DualityEvery linear programming pro

Duality
Every linear programming problem, referred to as a primal problem, can be converted into a dual problem, which provides an upper bound to the optimal value of the primal problem. In matrix form, we can express the primal problem as:
Maximize cTx subject to Ax ≤ b, x ≥ 0;
with the corresponding symmetric dual problem,
Minimize bTy subject to ATy ≥ c, y ≥ 0.
An alternative primal formulation is:
Maximize cTx subject to Ax ≤ b;
with the corresponding asymmetric dual problem,
Minimize bTy subject to ATy = c, y ≥ 0.
There are two ideas fundamental to duality theory. One is the fact that (for the symmetric dual) the dual of a dual linear program is the original primal linear program. Additionally, every feasible solution for a linear program gives a bound on the optimal value of the objective function of its dual. The weak duality theorem states that the objective function value of the dual at any feasible solution is always greater than or equal to the objective function value of the primal at any feasible solution. The strong duality theorem states that if the primal has an optimal solution, x*, then the dual also has an optimal solution, y*, and cTx*=bTy*.
A linear program can also be unbounded or infeasible. Duality theory tells us that if the primal is unbounded then the dual is infeasible by the weak duality theorem. Likewise, if the dual is unbounded, then the primal must be infeasible. However, it is possible for both the dual and the primal to be infeasible. As an example, consider the linear program:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทวิภาวะทุกเส้นเขียนปัญหา เรียกว่าเป็นปัญหาแบบสไตไลซ์ สามารถแปลงเป็นปัญหาคู่ ที่มีขอบเขตบนค่าดีที่สุดของปัญหาแบบสไตไลซ์ ในแบบฟอร์มเมตริกซ์ เราสามารถแสดงปัญหาแบบสไตไลซ์เป็น:เพิ่ม cTx มี Ax ≤ b, x ≥ 0ปัญหาเกี่ยวข้องสมมาตรสองลด bTy ต้อง ATy ≥ c, y ≥ 0การกำหนดแบบสไตไลซ์อื่นคือ:เพิ่ม cTx มี Ax ≤ bปัญหาเกี่ยวข้อง asymmetric คู่ลด bTy อาจ ATy = c, y ≥ 0มีอยู่สองความคิดพื้นฐานของทฤษฎีทวิภาวะ หนึ่งคือความจริงที่ว่า (คู่สมมาตร) คู่ของโปรแกรมเชิงเส้นคู่เป็นโปรแกรมเชิงเส้นแบบสไตไลซ์เดิม นอกจากนี้ ทุกโซลูชั่นที่เป็นไปได้สำหรับโปรแกรมเชิงเส้นให้ผูกกับค่าสูงสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของคู่ความ ทฤษฎีบททวิภาวะอ่อนแออเมริกาค่าฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของคู่ที่แก้ปัญหาใด ๆ เป็นไปได้ว่าจะมากกว่า หรือเท่ากับค่าฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของแบบสไตไลซ์ที่แก้ปัญหาใด ๆ เป็นไปได้ ทฤษฎีบททวิภาวะแรงระบุว่า ถ้าในแบบสไตไลซ์ได้เป็นดีที่สุดแก้ปัญหา x * แล้วคู่ที่ มีการแก้ปัญหาที่ดีที่สุด y * cTx * = bTy *โปรแกรมเชิงเส้นสามารถงที่ หรือถอด ทวิภาวะทฤษฎีบอกว่า ถ้าในแบบสไตไลซ์งที่ แล้วคู่ที่จะถอด โดยทฤษฎีบททวิภาวะอ่อนแอ ในทำนองเดียวกัน ถ้าคู่ที่งที่ แล้วที่ไพรมัลต้องถอด อย่างไรก็ตาม ก็เป็นไปได้สองและแบบสไตไลซ์จะถอด เป็นตัวอย่าง พิจารณาโปรแกรมเชิงเส้น:

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คู่
ทุกปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเรียกว่าเป็นปัญหาที่เกิดขึ้นครั้งแรกที่สามารถแปลงเป็นปัญหาคู่ที่ให้บริการบนผูกพันกับค่าที่ดีที่สุดของปัญหาที่เกิดขึ้นครั้งแรก ในรูปแบบเมทริกซ์เราสามารถแสดงปัญหาครั้งแรกเป็น:
เพิ่มเรื่อง CTX ที่จะขวาน≤ข, x ≥ 0;
ที่มีปัญหาคู่สมมาตรที่สอดคล้องกัน
ลด BTY เรื่องการกิน≥ค, y ≥ 0.
สูตรดั้งเดิมทางเลือกคือ:
เพิ่ม เรื่อง CTX ที่จะขวาน≤ข;
คู่ที่มีปัญหาไม่สมดุลที่สอดคล้องกัน
ลด BTY เรื่องการกิน = c, y ≥ 0.
มีสองความคิดพื้นฐานของทฤษฎีคู่เป็น หนึ่งคือความจริงที่ว่า (สำหรับคู่สมมาตร) สองของโปรแกรมเชิงเส้นคู่เป็นครั้งแรกเดิมโปรแกรมเชิงเส้น นอกจากนี้ทุกวิธีการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้สำหรับโปรแกรมเชิงเส้นให้ผูกพันกับค่าที่ดีที่สุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ของคู่ ทฤษฎีบทคู่อ่อนแอระบุว่าค่าฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ของคู่ที่วิธีการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ใด ๆ อยู่เสมอมากกว่าหรือเท่ากับค่าฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ของการครั้งแรกในการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ใด ๆ ทฤษฎีบทคู่ที่แข็งแกร่งระบุว่าหากครั้งแรกมีทางออกที่ดีที่สุด, x * แล้วคู่นอกจากนี้ยังมีทางออกที่ดีที่สุด * y, CTX * * * * * * * * = BTY.
โปรแกรมเชิงเส้นยังสามารถมากมายหรือเป็นไปไม่ได้ ทฤษฎีคู่บอกเราว่าถ้าเป็นครั้งแรกมากมายแล้วคู่เป็นไปไม่ได้โดยทฤษฎีบทคู่อ่อนแอ ในทำนองเดียวกันถ้าเป็นคู่มากมายแล้วครั้งแรกจะต้องเป็นไปไม่ได้ แต่ก็เป็นไปได้สำหรับทั้งคู่และครั้งแรกที่จะเป็นไปไม่ได้ ตัวอย่างเช่นพิจารณาโปรแกรมเชิงเส้น:

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

กระดักกระเดี้ย
ทุกโปรแกรมเชิงเส้นปัญหา เรียกว่าเป็นปัญหาพื้นฐานที่สามารถแปลงเป็นปัญหาคู่ , ซึ่งมีขอบเขตบนกับมูลค่าที่เหมาะสมของปัญหาพื้นฐาน เมทริกซ์ในรูปแบบ เราสามารถแสดงปัญหา Primal :
เพิ่มซีทีเอ็กซ์เรื่องขวาน≤ B , x ≥ 0 ;
ที่สอดคล้องกับแบบ Dual ปัญหา
ลด BTY ภายใต้ aty ≥ C , Y ≥
0เป็นสูตรดั้งเดิมทางเลือก :
เพิ่มซีทีเอ็กซ์เรื่องขวาน≤ B ;
ที่สอดคล้องกับแบบ Dual ปัญหา
ลด BTY ภายใต้ aty = C , Y ≥ 0
มีสองแนวคิดพื้นฐานทฤษฎีภาวะคู่กัน . หนึ่งคือความจริงที่ว่า ( สำหรับแบบ Dual ) คู่สองโปรแกรมเชิงเส้นคือต้นฉบับดั้งเดิมโปรแกรมเชิงเส้น . นอกจากนี้ทุกความเป็นไปได้แก้ปัญหาโปรแกรมเชิงเส้นให้ผูกไว้กับค่าเหมาะสมที่สุดของวัตถุประสงค์การทำงานของคู่ อ่อนแอทวิภาวะทฤษฎีบทระบุว่ามีฟังก์ชันค่าของคู่ที่เป็นไปได้ทางออกเสมอมากกว่าหรือเท่ากับค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ดั้งเดิมที่เป็นไปได้ใด ๆโซลูชั่นแข็งแรงทวิภาวะทฤษฎีบทระบุว่า ถ้าครั้งแรกมีโซลูชั่นที่เหมาะสม X * แล้วคู่มีโซลูชั่นที่ดีที่สุด y * และซีทีเอ็กซ์ * = BTY * .
โปรแกรมเชิงเส้นสามารถไม่จำกัด หรือ ไร้ประโยชน์จริงๆ ทฤษฎีภาวะคู่กัน บอกเราว่าถ้าพื้นฐานคือความแล้ว สองคือทำโดยอ่อนแอทวิภาวะทฤษฎีบท อนึ่ง ถ้าคู่มีความ แล้วครั้งแรกต้องไม่คุ้มค่า อย่างไรก็ตามมันเป็นไปได้ทั้งสองและครั้งแรกจะไม่คุ้มค่า เป็นตัวอย่างให้พิจารณาโปรแกรมเชิงเส้น :