3.8 Cosets, Normal Subgroups, and F

3.8 Cosets, Normal Subgroups, and Factor Groups The notion of a factor group is one of the most important concepts in abstract algebra. To construct a factor group, we start with a normal subgroup and the equivalence classes it determines. This construction parallels the construction of Zn from Z, where we have a ≡ b (mod n) if and only if a −b ∈ nZ. The only complication is that the equivalence relation respects the operation in G only when the subgroup is a normal subgroup. Of course, in an abelian group we can use any subgroup, since all subgroups of an abelian group are normal. The key idea is to begin thinking of equivalence classes as elements in their own right. That is what we did in Chapter 1, where at first we thought of congruence classes as infinite sets of integers, and then in Section 1.4 when we started working with Zn we started to use the notation [a]n to suggest that we were now thinking of a single element of a set. In actually using the fundamental homomorphism theorem, it is important to let the theorem do its job, so that it does as much of the hard work as possible. Quite often we need to show that a factor group G/N that we have constructed is isomorphic to another group G1. The easiest way to do this is to just define a homomorphism φ from G to G1, making sure that N is the kernel of φ. If you prove that φ maps G onto G1, then the fundamental homomorphism theorem does the rest of the work, showing that there exists a well-defined isomorphism between G/N and G1. The moral of this story is that if you define a function on G rather than G/N, you ordinarily don’t need to worry that it is well-defined. On the other hand, if you define a function on the cosets of G/N, the most convenient way is use a formula defined on representatives of the cosets of N. But then you must be careful to prove that the formula you are using does not depend on the particular choice of a representative. That is, you must prove that your formula actually defines a function. Then you must prove that your function is one-to-one, in addition to proving that it is onto and respects the operations in the two groups. Once again, if your function is defined on cosets, it can be much trickier to prove that it is one-to-one than to simply compute the kernel of a homomorphism defined on G.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

3.8 cosets กลุ่ม ย่อยปกติ และ กลุ่มปัจจัยที่เป็นแนวคิดของกลุ่มปัจจัยหนึ่งแนวคิดที่สำคัญในบทคัดย่อพีชคณิต สร้างกลุ่มปัจจัย เราเริ่มต้น ด้วยกลุ่มย่อยปกติและเรียนเทียบเท่าที่กำหนด ก่อสร้างนี้ parallels ก่อสร้างของ Zn จาก Z การที่เรามีบี≡ (mod n) และ ถ้าเป็น −b ∈นิวซีแลนด์ ภาวะแทรกซ้อนเท่านั้นเป็นความสัมพันธ์ที่เทียบเท่าว่า เคารพการใน G เฉพาะเมื่อกลุ่มย่อย กลุ่มย่อยปกติ แน่นอน ในกลุ่มอาบีเลียนแบบ เราสามารถใช้กลุ่มย่อยใด ๆ เนื่องจากกลุ่มย่อยทั้งหมดของกลุ่มอาบีเลียนเป็นปกติ แนวคิดสำคัญคือการ เริ่มคิดเทียบเท่าเรียนเป็นองค์ประกอบในสิทธิของตนเอง นั่นคืออะไรเราไม่ได้ ในบทที่ 1 ที่ตอนแรก เราคิดว่า เรียนลงตัวเป็นชุดอนันต์ของจำนวนเต็ม และ ในส่วน 1.4 เมื่อเราเริ่มทำงานกับ Zn ที่เราเริ่มใช้สัญลักษณ์ n [a] แนะนำที่ เรามีตอนนี้ความคิดขององค์ประกอบหนึ่งของชุด จริง โดยใช้ทฤษฎีบทพื้นฐาน homomorphism มันเป็นสิ่งสำคัญเพื่อให้ทฤษฎีบทการทำงานของมัน เพื่อให้มันเป็นของยากทำงานได้ ค่อนข้างบ่อยเราจำเป็นต้องแสดงว่าปัจจัยกลุ่ม G/N ที่เราสร้าง isomorphic อื่นกลุ่ม G1 วิธีที่ง่ายที่สุดทำได้เพียงกำหนดเป็น homomorphism φจาก G กับ G1 ทำให้แน่ใจว่า N เคอร์เนลของφ ถ้าคุณพิสูจน์φที่แผนที่ G บน G1 แล้วทฤษฎีบทพื้นฐาน homomorphism ไม่เหลืองาน แสดงว่า มี isomorphism โดยระหว่าง G/N และ G1 นิทานเรื่องนี้คือ ว่า ถ้าคุณกำหนดฟังก์ชัน G แทน G/N ปกติไม่ต้องกังวลว่า จะกำหนดไว้อย่างดี บนมืออื่น ๆ ถ้าคุณกำหนดฟังก์ชันบน cosets ของ G/N วิธีสะดวกที่สุดคือ ใช้สูตรที่กำหนดไว้ในตัวแทนของ cosets ของ N. แต่จากนั้น คุณต้องระมัดระวังในการพิสูจน์ว่า สูตรที่คุณใช้ขึ้นอยู่กับตัวเลือกใดตัวแทน นั่นคือ คุณต้องพิสูจน์ว่า สูตรของคุณกำหนดฟังก์ชันเป็นจริง แล้ว คุณต้องพิสูจน์ว่า ฟังก์ชันของคุณเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง นอกจากพิสูจน์ว่า มันเป็นไป และเคารพการดำเนินงานในกลุ่มสอง อีกครั้ง ถ้ามีกำหนดฟังก์ชันของคุณใน cosets สามารถ trickier มากเพื่อพิสูจน์ว่า เป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งมากกว่าการแค่คำนวณเคอร์เนลของ homomorphism ที่กำหนดบนกรัม

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

3.8 Cosets, ปกติกลุ่มย่อยและกลุ่มปัจจัยความคิดของกลุ่มปัจจัยคือหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในพีชคณิตนามธรรม เพื่อสร้างกลุ่มปัจจัยที่เราเริ่มต้นด้วยกลุ่มย่อยปกติและสมดุลเรียนที่กำหนด การก่อสร้างนี้แนวการก่อสร้างสังกะสีจาก Z ที่เรามี≡ข (สมัย n) ถ้าและเพียงถ้า -b ∈ nZ ภาวะแทรกซ้อนที่เป็นที่เท่าเทียมกันความสัมพันธ์เคารพการดำเนินงานใน g เฉพาะเมื่อกลุ่มย่อยเป็นกลุ่มย่อยตามปกติ แน่นอนในกลุ่มศาสนาคริสต์เราสามารถใช้กลุ่มย่อยใด ๆ เนื่องจากทุกกลุ่มย่อยของกลุ่มศาสนาคริสต์เป็นปกติ ความคิดที่สำคัญคือการเริ่มต้นความคิดของการเรียนเท่าเทียมกับองค์ประกอบในสิทธิของตนเอง นั่นคือสิ่งที่เราทำในบทที่ 1 ซึ่งในตอนแรกเราคิดว่าการเรียนสอดคล้องกันเป็นชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดของจำนวนเต็มและจากนั้นในมาตรา 1.4 เมื่อเราเริ่มต้นการทำงานกับ Zn เราเริ่มที่จะใช้สัญกรณ์ [a] n ชี้ให้เห็นว่าเราอยู่ในขณะนี้ ความคิดของการเป็นองค์ประกอบหนึ่งของชุด ในจริงโดยใช้ทฤษฎีบท homomorphism พื้นฐานเป็นสิ่งสำคัญที่จะให้ทฤษฎีบททำงานเพื่อที่จะไม่เท่าของการทำงานอย่างหนักเท่าที่จะทำได้ บ่อยครั้งที่เราต้องแสดงให้เห็นว่าเป็นปัจจัยที่กลุ่ม G / N ที่เราได้สร้างขึ้นเพื่อเป็น isomorphic G1 อีกกลุ่มหนึ่ง วิธีที่ง่ายที่สุดที่จะทำนี้เป็นเพียงการกำหนด homomorphism φจาก G1 G เพื่อให้แน่ใจว่า N คือเคอร์เนลของφ ถ้าคุณพิสูจน์ให้เห็นว่าφแผนที่จีบน G1 แล้วทฤษฎีบท homomorphism พื้นฐานส่วนที่เหลือของงานที่แสดงให้เห็นว่ามีอยู่มอร์ฟที่ดีที่กำหนดระหว่าง g / n และ G1 คุณธรรมของเรื่องนี้ก็คือว่าถ้าคุณกำหนดฟังก์ชั่นใน G มากกว่า G / N, คุณปกติไม่จำเป็นต้องกังวลว่ามันจะดีที่กำหนด ในทางกลับกันถ้าคุณกำหนดฟังก์ชั่นใน cosets ของ G / N, วิธีที่สะดวกที่สุดคือการใช้สูตรที่กำหนดไว้ในตัวแทนของ cosets ของเอ็น แต่แล้วคุณจะต้องระมัดระวังที่จะพิสูจน์ว่าสูตรที่คุณใช้ไม่ ได้ขึ้นอยู่กับทางเลือกหนึ่งของตัวแทน นั่นคือคุณจะต้องพิสูจน์ว่าสูตรของคุณจริงกำหนดฟังก์ชั่น แล้วคุณจะต้องพิสูจน์ให้เห็นว่าการทำงานของคุณเป็นหนึ่งต่อหนึ่งนอกเหนือจากการพิสูจน์ว่ามันลงและเคารพในการดำเนินงานของทั้งสองกลุ่ม อีกครั้งถ้าฟังก์ชั่นของคุณจะถูกกำหนดไว้ใน cosets ก็สามารถพลิกแพลงมากที่จะพิสูจน์ว่ามันเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งกว่าที่จะเพียงแค่คำนวณเคอร์เนลของ homomorphism ที่กำหนดไว้ในกรัม

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

3.8 cosets กลุ่มย่อยปกติ , และกลุ่มปัจจัย ความคิดของกลุ่มปัจจัย เป็นหนึ่งในแนวคิดที่สำคัญที่สุดในพีชคณิตนามธรรม เพื่อสร้างกลุ่มปัจจัย เราเริ่มต้น ด้วยปกติกลุ่มย่อยและการเรียนจะกำหนด . การก่อสร้างนี้สอดคล้องกับการก่อสร้างของสังกะสีจาก Z ที่เรามี≡ B ( mod n ) ถ้าและเพียงถ้า− B ∈ NZภาวะแทรกซ้อนการเดียวก็คือความสัมพันธ์สมมูลเคารพงาน g เมื่อกลุ่มย่อย คือ กลุ่มปกติ แน่นอน ในกลุ่มศาสนาคริสต์ เราสามารถใช้กลุ่มย่อยเนื่องจากทุกกลุ่มย่อยของกลุ่มศาสนาคริสต์ เป็นปกติ ความคิดหลักคือการเริ่มคิดเทียบเท่าชั้นเรียนเป็นองค์ประกอบในสิทธิของตนเอง นั่นคือสิ่งที่เราทำในบทที่ 1ที่ตอนแรกเราคิดว่าความสอดคล้องชั้นเรียนเป็นชุดอนันต์ของจำนวนเต็มและจากนั้นในส่วน 1.4 เมื่อเราเริ่มทำงานกับสังกะสี เราเริ่มใช้สัญลักษณ์ [ ] N เพื่อแสดงให้เห็นว่าเราตอนนี้คิดองค์ประกอบเดียวของชุด ในการใช้จริง homomorphism ทฤษฎีบทพื้นฐาน มันเป็นสิ่งสำคัญเพื่อให้สูตรทำงานของมันเพื่อให้มันมากของงานที่ยากที่สุดค่อนข้างบ่อย เราต้องแสดงให้เห็นว่าปัจจัยกลุ่ม G / N ที่เราได้สร้างขึ้น คือ พวกเรากลุ่มอื่น G1 . วิธีที่ง่ายที่สุดที่จะทำนี้คือการไปกำหนด homomorphism φจาก G G1 , ให้แน่ใจว่าเป็นเคอร์เนลของφ . ถ้าคุณพิสูจน์ได้ว่าφแผนที่ G ลง G1 แล้วพื้นฐาน homomorphism ทฤษฎีบทส่วนที่เหลือของการทำงานแสดงให้เห็นว่ามีต่อแรงงานระหว่าง G / N และ G1 . คุณธรรมของเรื่องนี้คือว่าถ้าคุณกำหนดฟังก์ชัน G มากกว่า G / N คุณโดยปกติไม่ต้องกังวลว่ามันถูกกำหนด . บนมืออื่น ๆถ้าคุณกำหนดฟังก์ชันใน cosets G / N , วิธีที่สะดวกที่สุดคือใช้สูตรที่กำหนดไว้ในสภาผู้แทนราษฎรของ cosets .แต่คุณจะต้องระมัดระวังที่จะพิสูจน์ว่าสูตรที่คุณใช้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับทางเลือกเฉพาะของตัวแทน นั่นคือคุณจะต้องพิสูจน์ว่าสูตรของคุณจริงจะกำหนดฟังก์ชัน แล้วคุณจะต้องพิสูจน์ว่า หน้าที่ของคุณคือ คน นอกจากจะพิสูจน์ว่ามันลงและเคารพในการดำเนินการใน 2 กลุ่ม คือ อีกครั้ง หากการทำงานของคุณบน cosets ที่กําหนดไว้ ,มันสามารถมาก trickier เพื่อพิสูจน์ว่ามันมีประสิทธิภาพมากกว่าที่จะเพียงแค่ใช้เคอร์เนลของ homomorphism ที่กําหนดไว้ในกรัม