VOL. 80, NO. 1, FEBRUARY 2007 67res

VOL. 80, NO. 1, FEBRUARY 2007 67
residues mod p, and, mod q, they consist of p − 1 copies of each of the quadratic
residues mod q.
Acknowledgment. Thanks to the referees for suggestions that greatly improved the paper.
REFERENCES
1. Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1976.
2. Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 3rd ed., Springer, New York, 2004.
3. E. S. Selmer and ¨O. Beyer, On the linear diophantine problem of Frobenius in three variables, J. reine angew.
Math., 301 (1978) 161–170.
4. J. J. Sylvester, Question 7382, Mathematical Questions from the Educational Times, 37 (1884) 26.
Factoring Quartic Polynomials: A Lost Art
GARY BROOKFIELD
California State University
Los Angeles CA 90032-8204
[e-mail]
You probably know how to factor the cubic polynomial x3 − 4x2 + 4x − 3 into
(x − 3)(x2 − x + 1). But can you factor the quartic polynomial x4 − 8x3 + 22x2 −
19x − 8?
Curiously, techniques for factoring quartic polynomials over the rationals are never
discussed in modern algebra textbooks. Indeed, Theorem 1 of this note, giving conditions
for the reducibility of quartic polynomials, appears in the literature, so far as I
know, in only one other place—on page 553 (the very last page) of Algebra, Part 1 by
G. Chrystal [3], first published in 1886. Interest in the theory of equations, the subject
of this book and many others of similar vintage, seems to have faded, and the factorization
theory for quartic polynomials, presented in this note, seems to have been
forgotten. Perhaps it is time for a revival!
All polynomials in this note have rational coefficients, that is, all polynomials are
in Q[x]. Moreover, we are interested only in factorizations into polynomials in Q[x].
The factorization x2 − 2 = (x +
√
2)(x −
√
2) is not of this type since x +
√
2 and
x −
√
2 are not in Q[x]. In our context, x2 − 2 has no nontrivial factorizations and so is
irreducible. A polynomial, such as x3 − 4x2 + 4x − 3 = (x − 3)(x2 − x + 1), which
has a nontrivial factorization is said to be reducible. For a nice general discussion about
the factorization of polynomials over Q, see [1].
Basic tools for factoring polynomials are the following:
• Factor Theorem: Let f ∈ Q[x] and c ∈ Q. Then c is a root of f (that is, f (c) = 0)
if and only if x − c is a factor of f (x).
• Rational Roots Theorem: Let f (x) = an xn + an−1xn−1 +· · ·+a1x + a0 with integer
coefficients an , an−1, . . . , a0. If p/q is a rational number in lowest terms such
that f (p/q) = 0, then p divides a0 and q divides an .
These theorems suffice to factor any quadratic or cubic polynomial since such a
polynomial is reducible if and only if it has a root in Q. Finding such a root is made
easy by the rational roots theorem, and then long division yields the corresponding
factorization.
68 MATHEMATICS MAGAZINE
On the other hand, a quartic polynomial may factor into a product of two quadratic
polynomials but have no roots in Q. For example, f (x) = (x2 − 2)(x2 − 2) has no
roots inQbut obviously factors. Thus to determine whether or not a quartic polynomial
without rational roots is reducible, we need to know whether it factors into a product
of two quadratic polynomials. Theorem 1 shows that this question can be answered
using an associated cubic polynomial called the resolvent.
To simplify our presentation we will consider only polynomials in reduced form: If
f (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e ∈ Q[x] (with a = 0) is an arbitrary quartic polynomial,
then the reduced form of f is the polynomial f (x − b/4a)/a. For example,
the reduced form of f (x) = x4 − 8x3 + 22x2 − 19x − 8 is f (x + 2) = x4 − 2x2 +
5x − 6. The reduced form has leading coefficient one and no degree three term. It is
easy to see how a factorization of the reduced form gives a factorization of the original
polynomial (see Example 4). Thus we lose no generality in the following theorem by
assuming that f is already in the reduced form f (x) = x4 + cx2 + dx + e. In this
circumstance, the resolvent of f is the cubic polynomial
R(z) = z3 + 2c z2 + (c2 − 4e) z − d2.
Since it is easy to calculate the roots of f once it has been factored, it is no surprise
that the resolvent also appears in the many published methods for finding the roots of
quartic polynomials (see, for example, [2]).
In what follows we write Q2 = {s2 | s ∈ Q} for the set of squares in Q.
THEOREM 1. The quartic polynomial f (x) = x4 + cx2 + dx + e ∈ Q[x] factors
into quadratic polynomials in Q[x] if and only if (at least) one of the following holds:
(A) The resolvent R has a nonzero root in Q2.
(B) d = 0 and c2 − 4e ∈ Q2.
Proof. Suppose f factors as
f (x) = (x2 + hx + k)(x2 + h
x + k

), (1)
with h, h

, k, k
∈ Q. Multiplying (1) out and matching coefficients we get
0 = h + h

, e = kk

, (2)
d = hk
+ h
k, c = hh
+ k + k

. (3)
In particular, h
= −h. The equations in (3) are linear in k and k
and can be solved to
yield
2hk = h3 + ch − d, 2hk
= h3 + ch + d. (4)
From e = kk
and (4) we get
4h2e = (2hk)(2hk

) = (h3 + ch − d)(h3 + ch + d). (5)
Multiplying this out we get
h6 + 2c h4 + (c2 − 4e) h2 − d2 = 0, (6)
and so h2 is a root of the resolvent R. If h = 0, then (A) of the theorem holds. Otherwise,
h = 0 and (6) implies that d = 0 and, from (2) and (3), we get c2 − 4e =
(k + k

)2 − 4kk
= (k − k

)2 ∈ Q2. Thus, in this case, (B) of the theorem holds.
Now suppose that the resolvent R has a nonzero root in Q2. Then there is some
nonzero h ∈ Q such that (6) holds. Set
VOL. 80, NO. 1, FEBRUARY 2007 69
h
= −h, k = 1
2h
(h3 + ch − d), k
= 1
2h
(h3 + ch + d). (7)
Then h

, k, k
∈ Q and, since (5) follows from (6), the equations (2) and (3) hold. Thus
f factors into quadratic polynomials in Q[x] as in (1).
Suppose that d = 0 and c2 − 4e ∈ Q2. Then c2 − 4e = s2 for some s ∈ Q. Set
h = h
= 0, k = (c + s)/2 and k
= (c − s)/2. (8)
Then h, h

, k, k
∈ Q and k + k
= c, kk
= (c2 − s2)/4 = e, f (x) = (x2 + k)(x2 +
k

), and so once again f factors into quadratic polynomials in Q[x].
From the proof of this theorem we can extract an algorithm for factoring a quartic
polynomial f in reduced form. First, using the rational roots theorem, look for a
rational root of f . If c ∈ Q is such a root, then, by the factor theorem, we know that
f (x) = (x − c) g(x) for some cubic polynomial g (which can be determined by long
division). If f has no rational roots, we look for rational roots of the resolvent R. If
h2 ∈ Q2 is a nonzero root of R, then condition (A) of Theorem 1 holds, and (7) and (1)
give a factorization of f . If condition (B) of Theorem 1 holds, then equations (8) and
(1) determine a factorization of f . If these steps fail to produce a factorization, then f
is irreducible.
EXAMPLE 1. Let f (x) = x4 + x2 + x + 1. Then neither f nor the resolvent
R(z) = z3 + 2z2 − 3z − 1 has a rational root. Thus f is irreducible.
EXAMPLE 2. Let f (x) = x4 + 2x2 + 5x + 11. Then f has no rational roots, and
the resolvent R(z) = z3 + 4z2 − 40z − 25 has one rational root, namely 5, which is
not in Q2. Thus f is irreducible.
EXAMPLE 3. Let f (x) = x4 − 12x2 − 3x + 2. Then f has no rational roots, and
the resolvent R(z) = z3 − 24z2 + 136z − 9 has one rational root, namely 9 ∈ Q2. Thus
f is reducible. Setting h =
√
9 = 3 in (7) and (1) we get f (x) = (x2 + 3x − 1)(x2 −
3x − 2).
EXAMPLE 4. Let f (x) = x4 − 8x3 + 22x2 − 19x − 8, the motivating example
from the beginning of this note. Then f has no rational roots. The reduced form
of this polynomial is f (x + 2) = x4 − 2x2 + 5x − 6, and its resolvent is R(z) =
z3 − 4z2 + 28z − 25 with one rational root, namely, 1 ∈ Q2. Thus f is reducible.
Setting h =
√
1 = 1 in (7) and (1) we get f (x + 2) = (x2 + x − 3)(x2 − x + 2) and
so f (x) = (x2 − 3x − 1)(x2 − 5x + 8).
We conclude by investigating the interesting special case when f (x) = x4 + cx2 +
e. If r ∈ Q is a root of f (x) = x4 + cx2 + e then so is −r, and x2 − r 2 ∈ Q[x] divides
f . Thus f is reducible if and only if it factors into two quadratic polynomials.
Since d = 0, the resolvent of f is
R(z) = z z2 + 2c z + (c2 − 4e) ,
with roots 0,−c ± 2
√
e. Theorem 1 now provides a test for the irreducibility of f :
THEOREM 2. [4, Theorem 2] A quartic polynomial f (x) = x4 + cx2 + e ∈ Q[x]
is reducible if and only if c2 − 4e ∈ Q2 or −c + 2
√
e ∈ Q2 or −c − 2
√
e ∈ Q2. For
the conditions involving
√
e to hold it is, of course, necessary that e ∈ Q2.
EXAMPLE 5. If f (x) = x4 − 3x2 + 1, then c = −3 and e = 1.We have c2 − 4e =
5 ∈ Q2, −c + 2
√
e = 5 ∈ Q2 and −c − 2
√
e = 1 ∈ Q2. Thus f is reducible. To cal70
MATHEMATICS MAGAZINE
culate the factorization we set h = 1 in (7) and (1) to get f (x) = (x2 + x − 1)(x2 −
x − 1).
EXAMPLE 6. If f (x) = x4 − 16x2 + 4, then c = −16 and e = 4. We have c2 −
4e = 240 ∈ Q2, −c + 2
√
e = 20 ∈ Q2 and −c − 2
√
e = 12 ∈ Q2, and so f is irreducible.
REFERENCES
1. H.L. Dorwarts, Can This Polynomial Be Factored? Two-Year College Math. J., 8(2) (1977) 67–72.
2. William F. Carpenter, On the Solution of the Real Quartic, this MAGAZINE, 39 (1966) 28–30.
3. G. Chrystal, Algebra, An Elementary Textbook, Part I, Seventh ed., AMS Chelsea Pub., 1964.
4. L. Kappe and B. Warren, An Elementary Test for the Galois Group of a Quartic Polynomial, Amer. Math.
Monthly, 96 (1989) 133–137.
Butterflies in Quadrilaterals:
A Comment on a Note by Sidney Kung
EISSO J . ATZEMA
University of Maine
Orono, ME 04469-5752
[e-mail]
In the October 2005 issue of Mathematics Magazine, Sidney Kung published a note on
a theorem on butterflies inscribed in a quadrilateral which bears remarkable similarity
to the usual Butterfly Theorem (see [5]).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ฉบับ 80 หมายเลข 1, 2550 กุมภาพันธ์ 67พี มดตกค้าง และ q มด ประกอบด้วย p − 1 สำเนาของแต่ละสมการกำลังสองตกมด qยอมรับ ขอบคุณกรรมการที่กระดาษที่ดีขึ้นมากอ้างอิง1. ทอม M. Apostol แนะนำการวิเคราะห์ทฤษฎีจำนวน เกอร์-Verlag นิวยอร์ก 19762. ริชาร์ดเคผู้ชาย ไว้โดยไม่แก้ไขปัญหาในทฤษฎีจำนวน 3 ed., เกอร์ นิวยอร์ก 20043. E. S. Selmer และ ¨O คุก ปัญหา diophantine เชิงเส้นของโฟรเบนีอุสที่ในตัวแปรที่สาม J. reine angewMath., 301 (1978) 161-1704. J. J. ซิลเวสเตอร์ ถาม 7382 คำถามทางคณิตศาสตร์จากการศึกษาครั้ง 37 (1884) 26แฟคตอริ่ง Quartic Polynomials: A หายศิลปะแกรี่ BROOKFIELDมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนียลอสแองเจลิส CA [e-mail]คุณอาจจะรู้วิธีการปัจจัยลูกบาศก์พหุนาม x 3 − 4 x 2 + 4 x − 3 เข้า(x − 3) (x 2 − x + 1) แต่คุณสามารถปัจจัย−− 8 x 3 + 22 x 2 quartic พหุนาม x 419 x − 8ซอกแซก เทคนิคสำหรับ quartic polynomials ผ่าน rationals ไม่เคยกล่าวถึงในตำราพีชคณิตสมัยใหม่ จริง ทฤษฎีบทที่ 1 ของหมายเหตุนี้ ให้เงื่อนไขสำหรับ reducibility ของ quartic polynomials ปรากฏในวรรณคดี เท่าที่ผมรู้ว่า ที่เดียวเท่านั้นอื่น ๆ — หน้า 553 (หน้าสุดท้าย) ของพีชคณิต ส่วนที่ 1 โดยประชุม G. [3], เผยแพร่ครั้งแรกน้ำพุ สนใจในทฤษฎีของสมการ เรื่องหนังสือเล่มนี้และอื่น ๆ อีกมากมายของวินเทจคล้าย ดูเหมือนจะ จางลง และการแยกตัวประกอบทฤษฎีสำหรับ quartic polynomials แสดงในหมายเหตุนี้ ดูเหมือนจะ ได้รับลืม บางทีมันเป็นเวลาสำหรับการฟื้นฟูทั้งหมด polynomials ในหมายเหตุนี้มีสัมประสิทธิ์มีเหตุผล polynomials ทั้งหมดคือใน Q [x] นอกจากนั้น เราก็สนใจเฉพาะ factorizations เป็น polynomials ใน Q [x]แยกตัวประกอบ x 2 − 2 = (x +√2) (x −√2) ไม่ได้ชนิดนี้ตั้งแต่ x +√2 และx −√2 ไม่ได้ Q [x] ในบริบทของเรา 2 x − 2 factorizations ไม่ nontrivial และดังนั้นอย่างต่ำ พหุนาม เช่น x 3 − 4 x 2 + 4 x − 3 = (x − 3) (x 2 − x + 1), ที่มีการ nontrivial การแยกตัวประกอบกล่าวได้ว่า reducible สำหรับการสนทนาทั่วไปดีเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของ polynomials ผ่าน Q ดู [1]เครื่องมือพื้นฐานสำหรับ polynomials คือ ต่อไปนี้:•ปัจจัยทฤษฎีบท: ให้ c ∈ Q และ Q ∈ f [x] แล้ว c เป็นรากของ f (คือ f (c) = 0)ถ้าเพียงแต่ x − c เป็นตัวคูณของ f (x)•ทฤษฎีบทรากเหตุผล: ให้ f (x) = xn + การ an−1xn−1 + ··· + a1x + a0 ที่จำนวนเต็มสัมประสิทธิ์การ an−1,..., a0 ถ้า p/q เป็นจำนวนตรรกยะในต่ำสุดดังกล่าวที่ f (p q) = 0 แล้ว p แบ่ง a0 และ q แบ่งเป็นTheorems เหล่านี้พอจะเป็นปัจจัยพหุนามกำลังสอง หรือลูกบาศก์ใด ๆ ตั้งแต่เช่นการพหุนามคือ reducible เท่านั้นหากมีราก Q. หาทำเป็นรากง่าย โดยทฤษฎีบทรากมีเหตุผล และจากนั้น หารยาวผลผลิตสอดคล้องกันการแยกตัวประกอบนิตยสารคณิตศาสตร์ 68บนมืออื่น ๆ อาจเป็นปัจจัยพหุนาม quartic เป็นผลิตภัณฑ์ของสองสมการกำลังสองpolynomials แต่มีรากไม่มีใน Q เช่น f (x) = (x 2 − 2) (x 2 − 2) ไม่มีปัจจัยราก inQbut ชัด ดังนั้นการตรวจสอบหรือไม่ว่าพหุนาม quarticโดยไม่มีเหตุผลรากนั้น reducible เราต้องรู้ว่า มันปัจจัยลงในผลิตภัณฑ์ของสองกำลังสอง polynomials ทฤษฎีบท 1 แสดงว่า สามารถตอบคำถามนี้ใช้พหุนามลูกบาศก์เชื่อมโยงที่เรียกว่า resolvent การเพื่อทำให้การนำเสนอของเรา เราจะพิจารณาเฉพาะ polynomials แบบลด: ถ้าf (x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e ∈ Q [x] (ด้วยการ = 0) คือ quartic การกำหนดพหุนามพหุนาม f (x − b/4a) เป็นแบบลดของ f / a เช่นแบบลดของ f (x) = x 4 − 8 x 3 + 22 x 2 − 19 x − 8 เป็น f (x + 2) = x 4 − 2 x 2 +5 x − 6 แบบฟอร์มที่ลดลงมีค่าสัมประสิทธิ์การนำ หนึ่งองศาระยะสาม มันเป็นการดูวิธีการแยกตัวประกอบของแบบฟอร์มที่ลดลงทำให้การแยกตัวประกอบของเดิมพหุนาม (ดูตัวอย่างที่ 4) ดังนั้น เราสูญเสียทั่วไปไม่มีในทฤษฎีบทต่อไปนี้โดยสมมติว่า f อยู่แล้วในแบบฟอร์มการลด f (x) = x 4 + cx2 + dx + e ในที่นี้สถานการณ์ resolvent ของ f คือ พหุนามลูกบาศก์R(z) = z3 + c z2 2 + (c2 − 4e) z − d2เนื่องจากเป็นการคำนวณรากของ f เมื่อมีการแยกตัวประกอบ จึงไม่แปลกใจว่า resolvent ที่ยังปรากฏในหลายวิธีที่เผยแพร่สำหรับการหารากของpolynomials quartic ที่ (ดู ตัวอย่าง, [2])ในสิ่งต่อไปนี้เราเขียน Q2 = { s2 | s ∈ Q } สำหรับชุดของสี่เหลี่ยมใน Qทฤษฎีบทที่ 1 Quartic พหุนาม f (x) = x 4 + cx2 + dx + e ∈ Q [x] ปัจจัยใน polynomials กำลังสองใน Q [x] ถ้าและเดียวถ้า (น้อยมาก ๆ) อย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้ได้:(A R resolvent)มีค่ารากในไตรมาสที่ 2(ข) d = 0 และ c2 − 4e ∈ Q2หลักฐาน สมมติว่า f ปัจจัยเป็นf (x) = (x 2 + hx + k) (x 2 + hx + k), (1)กับ h, h, k, k∈ Q. คูณสัมประสิทธิ์ออก และจับคู่ (1) ที่เราได้รับ0 = h + h, e =เค, (2)d = hk+ hk, c = hh+ k + k. (3)ในเฉพาะ h= −h. สมการใน (3) มีเส้นตรง k และ kและสามารถแก้ไขเพื่อผลตอบแทน2hk = h3 + ch − d, 2hk= h3 + ch + d. (4)จาก e =เค(4) เราได้4h2e = (2hk) (2hk) = (h3 + ch − d) (h3 + ch + d) (5)เราคูณนี้ออกได้h6 c h4 + 2 + (c2 − 4e) h2 − d2 = 0, (6)และดังนั้น h2 เป็นรากของ resolvent R. ถ้า h = 0 แล้ว (A) การถือทฤษฎีบท มิฉะนั้นh = 0 และ (6) หมายถึงการที่ d = 0 และ (2) และ (3), เราได้รับ c2 − 4e =(k + k) 4kk 2 −= (k − k) ไตรมาสที่ 2 2 ∈ ดังนั้น ในกรณีนี้, (B) การถือทฤษฎีบทตอนนี้ สมมติว่า resolvent R มีรากค่าในไตรมาสที่ 2 มีบางค่า h ∈ Q ดังกล่าวถือว่า (6) การตั้งค่าฉบับ 80 หมายเลข 1, 2550 กุมภาพันธ์ 69ชม= −h, k = 12 ชม(h3 + ch − d), k= 12 ชม(h3 + ch + d) (7)แล้ว h, k, k∈ Q ค้าง ตั้งแต่นี้ (5) (6), สมการ (2) และ (3) ดังนั้นปัจจัย f เป็น polynomials กำลังสองใน Q [x] เช่น (1)สมมติว่า d = 0 และ c2 − 4e ∈ Q2 แล้ว c2 − 4e = s2 สำหรับบาง∈ s Q. ชุดh = h= 0, k = (c + s) / 2 และ k= (s c −) / 2 (8)แล้ว h, h, k, k∈ Q และ k + k= c เค= (c2 − s2) / 4 = e, f (x) = (x 2 + k)(x2 +k), และดังนั้นอีกครั้ง f ปัจจัยเป็น polynomials กำลังสองใน Q [x]จากการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ เราสามารถแยกอัลกอริทึมสำหรับการ quarticพหุนาม f แบบลดลง ครั้งแรก โดยใช้ทฤษฎีบทเชือดราก ค้นหาการเหตุผลหลักของ f ถ้า c ∈ Q เป็นราก แล้ว โดยทฤษฎีบทปัจจัย เรารู้ว่าf (x) = (x − c) g(x) สำหรับ g บางลกำลังลูกบาศก์ (ซึ่งสามารถกำหนด โดยยาวฝ่าย) ถ้า f มีรากไม่มีเหตุผล เราหาเหตุผลรากถ้า R. resolventh2 ∈ Q2 เป็นรากค่าของ R แล้วเงื่อนไขที่ (A) มีทฤษฎีบท 1 และ (7) และ (1)ให้การแยกตัวประกอบของ f ถ้าเงื่อนไขที่ (B) ของทฤษฎีบท 1 ถือ แล้วสมการ (8) และ(1) พิจารณาการแยกตัวประกอบของ f ถ้าขั้นตอนเหล่านี้ไม่สามารถให้การแยกตัวประกอบ แล้ว fเป็นอย่างต่ำตัวอย่างที่ 1 ให้ f (x) = x 4 + x 2 + x + 1 แล้วใช่ f หรือที่ resolventR(z) = z3 + 2z2 − 3z − 1 มีหลักเหตุผล ดังนั้น f เป็นอย่างต่ำตัวอย่างที่ 2 ให้ f (x) = x 4 + 2 x 2 + 5 x + 11 แล้ว f มีรากไม่มีเหตุผล และresolvent R(z) = z3 + 4z2 −− 40z 25 มีหนึ่งเหตุผลราก 5 ได้แก่ ซึ่งเป็นในไตรมาส 2 ปีนี้ ดังนั้น f เป็นอย่างต่ำตัวอย่างที่ 3 ให้ f (x) = x 4 − 12 x 2 − 3 x + 2 แล้ว f มีรากไม่มีเหตุผล และresolvent R(z) = z3 − 24z2 + 136z − 9 มีหลักเหตุผลหนึ่ง คือ 9 ∈ Q2 ดังนั้นf reducible ได้ ค่า h =√9 = 3 ใน (7) และ (1) เราได้ f (x) = (x 2 + 3 x − 1) (x 2 −3 x − 2)ตัวอย่างที่ 4 ให้ f (x) = x 4 −− 8 x 3 + 22 x 2 − 19 x 8 ตัวอย่างสร้างแรงจูงใจจากจุดเริ่มต้นของหมายเหตุนี้ แล้ว f มีรากไม่มีเหตุผล แบบฟอร์มที่ลดลงของพหุนามนี้คือ f (x + 2) = x 4 2 x 2 + 5 − x − 6 และ resolvent ของมันคือ R(z) =z3 − 4z2 + 28z − 25 ด้วยหลักเหตุผลหนึ่ง คือ 1 ∈ Q2 ดังนั้น f เป็น reducibleค่า h =√1 = 1 ใน (7) และ (1) เราได้ f (x + 2) = (x 2 + x − 3) (x 2 − x + 2) และดังนั้น f (x) = (x 2 − 3 x − 1) (x 2 − 5 x + 8)เราสรุป โดยการตรวจสอบน่าสนใจพิเศษกรณีเมื่อ f (x) = x 4 + cx2 +e. ถ้า r ∈ Q เป็นรากของ f (x) = x 4 + cx2 + e แล้วนั้นเป็น −r, x 2 ∈− r 2 Q [x] แบ่งf ดังนั้น f เป็น reducible ถ้าและเดียวถ้ามันปัจจัยเป็น polynomials กำลังสองสองตั้งแต่ d = 0, resolvent ของ f คือR(z) = z z2 + z 2c + (c2 − 4e),มีราก 0, −c ± 2√อีทฤษฎีบทตอน 1 ให้ทดสอบสำหรับ irreducibility ของ f:ทฤษฎีบทที่ 2 [4, 2 ทฤษฎีบท] การจัดโค quartic พหุนาม f (x) = x 4 + cx2 + e ∈ Q [x]คือถ้า reducible และ c2 − 4e ∈ Q2 หรือ −c + 2√e ใน∈ Q2 หรือ −c ให้ได้− 2√e ∈ Q2 สำหรับเงื่อนไขเกี่ยวข้องกับ√การเก็บคือ แน่นอน ความจำเป็น ที่∈ e Q2ตัวอย่างที่ 5 ถ้า f (x) = x 4 − 3 x 2 + 1 แล้ว c = −3 และ e = 1.เรามี c2 − 4e =5 ∈ Q2, −c + 2√e = 5 ∈ Q2 และ −c − 2√e = 1 ∈ไตรมาส 2 ปีนี้ ดังนั้น f เป็น reducible การ cal70นิตยสารคณิตศาสตร์culate การแยกตัวประกอบที่เราตั้งค่า h = 1 นิ้ว (7) และ (1) จะได้รับ f (x) = (x 2 + x − 1) (x 2 −x − 1)ตัวอย่างที่ 6 ถ้า f (x) = x 4 − 16 x 2 + 4 แล้ว c = −16 และ e = 4 เรามี c2 −4e = Q2 240 ∈ −c + 2√e = 20 ∈ Q2 และ −c − 2√e = 12 ∈ Q2 และดังนั้น f เป็นอย่างต่ำอ้างอิง1. แยกตัวประกอบ H.L. Dorwarts สามารถพหุนามนี้ คณิตศาสตร์วิทยาลัย 2 ปี เจ 8(2) (1977) 67-722. ช่างไม้ William F. บนแก้ปัญหาของตัวจริง Quartic นิตยสารนี้ 39 (1966) 28 – 303 ประชุม G. พีชคณิต ตำราการประถม ช่วง ed.เจ็ด AMS เชลซี Pub., 19644. L. Kappe และ B. วอร์เรน ข้อสอบประถมสำหรับ กลุ่ม Galois ของพหุนาม Quartic คณิตศาสตร์นอเมริการายเดือน 96 (1989) 133-137ผีเสื้อใน Quadrilaterals:ความคิดเห็นบนบันทึกโดย Kung อ่านEISSO J ATZEMAมหาวิทยาลัยเมนเอลโอโรโน ME [e-mail]ในปัญหา 2548 ตุลาคมนิตยสารคณิตศาสตร์ Kung อ่านเผยแพร่บันทึกบนทฤษฎีบทเกี่ยวกับจารึกในรูปสี่เหลี่ยมซึ่งหมีโดดเด่นคล้ายผีเสื้อการปกติผีเสื้อทฤษฎีบท (ดู [5])

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

VOL 80, NO 1 กุมภาพันธ์ 2007 67
ตกค้างสมัย p และ Q MOD, พวกเขาประกอบด้วย P - 1 สำเนาของแต่ละสมการกำลังสอง
ตกค้าง mod Q.
รับทราบ ขอขอบคุณที่ผู้ตัดสินสำหรับคำแนะนำที่ดีขึ้นอย่างมากกระดาษ.
อ้างอิง
1 ทอมเอ็ม Apostol, Introduction to วิเคราะห์จำนวนทฤษฎี Springer-Verlag, New York, 1976
2 ริชาร์ดเคผู้ชาย, แก้ปัญหาในทฤษฎีจำนวน 3rd ed. สปริงเกอร์, New York, 2004
3 ES เซลเมอร์และ O เบเยอร์ในปัญหา Diophantine เชิงเส้นของ Frobenius ในสามตัวแปรเจ Reine เทวดา.
คณิตศาสตร์. 301 (1978) 161-170.
4 JJ ซิลเวส, คำถามที่ 7382 คำถามคณิตศาสตร์จากการศึกษา Times, 37 (1884) 26.
แฟพหุนาม Quartic: หายศิลปะ
GARY BROOKFIELD
มหาวิทยาลัยแห่งรัฐแคลิฟอร์เนีย
ลอสแอ CA 90032-8204
[e-mail]
คุณอาจจะรู้วิธีการที่จะเป็นปัจจัยลูกบาศก์ พหุนาม X3 - 4x2 + 4x - 3 เข้า
(x - 3) (X2 - x + 1) แต่คุณสามารถปัจจัยพหุนาม X4 quartic - 8x3 + 22x2 -
19X - 8?
ซอกแซกเทคนิคการแฟพหุนาม quartic กว่า rationals ไม่เคย
กล่าวถึงในตำราเรียนพีชคณิตสมัยใหม่ แท้จริงทฤษฎีบท 1 จากบันทึกนี้ให้เงื่อนไข
สำหรับ reducibility ของพหุนาม quartic ปรากฏในวรรณคดีดังนั้นเท่าที่ผม
รู้ว่าในเวลาเพียงอีกหนึ่งสถานที่ในหน้า 553 (หน้าสุดท้ายมาก) ของพีชคณิตส่วนที่ 1 โดย
G . Chrystal [3] ตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1886 ที่น่าสนใจในทฤษฎีของสมการที่เรื่อง
ของหนังสือเล่มนี้และอื่น ๆ อีกมากมายของวินเทจที่คล้ายกันดูเหมือนจะจางหายไปและตีนเป็ด
ทฤษฎีพหุนาม quartic นำเสนอในบันทึกนี้ดูเหมือนว่าจะมี ถูก
ลืม บางทีมันอาจจะเป็นเวลาสำหรับการฟื้นฟู!
พหุนามในบันทึกนี้มีสัมประสิทธิ์เหตุผลที่เป็นพหุนามทั้งหมดที่มี
ใน Q [x] นอกจากนี้เรามีความสนใจเฉพาะใน factorizations เข้าพหุนามใน Q [x].
ตีนเป็ด X2 - 2 = (x +
√
2) (x -
√
2) ไม่ได้เป็นประเภทนี้ตั้งแต่ x +
√
2 และ
x -
√
2 ไม่ได้อยู่ใน Q [x] ในบริบทของเรา X2 - 2 ไม่มี factorizations ขี้ปะติ๋วและเพื่อเป็น
ลดลงไม่ได้ พหุนามเช่น X3 - 4x2 + 4x - 3 = (x - 3) (X2 - x + 1) ซึ่ง
มีขี้ปะติ๋วตีนเป็ดกล่าวจะซึ้งปรับปรุง สำหรับการอภิปรายทั่วไปที่ดีเกี่ยวกับ
การแยกตัวประกอบของพหุนามมากกว่า Q ให้ดู [1].
เครื่องมือพื้นฐานสำหรับการแฟพหุนามดังต่อไปนี้:
•ปัจจัยทฤษฎีบท: ให้ f ∈ Q [x] และ C ∈ Q. แล้ว c เป็นรากของเอฟคน (นั่นคือ f (c) = 0)
และถ้าหาก x - C เป็นปัจจัยของ f (x).
•รากเหตุผลทฤษฎีบท: Let f (x) = ข้อ xn + ใช้ 1xN-1 + ··· + + A1X A0 กับจำนวนเต็ม
ค่าสัมประสิทธิ์การใช้บริการ 1 . . , A0 ถ้า P / Q เป็นจำนวนจริงในข้อตกลงต่ำสุดดังกล่าว
ว่า f (P / Q) = 0 แล้ว P แบ่ง A0 และ Q แบ่ง.
ทฤษฎีบทเหล่านี้พอที่จะเป็นปัจจัยใด ๆ พหุนามกำลังสองหรือลูกบาศก์ตั้งแต่เช่น
พหุนามคือซึ้งทำให้ถ้าและเพียง ถ้ามันมีรากในถามหาเช่นรากจะทำ
ง่ายโดยรากทฤษฎีบทเหตุผลแล้วหารยาวผลตอบแทนถัวเฉลี่ยที่สอดคล้อง
ตีนเป็ด.
68 คณิตศาสตร์นิตยสาร
บนมืออื่น ๆ , พหุนาม quartic อาจคำนึงถึงปัจจัยที่เป็นผลิตภัณฑ์ของทั้งสองกำลังสอง
มีหลายชื่อ แต่จะมีรากในการถามตัวอย่างเช่น f (x) = (x2 - 2) (X2 - 2) ไม่มี
ราก inQbut เห็นได้ชัดว่าปัจจัย ดังนั้นในการตรวจสอบหรือไม่ว่าพหุนาม quartic
โดยไม่ต้องมีเหตุผลเป็นรากซึ้งทำให้เราต้องทราบว่าปัจจัยลงในผลิตภัณฑ์
ของทั้งสองพหุนามกำลังสอง ทฤษฎีบทที่ 1 แสดงว่าคำถามนี้สามารถตอบได้
โดยใช้ที่เกี่ยวข้องลูกบาศก์พหุนามเรียก resolvent ได้.
เพื่อให้ง่ายต่อการนำเสนอของเราที่เราจะพิจารณาหลายชื่อเฉพาะในรูปแบบที่ลดลง: ถ้า
f (x) = AX4 + BX3 + CX2 + DX + E ∈ Q [x ] (ที่มี = 0) เป็นพหุนาม quartic พล
แล้วรูปแบบที่ลดลงของ f คือ F พหุนาม (x - B / 4A) / A ตัวอย่างเช่น
รูปแบบที่ลดลงของ f (x) = X4 - 8x3 + 22x2 - 19X - 8 f (x + 2) = X4 - 2x2 +
5x - 6. ลดลงแบบฟอร์มได้นำค่าสัมประสิทธิ์หนึ่งและระดับไม่สามระยะ มันเป็น
เรื่องง่ายที่จะดูว่าตัวประกอบของแบบฟอร์มที่ลดลงจะช่วยให้ตัวประกอบของเดิม
พหุนาม (ดูตัวอย่างที่ 4) ดังนั้นเราสูญเสียทั่วไปในทฤษฎีบทดังต่อไปนี้ไม่มีโดย
สมมติว่า F มีอยู่แล้วในรูปแบบ F ลดลง (x) = X4 + + CX2 DX + E ในการนี้
สถานการณ์ resolvent ของ f เป็นลูกบาศก์พหุนาม
r (z) = Z3 + 2C Z2 + (C2 - 4E) Z -. D2
เพราะมันเป็นเรื่องง่ายในการคำนวณรากของ F เมื่อได้รับปัจจัยก็คือไม่มี แปลกใจ
ที่ resolvent ยังปรากฏในวิธีการตีพิมพ์จำนวนมากสำหรับการหารากของ
. พหุนาม quartic (ดูตัวอย่างเช่น [2])
ในสิ่งต่อไปนี้เราเขียน Q2 = {S2 | s ∈ Q} สำหรับชุดของช่องสี่เหลี่ยมใน Q.
ทฤษฎีบท 1. quartic F พหุนาม (x) = X4 + + CX2 DX + E ∈ Q [x] ปัจจัย
ลงในพหุนามกำลังสองใน Q [x] ถ้าหาก (อย่าง น้อย) หนึ่งต่อไปนี้ถือ:
. (ก) resolvent R มีรากภัณฑ์ในไตรมาสที่ 2
(B) D = 0 และ C2 - 4E ∈ Q2.
หลักฐาน สมมติว่า F เป็นปัจจัย
f (x) = (x2 + HX + K) (x2 + H
x + K ) (1) กับ H, H , K, k ∈ Q. คูณ (1) การออกและค่าสัมประสิทธิ์ที่ตรงกับที่เราได้รับ0 = H + H , KK E = (2) d = hk + H K, C = HH + K + K (3) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง H = -h สมการใน (3) เป็นเชิงเส้นใน K และ K และสามารถแก้ไขได้เพื่อให้ผลผลิต2hk = H3 + CH - D, 2hk = H3 + CH + D (4) จาก e = KK และ (4) เราได้รับ4h2e = (2hk) (2hk ) = (H3 + CH - D) (H3 + CH + D) (5) การคูณออกมานี้เราได้รับH6 + 2C H4 + (C2 - 4E) H2 - D2 = 0 (6) และอื่น ๆ H2 เป็นรากของอาร์ resolvent ถ้า H = 0 แล้ว (A) ทฤษฎีบทที่ ถือ มิฉะนั้นH = 0 และ (6) หมายความว่า d = 0 และจาก (2) และ (3) เราได้รับ C2 - 4E = (k + K ) 2 - 4kk = (k - k ) 2 ∈ Q2 ดังนั้นในกรณีนี้ (B) ทฤษฎีบทถือ. ตอนนี้สมมติว่า resolvent R มีรากภัณฑ์ในไตรมาสที่ 2 จากนั้นก็มีบางอย่างที่ไม่ใช่ศูนย์ H ∈ Q เช่นที่ (6) ถือหุ้น ชุดVOL 80, NO 1 กุมภาพันธ์ 2007 69 H = -h, K = 1 2H (H3 + CH - D), K = 1 2H (H3 + CH + D) (7) จากนั้น H , K, k ∈ Q และตั้งแต่ (5) ดังนี้จาก (6), สมการ (2) และ (3) ถือ ดังนั้น. ปัจจัย F เข้าพหุนามกำลังสองใน Q [x] ในขณะที่ (1) สมมติว่า d = 0 และ C2 - 4E ∈ Q2 แล้ว C2 - 4E = S2 สำหรับบาง s ∈ Q. ชุดH = H = 0, K = (c + S) / 2 และ K = (c - s) / 2 (8) จากนั้น H, H , K, k ∈ Q และ K + K = C, KK = (C2 - S2) / 4 = E, F (x) = (x2 + K) (x2 + K ) และอื่น ๆ อีกครั้งหนึ่งปัจจัย F เข้าพหุนามกำลังสองใน Q [x]. จากพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เราสามารถแยกอัลกอริทึมสำหรับแฟ quartic พหุนาม F ในรูปแบบที่ลดลง เป็นครั้งแรกโดยใช้ทฤษฎีบทรากเหตุผลมองหารากเหตุผลของ F หากค∈ Q เป็นเช่นรากแล้วโดยทฤษฎีบทปัจจัยที่เรารู้ว่าf (x) = (x - c) G (x) สำหรับบางกรัมพหุนามลูกบาศก์ (ซึ่งสามารถกำหนดได้โดยความยาวหาร) ถ้า F ไม่มีรากเหตุผลที่เรามองหารากเหตุผลของอาร์ resolvent ถ้าH2 ∈ไตรมาสที่ 2 เป็นรากภัณฑ์ของ R แล้วสภาพ (A) ทฤษฎีบท 1 ถือและ (7) และ (1) ให้ตัวประกอบของ F ถ้าเงื่อนไข (B) ทฤษฎีบท 1 ถือแล้วสมการ (8) และ(1) กำหนดตัวประกอบของเอฟคน หากขั้นตอนเหล่านี้ล้มเหลวในการผลิตตีนเป็ดแล้ว F คือลดลง. ตัวอย่าง 1. ให้ f (x) = X4 + X2 + X + 1 แล้วค่า F หรือ resolvent R (z) = Z3 + 2z2 - 3Z - 1 มี รากที่มีเหตุผล ดังนั้น F นั้นลดลง. ตัวอย่างที่ 2 ให้ f (x) = X4 + 2x2 + 5x + 11 f แล้วไม่มีรากเหตุผลและresolvent R (z) = Z3 + 4z2 - 40Z - 25 มีหนึ่งรากเหตุผลคือ 5 ซึ่งเป็นไม่ได้ในไตรมาสที่ 2 ดังนั้น F นั้นลดลง. ตัวอย่าง 3. ให้ f (x) = X4 - 12x2 - 3x + 2 f แล้วไม่มีรากเหตุผลและresolvent R (z) = Z3 - 24z2 + 136z - 9 มีหนึ่งรากเหตุผลคือ 9 ∈ Q2 ดังนั้นF คือซึ้งทำให้ การตั้งค่า H = √ 9 = 3 ใน (7) และ (1) เราได้รับ f (x) = (x2 + 3x - 1) (X2 - 3x - 2). ตัวอย่าง 4. ให้ f (x) = X4 - 8x3 + 22x2 - 19X - 8, ตัวอย่างที่สร้างแรงจูงใจจากจุดเริ่มต้นของบันทึกนี้ แล้ว F ไม่มีรากที่มีเหตุผล ลดรูปแบบของพหุนามนี้คือ f (x + 2) = X4 - 2x2 + 5x - 6 และ resolvent ของมันคือ R (z) = Z3 - 4z2 + 28Z - 25 พร้อมด้วยรากเหตุผลหนึ่งคือ 1 ∈ Q2 ดังนั้น F คือซึ้งทำให้. การตั้งค่า H = √ 1 = 1 ใน (7) และ (1) เราได้รับ f (x + 2) = (x2 + X - 3) (X2 - x + 2) และเพื่อให้ f (x) = (X2 - 3x - 1) (X2 - 5x + 8). เราสรุปได้โดยการตรวจสอบกรณีพิเศษที่น่าสนใจเมื่อ f (x) = X4 + CX2 + E ถ้า R ∈ Q เป็นรากของ f (x) = X4 + CX2 + E แล้วเพื่อให้เป็น -R และ X2 - r 2 ∈ Q [x] แบ่งF ดังนั้น F คือซึ้งทำให้ถ้าหากมันเป็นสองปัจจัยพหุนามกำลังสอง. ตั้งแต่ d = 0, resolvent ของ f คือR (z) = Z Z2 + 2C Z + (C2 - 4E)? , มีราก 0, -c ± 2 √ E ทฤษฎีบท 1 ในขณะนี้ให้การทดสอบสำหรับการลดทอนไม่ของ f: ทฤษฎีบท 2. [4 ทฤษฎีบท 2] quartic พหุนาม f (x) = X4 + CX2 + E ∈ Q [x] คือซึ้งทำให้ถ้าหาก C2 - 4E ∈ Q2 หรือ -c + 2 √ E ∈ Q2 หรือ -c - 2 √ E ∈ Q2 สำหรับเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องกับการ√ E ที่จะถือมันเป็นของหลักสูตรที่จำเป็นที่ E ∈ Q2. ตัวอย่าง 5. หาก f (x) = X4 - 3x2 + 1 แล้ว c = -3 และ e = 1 เรามี C2 - 4E = 5 ∈ไตรมาสที่ 2 -c + 2 √ E = 5 ∈ไตรมาส 2 และ -c - 2 √ E = 1 ∈ Q2 ดังนั้น F คือซึ้งทำให้ เพื่อ cal70 คณิตศาสตร์นิตยสารculate ตัวประกอบที่เราตั้ง H = 1 ใน (7) และ (1) เพื่อให้ได้ f (x) = (x2 + X - 1) (X2 - X - 1). ตัวอย่าง 6. ถ้า f (x) = X4 - 16x2 +4 แล้ว c = -16 และ e = 4. เรามี C2 - 4E = 240 ∈ไตรมาสที่ 2 -c + 2 √ E = 20 ∈ไตรมาส 2 และ -c - 2 √ E = 12 ∈ไตรมาสที่ 2 และ ดังนั้น F นั้นลดลง. อ้างอิง1 HL Dorwarts, Can พหุนามนี้เป็นปัจจัย? สองปีในวิทยาลัยคณิตศาสตร์ เจ, 8 (2) (1977) 67-72. 2 วิลเลี่ยมเอไม้ในการแก้ปัญหาของจริง Quartic นิตยสารนี้ 39 (1966) 28-30. 3 G. Chrystal พีชคณิตตำราประถม Part I เจ็ด Ed. พบปะเชลซีผับ. 1964 4 ลิตร Kappe และ B วอร์เรน, การทดสอบประถมศึกษาสำหรับกลุ่ม Galois ของ Quartic พหุนาม Amer . คณิตศาสตร์รายเดือน 96 (1989) 133-137. ผีเสื้อในรูปสี่เหลี่ยม: ความคิดเห็นในหมายเหตุโดยซิดนีย์ Kung EISSO J ATZEMA มหาวิทยาลัยเมนOrono, ME 04469-5752 [e-mail] ในฉบับเดือนตุลาคม 2005 นิตยสารคณิตศาสตร์ซิดนีย์ Kung ตีพิมพ์บันทึกในทฤษฎีบทผีเสื้อจารึกไว้ในรูปสี่เหลี่ยมหมีที่คล้ายคลึงกันที่น่าทึ่งกับทฤษฎีบทผีเสื้อปกติ ( ดู [5])