We now turn to some definitions and

We now turn to some definitions and some elementary results.Definition 1. The sum of divisors is the function σ(n) = P
d|n d, where d runs over the positive divisors of n including 1 and n itself.For example, σ(11) = 1 + 11 = 12 and σ(15) = 1 + 3 + 5 + 15 = 24.Definition 2. The number N is said to be perfect if σ(N) = 2N. When σ(N) 2N, we say N is abundant.The definition of perfect is equivalent to saying that the sum of the proper (oraliquot) divisors of N is equal to N (we just do not add N itself to the sum). While this may seem more natural, the central reason for using the function σ is that it possesses some very special properties. First:Proposition 3. σ(mn) = σ(m)σ(n) whenever gcd(m, n) = 1.
Proof. If d is a divisor of mn, then by unique factorization we can represent d uniquely as the product of a divisor of m and a divisor of n (since they have no common factors). That is, every term of σ(mn) (the sum of all divisors of mn) occurs exactly once in the sum σ(m)σ(n) (the product of all divisors of m and n). The converse is also true: every such product is a divisor of mn, so the sums must be the same.This suffices to establish the proposition. It might be easier also just to appeal to the very special way in which σ is defined as a divisor sum (for the details consult[12]). Hence σ is completely determined when its value is known for every prime-power argument. (Such functions are, of course, the multiplicative functions.) This yields the very useful:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตอนนี้เราหันไปบางรายและบางผลประถม นิยามที่ 1 ผลรวมตัวหารคือ σ(n) ฟังก์ชัน = Pd | n d ที่ d รันผ่านหารบวกของ n 1 และ n ตัวเอง ตัวอย่างเช่น σ(11) = 1 + 11 = 12 และ σ(15) = 1 + 3 + 5 + 15 = 24.นิยาม 2 หมายเลข N กล่าวได้ว่า สมบูรณ์แบบถ้า σ(N) = 2N เมื่อ σ(N) < 2N เราบอก N ขาด เมื่อ σ(N) > 2N เราบอกว่า N มีมากขึ้น นิยามของเพอร์เฟคจะเท่ากับการบอกว่า ผลรวมของหารที่เหมาะสม (oraliquot) ของ N เท่ากับ N (เราเพียงไม่ต้องเพิ่ม N เองผลรวม) ในขณะนี้อาจดูเหมือนเป็นธรรมชาติ เซ็นทรัลเหตุผลใช้σฟังก์ชันเป็นว่า มันมีคุณสมบัติพิเศษบางอย่าง แรก: เรื่องที่ 3 Σ(mn) = σ(m)σ(n) เมื่อ gcd (m, n) = 1หลักฐาน ถ้า d เป็นตัวหารของ mn แล้ว โดยการแยกตัวประกอบเฉพาะ เราสามารถเป็นตัวแทน d โดยเฉพาะเป็นผลคูณของตัวหารของ m และตัวหารของ n (เนื่องจากมีปัจจัยที่ไม่ทั่วไป) นั่นคือ ทุกคำ σ(mn) (ผลรวมตัวหารทั้งหมดของ mn) เกิดตรงกันใน σ(m)σ(n) ผลรวม (ผลิตภัณฑ์ตัวหารทั้งหมดของ m และ n) สนทนาเป็นจริง: ทุกผลิตภัณฑ์ดังกล่าวเป็นตัวหารของ mn ดังนั้นผลบวกต้องเหมือนกัน นี้พอที่จะสร้างข้อเสนอ มันอาจจะง่ายยังเพียงเพื่อดึงดูดวิธีพิเศษซึ่งมีกำหนดσเป็นผลหาร (สำหรับ consult[12]) รายละเอียด ดังนั้น σจะกำหนดเมื่อค่าเป็นอาร์กิวเมนต์นายกไฟทุกอย่างสมบูรณ์ (ฟังก์ชันดังกล่าวจะ แน่นอน ฟังก์ชันเชิงการคูณ) นี้ทำให้มีประโยชน์มาก:

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตอนนี้เราหันคำจำกัดความบางส่วนและบาง results.Definition ประถม 1. ผลรวมของตัวหารเป็นฟังก์ชั่นσ (n) = P
D | ND ที่ D ทำงานมากกว่าตัวหารบวกของ n รวมทั้งที่ 1 และ n ตัวอย่าง itself.For, σ (11) = 1 + 11 = 12 และσ (15) = 1 + 3 + 5 + 15 = 24.Definition 2. จำนวน N กล่าวจะสมบูรณ์แบบถ้าσ (N) = 2N เมื่อσ (N) <2N เราบอก N คือขาด; เมื่อσ (N)> 2N เราบอก N คือนิยามของคำว่าสมบูรณ์แบบ abundant.The เทียบเท่ากับบอกว่าผลรวมของที่เหมาะสม (oraliquot) หารของ N เท่ากับ N (เราก็ไม่ได้เพิ่ม N ตัวเองไปรวม) . ขณะนี้อาจดูเหมือนเป็นธรรมชาติมากขึ้นเหตุผลกลางสำหรับการใช้ฟังก์ชั่นσก็คือว่ามันมีคุณสมบัติพิเศษบางอย่าง แม่: โจทย์ 3. σ (MN) = σ (M) σ (N) เมื่อใดก็ตามที่ GCD (m, n) = 1.
หลักฐาน หาก D เป็นหารของล้านบาทแล้วโดยตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันเราสามารถเป็นตัวแทนของวันที่ไม่ซ้ำกันเป็นผลิตภัณฑ์ของตัวหารของ M และหารของ n ที่ (ตั้งแต่พวกเขาไม่มีปัจจัยร่วมกัน) นั่นคือระยะเวลาของσ (MN) (ผลรวมของตัวหารทั้งหมดของ MN) ที่เกิดขึ้นทุกครั้งว่าในσรวม (M) σ (N) (ผลิตภัณฑ์ของตัวหารทั้งหมดของ M และเอ็น) สนทนายังเป็นจริงทุกผลิตภัณฑ์ดังกล่าวเป็นตัวหารของล้านดังนั้นผลรวมจะต้องเป็น same.This พอเพียงที่จะสร้างเรื่อง มันอาจจะง่ายขึ้นก็เป็นเพียงแค่จะอุทธรณ์ไปยังทางที่พิเศษมากในการที่σถูกกำหนดให้เป็นผลรวมหาร (สำหรับรายละเอียดปรึกษา [12]) ดังนั้นσถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์เมื่อค่าของมันเป็นที่รู้จักสำหรับทุกอาร์กิวเมนต์นายกพลังงาน (. ฟังก์ชั่นดังกล่าวเป็นของหลักสูตรฟังก์ชั่นการคูณ) ซึ่งช่วยทำให้มีประโยชน์มาก:

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตอนนี้เราเปิดให้ความหมายและผลลัพธ์เบื้องต้นบาง ความหมาย 1 . ยอดรวมของตัวหารคือ ฟังก์ชันσ ( n ) = p| N D D D ที่วิ่งมากกว่าตัวหารบวกของทั้ง 1 และ n นั่นเอง ตัวอย่างเช่น σ ( 11 ) = 1 + 11 = 12 และσ ( 15 ) = 1 + 3 + 5 + 15 = 24 . นิยาม 2 จำนวน n กล่าวจะสมบูรณ์แบบถ้าσ ( n ) = 2n เมื่อσ ( N ) < 2n เราพูด เอ็นขาด เมื่อσ ( N ) > 2 เราว่า N เป็นมากมาย นิยามของคำว่าสมบูรณ์แบบ เท่ากับว่าจำนวนที่เหมาะสม ( oraliquot ) ของตัวหาร เท่ากับ n ( เราก็ไม่ได้มีการเพิ่มตัวเองเพื่อเงิน ) ขณะนี้อาจดูเหมือนเป็นธรรมชาติมากขึ้น เหตุผลที่กลางสำหรับการใช้ฟังก์ชันσก็คือว่ามันมีบางอย่างที่พิเศษมากคุณสมบัติ แรก : ข้อเสนอ 3 σ ( MN ) = σ ( M ) σ ( N ) เมื่อ LCD ( m , n ) = 1พิสูจน์ ถ้าเป็น ตัวหารของ MN แล้วโดยเฉพาะการเราสามารถเป็นตัวแทนของ D โดยเฉพาะเป็นผลิตภัณฑ์ของตัวหารและตัวหารของ M N ( เนื่องจากไม่มีปัจจัยทั่วไป ) นั่นคือ ทุกระยะของσ ( MN ) ( ผลรวมของทุกตัวหารของ MN ) เกิดขึ้นเพียงครั้งเดียวในผลรวมσ ( M ) σ ( N ) ( สินค้าทั้งหมดของตัวหารของ m และ n ) การสนทนายังเป็นจริง : ทุกผลิตภัณฑ์ดังกล่าวเป็นตัวหารของแมงกานีส ดังนั้นผลรวมต้องเหมือนกัน นี้ก็ให้ตั้งโจทย์ มันอาจจะง่ายก็จะอุทธรณ์ไปยังลักษณะพิเศษที่σถูกกําหนดให้เป็นตัวหารผลรวม ( สำหรับรายละเอียดปรึกษา [ 12 ] ) ดังนั้นσสมบูรณ์แน่วแน่เมื่อค่าของมันเป็นที่รู้จักกันสำหรับทุกนายกอำนาจ อาร์กิวเมนต์ ( ฟังก์ชันดังกล่าวแน่นอน ฟังก์ชั่น การคูณ ) นี้สามารถมีประโยชน์มาก :