Int. Journal of Math. Analysis, Vol

Int. Journal of Math. Analysis, Vol. 7, 2013, no. 38, 1877 - 1884
HIKARI Ltd, www.m-hikari.com
http://dx.doi.org/10.12988/ijma.2013.35131
On Some Identities and Generating Functions

for k- Pell Numbers
Paula Catarino
1
Department of Mathematics
School of Science and Technology
University of Trás-os-Montes e Alto Douro (Vila Real – Portugal)
[e-mail]
Copyright © 2013 Paula Catarino. This is an open access article distributed under the Creative
Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in
any medium, provided the original work is properly cited.
Abstract
We obtain the Binet’s formula for k-Pell numbers and as a consequence we
get some properties for k-Pell numbers. Also we give the generating function for
k-Pell sequences and another expression for the general term of the sequence, using
the ordinary generating function, is provided.
Mathematics Subject Classification: 11B37, 05A15, 11B83.
Keywords: Pell numbers, k-Pell numbers, Generating functions, Binet’s formula
1. Introduction
Some sequences of number have been studied over several years, with
emphasis on studies of well-known Fibonacci sequence (and then the Lucas
sequence) that is related to the golden ratio. Many papers and research work are
dedicated to Fibonacci sequence, such as the work of Hoggatt, in [15] and
Vorobiov, in [13], among others and more recently we have, for example, the
works of Caldwell et al. in [4], Marques in [7], and Shattuck, in [11]. Also

1
Collaborator of CIDMA and CM-UTAD (Portuguese researches centers). 1878 Paula Catarino
relating with Fibonacci sequence, Falcın et al., in [14], consider some properties
for k-Fibonacci numbers obtained from elementary matrix algebra and its
identities including generating function and divisibility properties appears in the
paper of Bolat et al., in [3]. Other sequence, also important, is the sequence of Pell
numbers defined by the recursive recurrence given by
  2
 
 ,

 2, with
  0 and
  1. This sequence has been studied and some its
basic properties are known (see, for example, the study of Horadam, in [2]). In [10],
we find the matrix method for generating this sequence and comparable matrix
generators have been considered by Kalman, in [6], by Bicknell, in [12], for the
Fibonacci and Pell sequences. From this sequence, we obtain some types of other
sequences namely, Pell-Lucas and Modified Pell sequences and also Dasdemir, in
[1], consider some new matrices which are based on these sequences as well as
that they have the generating matrices. The Binet’s formula is also well known for
several of these sequences. Sometimes some basic properties come from this
formula. For example, for the sequence of Jacobsthal number, Koken and Bozkurt,
in [8], deduce some properties and the Binet’s formula, using matrix method. In
[9], Yilmaz et al. study some more properties related with k- Jacobsthal numbers.
According Jhala et al., in [5], we consider, in this paper, the k-Pell numbers
sequence and many properties are proved by easy arguments for the k-Pell
number.
2. The k-Pell Number and some identities

For any positive real number k, the k-Pell sequence say 
, ∈  is
defined recurrently by

,  2
, + k
,, for
 1, (1)
with initial conditions given by,

,  0,
,  1. (2)
Next we find the explicit formula for the term of order n of the k-Pell numbers
sequence using the well-known results involving recursive recurrences. Consider
the following characteristic equation, associated to the recurrence relation (1),

 2    0, (3)
with two distinct roots  and  . Note that the roots of the equation (3) are
  1  √1   and   1  √1   , where  is a real positive number.
Since√1    1, then   0 and so,   0  .
Also, we obtain that     2,     2√1   and   .
As a curiosity, for k  1, we obtain that   1  √2 is the silver ratio which is
related with the Pell number sequence. Silver ratio is the limiting ratio of
consecutive Pell numbers. Identities and generating functions for k-Pell numbers 1879
Proposition 1 (Binet’s formula)
The nth k-Pell number is given by

, 


 

 
(4)
where ,  are the roots of the characteristic equation (3) and  >  .
Proof: Since the equation (3) has two distinct roots, the sequence

, = c1(r1)
n
+ c2(r2)
n
(5)
is the solution of the equation (1). Giving to n the values n = 0 and n = 1 and
solving this system of linear equations, we obtain a unique value for c1 and c2. So,
we get the following distinct values, c1 =

√
and c2 = 

√
=  c1.
Since     2√1  , we can express c1 and c2, respectively by c1 =

 
and c2 = 

 
. Now, using (5), we obtain (4) as required.
∎
Proposition 2 (Catalan’s identity)

,
, 
,

 1




,

(6)
Proof: Using the Binet’s formula (4) and the fact that   , we get

,
, 
,

 !

"#
 
"#

$ !

%#
 
%#

$  !


 


$

 1



!

#

#

$

 1




,

,
that is, the identity required. ∎
Note that for   1 in Catalan’s identity obtained, we get the Cassini’s identity
for the -Pell numbers sequence. In fact, the equation (6), for   1, yields

,
, 
,

 1




,

and using one of the initial conditions of this sequence, we proved the following
result.
Proposition 3 (Cassini’s identity)

,
, 
,

 1



(7)
∎ 1880 Paula Catarino
The d’Ocagne’s identity can also obtained using the Binet’s formula as it was done
by Jhala et al. in [5] for the k-Jacobsthal sequence. Hence we have
Proposition 4 (d’Ocagne’s identity)
If m > n then
,&
, 
,&
,  1




,&. (8)
Proof: Once more, using the Binet’s formula (4), the fact that    and
' 
, we get

,
, 
,

 !

( 
(

$ !

%
 
%

$  !

(%
 
(%

$ !


 


$
 


!


("
 
("



$
 


!

("
 
("

$
 


,&
 1




,&.
∎
Again using the Binet’s formula (4) we obtain other property of the  -Pell
sequence which is stated in the following proposition.
Proposition 5
lim→-
./,
./,"
 . (9)
Proof: We have that
lim→-
./,
./,"
 lim→- !


 


$ !



"
 

"$  lim→- !


 



"
 

"$. (10)
Using the ratio


and since 0


0  1, then lim→- !


$

 0. Next we use this
fact writing (10) with an equivalent form using this ratio, obtaining
lim→-
./,
./,"
 lim→-
!
#
#
$


#
!
#
#
$
 
#
 lim→-


#
 .
∎
Also, we easily can show the following result using basic tools of calculus of limits
and the (9). Identities and generating functions for k-Pell numbers 1881
Proposition 6
lim→-
./,"
./,



. (11)
∎
3. Generating functions for the k-Pell sequences
Next we shall give the generating functions for the k-Pell sequences. We shall
write the k-Pell sequence as a power series where each term of the sequence
correspond to coefficients of the series and from that fact, we find the generating
function. Let us consider the k-Pell sequences 1
,2

for any positive integer k.
By definition of ordinary generating function of some sequence, considering this
sequence, the ordinary generating function associated is defined by
3
,; 5  ∑
,5
- 
7 
, 
,5 
, 5
 ⋯ 
,5

+… (12)
Using the initial conditions, we get
3
,; 5  5  ∑
,5
- 
7
. (13)
Now from (1) we can write (13) as follows
3
,; 5  5  ∑ 2
,  
, 5
- 
7
. (14)
Consider the right side of the equation (14) and doing some calculations, we
obtain that
5  92
,  
, 5

-
7
 5  29
,5

-
7
  9
, 5

-
7
 5  25 ∑
,5
  5
-
7 ∑
, 5
- 
7
. (15)
Consider that : 
 2 and ; 
 1. Then (15) can be written by
5  25 9
,

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สมุดรายวันของดอกเบี้ยของคณิตศาสตร์ วิเคราะห์ ปี 7, 2013 หมายเลข 38, 1877-1884 Www.m-hikari.com Ltd ฮิคาริ http://dx.doi.org/10.12988/ijma.2013.35131 บางข้อมูลและสร้างฟังก์ชัน สำหรับหมายเลข k Pell พอลล่า Catarino1ภาควิชาคณิตศาสตร์ โรงเรียนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี มหาวิทยาลัยของ Trás-os-Montes อีอัลโต้ Douro (วิจริง – โปรตุเกส) [e-mail] สงวนลิขสิทธิ์ © 2013 Paula Catarino เป็นบทความเปิดเข้าแจกจ่ายภายใต้การสร้างสรรค์ คอมมอนส์แสดงลิขสิทธิ์ ที่อนุญาตให้ใช้จำกัด การกระจาย และการสืบพันธุ์ใน อย่างถูกต้องมีอ้างสื่อใด ๆ ให้งานต้นฉบับ บทคัดย่อ เราได้สูตรของ Binet สำหรับหมายเลข k Pell และส่งผลต่อเรา รับคุณสมบัติบางอย่างสำหรับหมายเลข k Pell นอกจากนี้ เราให้ฟังก์ชันสร้างสำหรับ ลำดับ k Pell และนิพจน์อื่นสำหรับคำทั่วไปของลำดับ ใช้ สร้างฟังก์ชันธรรมดา ที่มีให้ คณิตศาสตร์เรื่องประเภท: 11B37, 05A15, 11B83 คำสำคัญ: หมายเลข Pell, k Pell เลข ฟังก์ชัน Generating สูตรของ Binet1. บทนำ มีการศึกษาหลายปี บางลำดับหมายเลขด้วย เน้นศึกษารู้จักลำดับ Fibonacci (แล้ว Lucas ลำดับ) ที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนทอง เอกสารและงานวิจัยอีกหลาย การลำดับ Fibonacci เช่นงานของ Hoggatt [15] และ Vorobiov ใน [13], เพิ่มเติมล่าสุดเราได้ เช่น และอื่น ๆ works of Caldwell et al. in [4], Marques in [7], and Shattuck, in [11]. Also 1 Collaborator of CIDMA and CM-UTAD (Portuguese researches centers). 1878 Paula Catarinorelating with Fibonacci sequence, Falcın et al., in [14], consider some properties for k-Fibonacci numbers obtained from elementary matrix algebra and itsidentities including generating function and divisibility properties appears in the paper of Bolat et al., in [3]. Other sequence, also important, is the sequence of Pell numbers defined by the recursive recurrence given by
  2
 
 , 2, with
 0 and
  1. This sequence has been studied and some its basic properties are known (see, for example, the study of Horadam, in [2]). In [10], we find the matrix method for generating this sequence and comparable matrix generators have been considered by Kalman, in [6], by Bicknell, in [12], for the Fibonacci and Pell sequences. From this sequence, we obtain some types of other sequences namely, Pell-Lucas and Modified Pell sequences and also Dasdemir, in [1], consider some new matrices which are based on these sequences as well as that they have the generating matrices. The Binet’s formula is also well known for several of these sequences. Sometimes some basic properties come from this formula. For example, for the sequence of Jacobsthal number, Koken and Bozkurt, in [8], deduce some properties and the Binet’s formula, using matrix method. In [9], Yilmaz et al. ศึกษาคุณสมบัติบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับหมายเลข k-Jacobsthal ตาม Jhala et al. ใน [5], เราพิจารณา ในเอกสารนี้ หมายเลข k Pell ลำดับและคุณสมบัติมากมายที่พิสูจน์ โดยอาร์กิวเมนต์ง่ายสำหรับ k Pell หมายเลข 2. หมายเลข k Pell และเอกลักษณ์บางอย่าง สำหรับทุกจำนวนจริงบวก k พูดลำดับ k Pell ∈ กำหนดโดย recurrently
,  2
, + k
,, for 1 (1) มีเงื่อนไขเบื้องต้นให้ ด้วย
,  0,
,  1. (2) ต่อไป เราค้นหาสูตรชัดเจนสำหรับคำสั่ง n จำนวน k Pell ลำดับที่โดยใช้ผลรู้จักเกี่ยวข้องกับการเกิดซ้ำ พิจารณา สมการลักษณะต่อไปนี้ เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด (1),   2    0, (3) มีรากแตกต่างกันสอง และ หมายเหตุที่รากของสมการ (3) 1 √1 และ 1 √1 ที่เป็นจำนวนจริงบวก Since√1 1 แล้ว 0 0 และ อื่น ๆ ยัง เราได้ที่ 2, 2√1 และ เป็นความอยากรู้ สำหรับ k 1 เราได้รับ 1 ที่ √2 เป็นอัตราส่วนเงินที่ ที่เกี่ยวข้องกับลำดับหมายเลข Pell อัตราส่วนเงินคือ อัตราส่วนของข้อจำกัด หมายเลข Pell ข้อมูลและสร้างฟังก์ชันสำหรับหมายเลข k Pell 1879 ข้อเสนอ 1 (สูตรของ Binet) เลข k-Pell ถูกกำหนดโดย
,     (4) ที่ เป็นรากของสมการลักษณะ (3) และ > หลักฐาน: เนื่องจากสมการ (3) มีสองหมด ราก ลำดับที่ , = c1(r1)n + c2(r2)n (5) เป็นการแก้ปัญหาของสมการ (1) ให้ n ค่า n = 0 และ n = 1 และ แก้ระบบสมการเชิงเส้นนี้ เรารับเฉพาะค่า c1 และ c2 ดังนั้น เราได้รับการต่อไปนี้ค่า c1 =  √ และ c2 = √ = c1 ตั้งแต่ 2√1 เราสามารถแสดง c1 และ c2 ตามลำดับ โดย c1 =  และ c2 = . ตอนนี้ ใช้ (5), เราขอรับ (4) ตามที่ต้องการ ∎ เสนอ 2 (ตัวตนของคาตาลัน)
,
, 
,  1
, (6) พิสูจน์: โดยใช้สูตรของ Binet (4) และข้อเท็จจริงว่า เราได้รับ
,
, 
,  !"# "#$ !%# %#$  ! $  1 !##$  1 
, , นั่นคือ ลักษณะเฉพาะจำเป็น ∎ โปรดสังเกตว่า สำหรับ 1 ในตัวตนของคาตาลันได้ เราได้รับรหัสประจำตัวของสสินี สำหรับลำดับหมายเลข - Pell ในความเป็นจริง ทำให้สมการ (6), 1
,
, 
,  1
, และใช้เงื่อนไขเริ่มต้นของลำดับนี้อย่างใดอย่างหนึ่ง เราพิสูจน์ต่อไปนี้ ผลการ เสนอ 3 (ตัวตนของสสินี)
,
, 
,  1 (7) ∎ 1880 Paula Catarinoสามารถประจำของ d'Ocagne ยัง ได้รับโดยใช้สูตรของ Binet เป็นอย่าง โดย Jhala et al. ใน [5] สำหรับลำดับ k-Jacobsthal ดังนั้น เรามี เสนอ 4 (เอกลักษณ์ของ d'Ocagne) ถ้า m > n แล้ว และ และ 1และการ (8) หลักฐาน: อีกครั้ง โดยใช้สูตรของ Binet (4), ความจริงที่ และ '  เราได้รับ
,
, 
,  !( ($ !% %$  !(% (%$ ! $   !(" ("$   !(" ("$  
,&  1
,&. ∎ (4) เราอีกครั้ง โดยใช้สูตรของ Binet ได้ - Pell ทรัพย์สินอื่น ๆ ลำดับที่ระบุไว้ในข้อเสนอต่อไปนี้ เสนอ 5 ริม→-./,./," . (9) หลักฐาน: เราได้ที่ ริม→-./,./,"ริม→- $ !" "$  lim→- ! " "$. (10) ใช้อัตราส่วน  และ ตั้งแต่ 00 1 แล้วริม→ -$0 ต่อไป เราใช้นี้ ความจริงที่เขียน (10) ด้วยเทียบเท่าแบบที่ใช้อัตราส่วนนี้ ได้รับ ริม→-./,./,"ริม→-!##$#!##$ #ริม→-# . ∎ เราได้อย่างง่ายดายสามารถแสดงผลลัพธ์ต่อไปนี้โดยใช้เครื่องมือพื้นฐานของแคลคูลัสของวงเงิน และ (9) ข้อมูลและสร้างฟังก์ชันสำหรับ k-Pell หมายเลข 1881 เสนอ 6 ริม→-./,"./, . (11) ∎ 3. สร้างฟังก์ชันสำหรับ k-Pell ลำดับต่อไป เราจะให้ฟังก์ชันสร้างลำดับ k Pell เราต้อง เขียนลำดับ k Pell เป็นชุดไฟที่แต่ละระยะของลำดับ สอดคล้องกับค่าสัมประสิทธิ์ของชุด และจากความจริงนั้น เราค้นหาสร้าง ฟังก์ชันการ ให้เราพิจารณา k Pell ลำดับ 1, 2 สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก k จากคำนิยามของฟังก์ชันสร้างสามัญลำดับบาง พิจารณานี้ ลำดับ กำหนดโดยฟังก์ชันสร้างสามัญที่เกี่ยวข้อง 3
,; 5  ∑
,5- 7 
, 
,5 
, 5  ⋯ 
,5+… (12) เราใช้เงื่อนไขเริ่มต้น ได้รับ 3
,; 5  5  ∑
,5- 7 . (13) ตอนนี้ จาก (1) เราสามารถเขียน (13) ดังนี้ 3
,; 5  5  ∑ 2
,  
, 5- 7 . (14) ด้านขวาของสมการ (14) พิจารณา และทำการคำนวณบาง เรา ขอรับที่ 5  92
,  
, 5-7 5 29, 5-7   9
, 5-7 5 25 ∑ 5  5- 7 ∑
, 5-  7 . (15) เห็นว่า: 2 และ  1 แล้ว (15) สามารถที่จะเขียนโดย 5 25 9

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

แปลความหมาย [ วารสารคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ , ฉบับที่ 7 , 2013 , ฉบับที่ 38 , 1877 - 1884
ฮิคาริ จำกัด , www.m-hikari.com

บาง http://dx.doi.org/10.12988/ijma.2013.35131 อัตลักษณ์และการสร้างฟังก์ชัน

สำหรับ K - เพลล์หมายเลข
พอลล่า catarino
1
ภาควิชาคณิตศาสตร์ในโรงเรียน

วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีมหาวิทยาลัย portugal provinces . kgm ( Vila จริง ( โปรตุเกส )

[e-mail]สงวนลิขสิทธิ์สงวนลิขสิทธิ์ 2013 พอลล่า catarino . นี่คือการเปิดบทความเผยแพร่ภายใต้ความคิดสร้างสรรค์คอมมอนส์ Attribution
ใบอนุญาตที่อนุญาตให้ใช้ ไม่จำกัดการกระจายและการสืบพันธุ์ใน
สื่อใด ๆ ให้งานต้นฉบับที่ถูกอ้างถึง .

เราขอรับเป็นสูตรของบิเนต์ สำหรับตัวเลข k-pell และเป็นผลเรา
เอาคุณสมบัติสำหรับตัวเลข k-pell .นอกจากนี้เราให้สร้างฟังก์ชันสำหรับ
ลำดับ k-pell และการแสดงออกอื่นสําหรับคําทั่วไปของลำดับ โดยใช้
ธรรมดาสร้างฟังก์ชันที่ให้ไว้
คณิตศาสตร์เรื่องหมวดหมู่ : 11b37 05a15 11b83 , , .
คำสำคัญ : เพลล์หมายเลข ตัวเลข k-pell สร้างฟังก์ชัน บิเนต์สูตร
1 บทนำ
บางลำดับเลขที่ได้รับการศึกษามาหลายปีกับ
เน้นการศึกษาที่มีชื่อเสียงลำดับเลขฟีโบนัชชี ( และลำดับลูคัส
) ที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนโกลเด้น เอกสารมากมาย และทำงานวิจัย
ทุ่มเทเพื่อลำดับฟีโบนัชชี เช่นงานของ hoggatt , [ 15 ] และ
vorobiov ใน [ 13 ] , หมู่คนอื่น ๆและเมื่อเร็ว ๆ นี้ เรา มี ตัวอย่าง
ผลงานของ Caldwell et al . ใน [ 4 ] , Marques ใน [ 7 ] และแช้ตทัค , [ 11 ] ยัง


1ทํางานร่วมกันของ cidma cm-utad ( โปรตุเกสและศูนย์วิจัย ) 1878 พอลล่า catarino
ที่เกี่ยวข้องกับลำดับฟีโบนัชชี falc ı n et al . , [ 14 ] พิจารณาคุณสมบัติ
สำหรับ k-fibonacci ตัวเลขที่ได้จากพีชคณิตเมตริกซ์เบื้องต้น และเอกลักษณ์ของ
รวมทั้งการสร้างฟังก์ชันและคุณสมบัติการหารลงตัวปรากฏใน
กระดาษของ bolat et al . , [ 3 ] อื่น ๆยัง สำคัญ ลำดับเป็นลำดับของตัวเลขที่กำหนดโดยเพล
recursive ซ้ำให้โดย
  2
   
 

 , 2 ,
  0 และ
  1 ลำดับนี้ได้ศึกษาและบางคุณสมบัติพื้นฐานของ
เป็นที่รู้จักกัน ( ดู ตัวอย่าง การศึกษา horadam ใน [ 2 ] ) ใน [ 10 ]
เราหาเมตริกซ์วิธีการสร้างลำดับนี้และเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเมทริกซ์
เปรียบได้รับการพิจารณาโดยคาลมาน ใน [ 6 ]โดยบิกเนิลล์ , [ 12 ] ,
และลำดับ Fibonacci เพล . จากลำดับนี้เราจะได้รับบางประเภทของลำดับอื่น
คือเพล ลูคัส กับ เพล ลำดับการแก้ไขและยัง dasdemir ใน
[ 1 ] พิจารณาบางส่วนเมทริกซ์ใหม่ซึ่งจะขึ้นอยู่กับลำดับเหล่านี้เช่นเดียวกับ
ที่พวกเขาได้สร้างเมทริกซ์ ส่วนสูตรของบิเนต์ยังเป็นรู้จักกันดี
หลายลำดับเหล่านี้บางครั้งคุณสมบัติพื้นฐานบางอย่างมาจากสูตรนี้

ตัวอย่างเช่นลำดับของ jacobsthal หมายเลข และในบาง bozkurt
, [ 8 ] , สรุปคุณสมบัติและสูตรของบิเนต์ โดยใช้วิธีเมตริกซ์ ใน
[ 9 ] , ô et al . การศึกษาคุณสมบัติเพิ่มเติมที่เกี่ยวข้องกับ K - jacobsthal ตัวเลข
ตาม jhala et al . , [ 5 ] , เราพิจารณา ในกระดาษนี้ ตัวเลข k-pell
ลำดับและคุณสมบัติหลายจะพิสูจน์โดยอาร์กิวเมนต์ที่ง่ายสำหรับ k-pell
หมายเลข
2 . การ k-pell จำนวนและบางตัว

สำหรับ K จํานวนจริงบวก , k-pell ลำดับว่า 
   ,  ∈  คือกำหนด recurrently ด้วย


   ,   2
  K ,
    , ,

 1 ( 1 ) กับ เงื่อนไขเบื้องต้นให้โดย

   , 0 ,
  ,  1 ( 2 )