The number of elements in a group G

The number of elements in a group G is written |G| and is called the order of
the group. G is called a finite group if |G| is finite, and G is called an infinite
group otherwise.
An important class of groups consists of those for which every element can be
written as a power (positive or negative) of some fixed element. More precisely,
a group (G, ·) is called cyclic if there exists an element g ∈ G such that G =
{gn|n ∈ Z}. The element g is called a generator of the cyclic group.
Every cyclic group is abelian because gr · gs = gr+s = gs · gr .
The group ({1,−1, i,−i}, ·) is a cyclic group of order 4 generated by i because
i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i, and so on. Hence the group can
be written as ({1, i, i2, i3}, ·).
In additive notation, the group (G,+) is cyclic if G = {ng|n ∈ Z} for some
g ∈ G. The group (Z,+) is an infinite cyclic group with generator 1 (or −1).
The order of an element g in a group (G, ·) is the least positive integer r
such that gr = e. If no such r exists, the order of the element is said to be infinite.
Note the difference between the order of an element and the order of a group.
We are going to find connections between these two orders and later prove
Lagrange’s theorem, which implies that in a finite group, the order of every
element divides the order of the group.
For example, in ({1,−1, i,−i}, ·), the identity 1 has order 1,−1 has order 2
because (−1)2 = 1, whereas i and −i both have order 4. The group has order 4.
Let Q
∗ = Q − {0} be the set of nonzero rational numbers. Then (Q
∗
, ·) is a
group under multiplication. The order of the identity element 1 is 1, and the
order of −1 is 2. The order of every other element is infinite, because the only
solutions to qr = 1 with q ∈ Q
∗
, r  1 are q = ±1. The group has infinite order.
However, it is not cyclic, because there is no rational number r such that every
nonzero rational can be written as rn for some n ∈ Z.
The next two results show how the division algorithm for integers (see Appendix
2) is used in group theory.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เขียนหมายเลขขององค์ประกอบในกลุ่ม G | G| และเรียกว่าลำดับกลุ่ม G คือกลุ่มจำกัดถ้า | G| มี และ G จะเรียกว่าเป็นอนันต์กลุ่มอื่น ๆคลาสที่มีความสำคัญของกลุ่มประกอบด้วยผู้ที่ทุกองค์ประกอบสามารถเขียนเป็นพลังงาน (ค่าบวก หรือค่าลบ) ขององค์ประกอบบางอย่างถาวร ได้แม่นยำมากกลุ่ม (G ขาด) คือมีการองค์ประกอบ g ∈ G เช่นวัฏจักรที่ G ={gn|n ∈ Z } G องค์ประกอบเรียกว่าเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของกลุ่มวัฏจักรทุกกลุ่มทุกรอบมีอาบีเลียนเนื่องจาก gr · gs = gr + s = gs · grกลุ่ม ({ 1, −1, i, −i }, ·) คือกลุ่มวัฏจักรของสั่ง 4 สร้าง โดยฉันเนื่องจากi0 = 1, i1 =ฉัน i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 =ฉัน และอื่น ๆ ดังนั้น กลุ่มสามารถสามารถเขียนเป็น ({ 1 ฉัน i2, i3 }, ขาด)ในสัญกรณ์ additive กลุ่ม (G, +) เป็นทุกรอบถ้า G = {ng|n ∈ Z } บาง∈ g กรัม กลุ่ม (Z, +) เป็นกลุ่มทุกรอบไม่ มีเครื่องกำเนิดไฟฟ้า 1 (หรือ −1)สั่งการขององค์ประกอบในกลุ่ม (G ลอก) เป็น r จำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดเช่นว่า gr = e ถ้าไม่เช่น r ลำดับขององค์ประกอบกล่าวได้ว่า เป็นอนันต์หมายเหตุความแตกต่างระหว่างลำดับขององค์ประกอบและลำดับของกลุ่มเรากำลังค้นหาการเชื่อมต่อระหว่างใบสั่งเหล่านี้สอง และพิสูจน์ในภายหลังทฤษฎีบทของโรงแรมลากรองจ์ ซึ่งหมายถึงการที่ในกลุ่มจำกัด ลำดับของ ทุกองค์ประกอบแบ่งลำดับของกลุ่มตัวอย่าง ใน ({ 1, −1, i, −i }, ลอก), รหัสประจำตัว 1 ได้ลำดับที่ 1, −1 ได้สั่ง 2เนื่องจาก (−1) 2 = 1 ในขณะที่ฉันและ −i ทั้งสองได้สั่ง 4 สั่ง 4 กลุ่มได้ให้ Q∗ = Q − {0} สามารถตั้งค่าหมายเลข nonzero ตรรกยะ แล้ว (Q∗, ·) เป็นการกลุ่มภายใต้การคูณ ลำดับขององค์ประกอบตัว 1 คือ 1 และสั่งของ −1 เป็น 2 สั่งของทุกองค์ประกอบเป็นอนันต์ เนื่องจากเฉพาะแก้ไข qr = 1 กับ q ∈ Q∗, r 1 มี q = ±1 กลุ่มมีลำดับอนันต์อย่างไรก็ตาม ไม่ทุกรอบ เนื่องจากมีไม่ r จำนวนตรรกยะที่ทุกสามารถเชือด nonzero เขียนเป็น rn สำหรับบาง∈ n Zสองหน้าผลแสดงว่าฝ่ายอัลกอริทึมสำหรับจำนวนเต็ม (ดูภาคผนวก2) มีใช้ในทฤษฎีกรุป

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

จำนวนขององค์ประกอบในกลุ่มจีที่เขียน | G |
และถูกเรียกว่าคำสั่งของกลุ่ม G เรียกว่ากลุ่มแน่นอนถ้า | G | มี จำกัด
และจีเรียกว่าไม่มีที่สิ้นสุดกลุ่มอื่น.
คลาสที่สำคัญของกลุ่มประกอบด้วยผู้ที่ทุกองค์ประกอบสามารถเขียนเป็นพลังงาน (บวกหรือลบ) ขององค์ประกอบบางอย่างคงที่
อีกอย่างแม่นยำกลุ่ม (G, ·) เรียกว่าวงจรถ้ามีองค์ประกอบกรัม∈ G ดังกล่าวว่า g = {GN | n ∈ Z} องค์ประกอบกรัมเรียกว่าเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของวงจรกลุ่ม. ทุกวงจรกลุ่มศาสนาคริสต์เป็นเพราะกรัม· GS กรัม + = = s GS ·กรัม. กลุ่ม ({1, -1, i, -i} ·) คือเป็นวงกลม กลุ่มของคำสั่งที่สร้างขึ้นโดย 4 เพราะฉันi0 = 1 i1 = i, i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1 i5 = ฉันและอื่น ๆ ดังนั้นกลุ่มสามารถเขียนเป็น ({1, i, i2, i3} ·). ในสัญกรณ์สารเติมแต่งในกลุ่ม (G +) คือเป็นวงกลมถ้า G = {งะ | n ∈ Z} สำหรับบางกรัม∈กรัมกลุ่ม (Z +) เป็นวงจรกลุ่มที่ไม่มีที่สิ้นสุดกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้า 1 (หรือ -1). ลำดับขององค์ประกอบกรัมในกลุ่ม (G, ·) เป็นอย่างน้อยอาจำนวนเต็มบวกดังกล่าวว่ากรัมe = ถ้าไม่มีอาร์ดังกล่าวมีอยู่คำสั่งขององค์ประกอบที่กล่าวจะไม่มีที่สิ้นสุด. หมายเหตุความแตกต่างระหว่างคำสั่งขององค์ประกอบและคำสั่งของกลุ่มที่. พวกเราจะไปพบการเชื่อมต่อระหว่างทั้งสองคำสั่งและต่อมาพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Lagrange ซึ่ง แสดงให้เห็นว่าในกลุ่มแน่นอนคำสั่งของทุกองค์ประกอบเพื่อแบ่งของกลุ่ม. ยกตัวอย่างเช่นใน ({1, -1, i, -i} ·) 1 ตัวตนได้เพื่อที่ 1, -1 มีคำสั่ง 2 เพราะ (-1) 2 = 1 ในขณะที่ฉันและ -i ทั้งสองมีการสั่งซื้อ 4. กลุ่มที่ 4 มีคำสั่งให้Q * = Q - {0} เป็นชุดของตัวเลขเหตุผลภัณฑ์ จากนั้น (Q * ·) เป็นกลุ่มภายใต้การคูณ คำสั่งขององค์ประกอบตัวตนที่ 1 คือ 1 และคำสั่งของ-1 2. เป็นคำสั่งของทุกองค์ประกอบอื่น ๆ ไม่มีที่สิ้นสุดเพราะเพียงการแก้QR = 1 กับคิว∈ Q *, R? 1 มีคิว = ± 1 กลุ่มที่มีการสั่งซื้อที่ไม่มีที่สิ้นสุด. แต่มันไม่ได้เป็นวงกลมเพราะไม่มีจำนวนจริงอาดังที่ทุกภัณฑ์ที่มีเหตุผลสามารถเขียนเป็น rn สำหรับบาง n ∈ซีอีกสองผลแสดงให้เห็นว่าขั้นตอนวิธีการแบ่งสำหรับจำนวนเต็ม(ดูภาคผนวก2) ใช้ในทฤษฎีกลุ่ม

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

จำนวนขององค์ประกอบในกลุ่ม G เขียน | กรัม | และเรียกว่าสั่ง
กลุ่ม กรัมเรียกว่ากลุ่มจำกัดถ้า | กรัม | เป็นที่แน่นอนและ G เรียกว่ากลุ่มอนันต์

เรียนอย่างอื่น สำคัญของกลุ่มประกอบด้วยผู้ที่มีทุกองค์ประกอบสามารถ
เขียนเป็นพลังงาน ( บวกหรือลบ ) ของบางแก้ไของค์ประกอบ ยิ่งกว่านั้น
กลุ่ม ( G ,ด้วย ) เรียกว่าเป็น หากมีองค์ประกอบ∈ G G เช่น G =
{ GN | N ∈ Z } องค์ประกอบ G เรียกว่าเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของกลุ่มเป็นวงกลม .
ทุกแบบกลุ่มศาสนาคริสต์ เพราะ GR ด้วย GS = GR S = GS ด้วย GR .
กลุ่ม ( { 1 , − 1 , −ผม } , Suite ) เป็นวงจรที่สร้างขึ้นโดยกลุ่มสั่ง 4 เพราะว่า
i = 1 i1 = ผม , I2 = − 1 I3 = − , ไอโฟร์ = 1 i5 = ผม , และอื่น ๆ ดังนั้น กลุ่มสามารถ
สามารถเขียนเป็น ( { 1 i , I2 , I3 } ,ด้วย )
ในสัญกรณ์เสริมกลุ่ม ( G ) เป็นวงกลม ถ้า g = { ng | N ∈ Z } บาง
g ∈กรัมกลุ่ม ( Z ) เป็นอนันต์แบบกลุ่มกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้า 1 หรือ− 1 ) .
สั่งองค์ประกอบกรัมในกลุ่ม ( กรัม Suite ) , เป็นอย่างน้อยบวกจำนวนเต็ม R
เช่น GR = E . ถ้าไม่มี R อยู่ คำสั่งขององค์ประกอบที่เป็นอนันต์
ทราบความแตกต่างระหว่างคำสั่งขององค์ประกอบและลำดับของกลุ่ม .
เราจะค้นหาการเชื่อมต่อระหว่างทั้งสองคำสั่งและต่อมาพิสูจน์ทฤษฎีบทของลากรองจ์
, ซึ่งหมายความว่าในกลุ่มจำกัด คำสั่งของทุก
องค์ประกอบแบ่งเพื่อกลุ่ม .
( { 1 ตัวอย่างเช่น −− 1 , ผม , , ผม , Suite ) , เอกลักษณ์ 1 ได้สั่ง 1 , − 1 ได้ 2
เพราะ ( − 1 ) 2 = 1ในขณะที่ฉันและ−ฉันทั้งสองมีคำสั่ง 4 กลุ่มมีการสั่งซื้อ 4 .
Q
Q ให้∗ = − { 0 } เป็นเซตของจำนวนตรรกยะ 0 . แล้ว ( q
∗

ด้วย ) คือ กลุ่มภายใต้การคูณ คำสั่งของเอกลักษณ์องค์ประกอบ 1 1 และ
สั่ง− 1 2 สั่งซื้อของทุกองค์ประกอบอื่น ๆ เป็นอนันต์ เพราะโซลูชั่นเฉพาะ
กับ QR = 1 Q
Q ∈∗
, R  1 Q = ± 1 กลุ่มที่มีลำดับอนันต์ .
อย่างไรก็ตามมันไม่ได้เป็นเพราะไม่มีจำนวนตรรกยะ r
0 เหตุผลเช่นที่ทุกคนสามารถเขียนได้เป็น RN สำหรับ N ∈ Z .
2 พบว่าขั้นตอนวิธีการหารสำหรับจำนวนเต็ม ( ดูภาคผนวก
2 ) ที่ใช้ในทฤษฎีกลุ่ม