Let A and B be two numbers (which a

Let A and B be two numbers (which are) prime to
one another, and let the (numbers) C and D fall in be-
tween them in continued proportion. And let the unit E
be set out. I say that, as many numbers as have fallen
in between A and B in continued proportion, so many
(numbers) will also fall between each of A and B and
the unit in continued proportion.
For let the least two numbers, F and G, which are in
the ratio of A, C, D, B, have been taken [Prop. 7.33].
And the (least) three (numbers), H, K, L. And so on,
successively increasing by one, until the multitude of the
(least numbers taken) is made equal to the multitude of
A, C, D, B [Prop. 8.2]. Let them have been taken, and
let them be M, N, O, P. So (it is) clear that F has made
H (by) multiplying itself, and has made M (by)
multiplying H. And G has made L (by) multiplying itself, and
has made P (by) multiplying L [Prop. 8.2 corr.]. And

since M, N, O, P are the least of those (numbers) having
the same ratio as F, G, and A, C, D, B are also the
least of those (numbers) having the same ratio as F, G
[Prop. 8.2], and the multitude of M, N, O, P is equal
to the multitude of A, C, D, B, thus M, N, O, P are
equal to A, C, D, B, respectively. Thus, M is equal to

A, and P to B. And since F has made H (by) multiplying itself,
F thus measures H according to the units in F
[Def. 7.15]. And the unit E also measures F according to
the units in it. Thus, the unit E measures the number F
as many times as F (measures) H. Thus, as the unit E is
to the number F, so F (is) to H [Def. 7.20]. Again, since
F has made M (by) multiplying H, H thus measures M
according to the units in F [Def. 7.15]. And the unit E
measures the number F according to the units in it.
Thus, the unit E measures the number F as many times
as H (measures) M. Thus, as the unit E is to the number
F, so H (is) to M [Prop. 7.20]. And it was shown that as
the unit E (is) to the number F, so F (is) to H. And thus

as the unit E (is) to the number F, so F (is) to H, and H
, (is) to M. And M (is) equal to A. Thus, as the unit E is
to the number F, so F (is) to H, and H to A. And so, for
the same (reasons), as the unit E (is) to the number G,
so G (is) to L, and L to B. Thus, as many (numbers) as
have fallen in between A and B in continued proportion,
so many numbers have also fallen between each of A and
B and the unit E in continued proportion. (Which is) the
very thing it was required to show.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ให้ A และ B เป็นสองเลข (ที่มี) นายกรัฐมนตรีจะ
กัน และปล่อย (หมายเลข) C และ D อยู่ใน-
tween เขาในสัดส่วนอย่างต่อเนื่อง และให้หน่วย E
สามารถกำหนด บอกว่า ที่ หมายเลขมากเป็นได้
ระหว่าง A และ B ในต่อสัดส่วน เพื่อ many
(numbers) จะยังอยู่ระหว่างของ A และ B และ
หน่วยในสัดส่วนอย่างต่อเนื่อง
สำหรับให้อย่างน้อยสองจำนวน F และ G ซึ่งอยู่ใน
อัตราส่วนของ A, C, D, B มีการใช้ [Prop. 7.33] .
และสาม (น้อย) (ตัวเลข), L. H, K เรื่อย ๆ,
เพิ่มติด ๆ กัน โดยหนึ่ง จนถึงความหลากหลายของการ
(เลขน้อยที่สุดที่ใช้) จะเท่ากับความหลากหลายของ
A, C, D, B [Prop. 8.2] ให้พวกเขามีการดำเนินการ และ
ให้เป็น M, N, O, P. ดังนั้น (เป็น) ที่ทำ F
H (คูณ) ตัวเอง และได้ M (โดย)
คูณ H. และ G ทำ L (คูณ) ตัวเอง และ
ทำ P (คูณ) L [Prop. 8.2 corr.] และ

ตั้งแต่ M, N, O, P น้อยที่สุด (เลข) ที่มี
อัตราส่วนเดียวกัน เป็น F, G, A, C, D, B มี
น้อยเหล่านั้น (ตัวเลข) มีอัตราส่วนเดียวกันเป็น F, G
[Prop. 8.2], และความหลากหลายของ M, N, O, P เท่ากับ
เพื่อความหลากหลายของ A, C, D, B ดังนั้น M, N, O, P จะ
เท่ากับ A, C D, B ตามลำดับ ดังนั้น M มีค่าเท่ากับ

A และ P จะเกิด และเนื่อง จาก F ได้ H (คูณ) เอง,
F ดังนั้นมาตรการ H ตามหน่วยใน F
[เริ่ม 7.15] และหน่วย E ยังวัด F ตาม
หน่วยในการ ดังนั้น หน่วย E วัดหมายเลข F
หลายครั้งเป็น F (วัด) H. ดังนั้น เป็นหน่วย เป็น
ถึง F หมายเลข ดังนั้น F (คือ) ให้ H [เริ่ม 7.20] อีก ตั้งแต่
F ได้ M (โดย) คูณ H, H ดังนั้นมาตรการ M
ตามหน่วยใน F [เริ่ม 7.15] และหน่วย E
วัดหมายเลข F ตามหน่วยในมัน
ดัง หน่วย E วัดหมายเลข F อีกครั้ง
เป็น H (วัด) M ดังนั้น เป็นหน่วย เป็นจำนวน
F ดังนั้น H (คือ) เมตร [Prop. 7.20] และเรื่องที่แสดงว่าเป็น
หน่วย E (มี) F หมายเลข ดังนั้น F (คือ) เพื่อ H. และ

เป็นหน่วย E (มี) F หมายเลข ดังนั้น F (คือ) H และ H
, เมตร (เป็น) และ M () เท่ากับอ. ดังนั้น เป็นหน่วย เป็น
ถึง F หมายเลข ดังนั้น F (คือ) H และ H เพื่ออ. และ อื่น ๆ สำหรับ
เดียว (เหตุผล), เป็นหน่วย E (มี) ไปยังหมายเลข G,
ดังนั้น G (เป็น) L และ L จะเกิด ดังนั้น มาก (ตัวเลข) เป็น
ได้ลดลงในระหว่าง A และ B ในสัดส่วนอย่างต่อเนื่อง,
เลขจำนวนมากได้ยังลดลงระหว่างแต่ละ A และ
B และหน่วย E ในสัดส่วนอย่างต่อเนื่อง (ที่อยู่)
สิ่งที่ถูกต้องแสดง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ให้ A และ B เป็นหมายเลขสอง ( ที่ ) นายกรัฐมนตรี

อีกแบบหนึ่ง และปล่อยให้ ( ตัวเลข ) C และ D อยู่ได้ -
นพวกเขายังคงสัดส่วน และให้หน่วย E
ถูกตั้งค่าออก ฉันบอกว่า เป็นจํานวนตัวเลขที่ได้ลดลง
ระหว่าง A และ B ในสัดส่วนอย่างต่อเนื่องมาก
( ตัวเลข ) ก็จะตกอยู่ระหว่างแต่ละของ A และ B และ

สำหรับหน่วยในสัดส่วนอย่างต่อเนื่อง ให้อย่างน้อยสองตัวเลข F และ G ,ซึ่งอยู่ใน
อัตราส่วนของ A , C , D , B , ถูกถ่าย [ prop 7.33 ] .
และ ( อย่างน้อย ) สาม ( ตัวเลข ) , H , K , L . และ
อย่างต่อเนื่องเพิ่มขึ้น จนกระทั่งฝูง
( อย่างน้อยตัวเลขถ่าย ) ได้เท่ากับมวล
, C , D , B [ prop 8.2 ] ปล่อยให้พวกเขาได้รับการถ่ายและ
ให้ M , N , O , P . ดังนั้น ( มัน ) ได้ทำให้ชัดเจนว่า F
H ( โดยคูณตัวเอง และทำให้ M (
โดยคูณชั่วโมง G ทำให้ผม ( โดยคูณตัวเอง และทำให้ P (
) l [ คูณค้ำ 8.2 corr ] และ

ตั้งแต่ M , N , O , P เป็นอย่างน้อยของเหล่านั้น ( ตัวเลข ) มี
อัตราส่วนเดียวกับ F , G , A , C , D , B ยังมี
อย่างน้อยเหล่านั้น ( ตัวเลข ) มีอัตราส่วนเดียวกับ F , G
[ prop 8.2 ] , และมวล M , N , O , P เท่ากับ
เพื่อมวล A , C , D , B , และ M , N , O , P
เท่ากับ A , CD , B ตามลำดับ ดังนั้น M เท่ากับ

, P และ F ได้ตั้งแต่ B . H ( โดยคูณตัวเอง
F ดังนั้นมาตรการ H ตามหน่วยใน f
[ Sample 7.15 ] และหน่วย E ยังวัด F ตาม
หน่วยใน ดังนั้น มาตรการจํานวนหน่วย E F
เท่าที่ F ( วัด ) . ซึ่งเป็นหน่วย E
จำนวน F , F ( ) H [ Sample 7.20 ] อีกครั้ง เนื่องจาก
F ได้ m ( ) m : H , H ดังนั้นมาตรการ
ตามหน่วยใน F [ Sample 7.15 ] และหน่วย E
F ตามมาตรการจำนวนหน่วยในหน่วย E .
ดังนั้นมาตรการจํานวน F หลายครั้ง
เป็น H ( วัด ) เป็นหน่วยเมตรดังนั้น E จำนวน
F , H ( M ) [ prop 7.20 ] และมันก็แสดงให้เห็นว่าเป็น
หน่วย E ( มี ) จำนวน F , F (

) H . และดังนั้นจึงเป็นหน่วย E ( มี ) จำนวน F , F ( ) H และ H
, ( คือ ) M และ M ( ) เท่ากับ . ซึ่งเป็นหน่วย E
จำนวน F , F ( ) H และ H A ดังนั้น ,
เหมือนกัน ( เหตุผล ) เป็นหน่วย E ( มี ) หมายเลข G ,
ดังนั้นกรัม ( เป็น ) L และ L . ดังนั้น , มาก ( ตัวเลข )
ได้ลดลงระหว่าง A และ B ในสัดส่วนอย่างต่อเนื่อง
ตัวเลขมากก็ลดลงระหว่างแต่ละ
a และB และหน่วย E ในสัดส่วนอย่างต่อเนื่อง ( ซึ่งเป็นสิ่งที่มันเป็น )

ต้องแสดง