี่เหลี่ยมของด้านยาว
√
t เมื่อพารามิเตอร์โดย
พื้นที่ ต. breu [ 2 ] เรียนดิสก์หน่วยกราฟที่มีศูนย์อยู่ในพื้นที่ { ( x , y ) : −∞ < x < ∞ , 0 ≤ Y ≤ C } เช่นหน่วย
ดิสก์กราฟเรียกว่า c-strip กราฟ breu พบว่า ทุก√
3
/ 2-strip กราฟเป็น Co ไม่สามารถเปรียบเทียบกราฟ [ 2
ส่วนการศึกษา ]เราแสดงถึงชั้นของหน่วยดิสก์กราฟโดย udg และชั้นเรียนของ c-strip กราฟโดย SG ( C ) หน่วยช่วงกราฟเป็นกราฟแยก
ปิดช่วงความยาวของ 1 ในบรรทัดที่แท้จริง เราแสดงถึงชั้นของหน่วยช่วงกราฟโดย uig . จาก
ความหมาย มันเป็นไปตามที่ uig = SG ( 0 ) ⊆ udg . มันง่ายที่จะแสดงที่แน่นอนรวมที่เหมาะสม เพื่อความสะดวกให้ SG ( ∞ ) =

udg .ในบทความนี้เราจะพิจารณากราฟที่มี c-strip กราฟทุก C > 0 ซึ่งสามารถแสดงออกในโน้ตของเรา
0 < C SG ( C ) เราเรียกแถบบางเช่นกราฟกราฟและแสดงถึงชั้นของแถบบางกราฟโดย TSG . มองเผินๆ ก็อาจ
ปรากฏว่า TSG = SG ( 0 ) อย่างไรก็ตาม จะเห็นได้ว่า SG ( 0 ) = uig ( TSG จากตัวอย่างต่อไปนี้ จาก
นิยาม , SG ( 0 ) ⊆ TSG ถือมันเป็นที่รู้จักกันว่า k1,3 ̸∈ uig [ 10 ] บนมืออื่น ๆ , k1,3 ∈ TSG เพราะศูนย์
( − 1 , 0 ) ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 0 ε ) ของดิสก์หน่วยแสดง k1,3 ทุก 0 < ε≤ 1