Theorem 3 Let f : Ω → R be differen

Theorem 3 Let f : Ω → R be differentiable. Then f is strongly convex with
modulus c > 0 if and only if
[f
′
(x) − f
′
(y)](x − y) ≥ 2c k x − y k
2
,
for any x, y ∈ Ω.
Proof.
If f is strongly convex with modulus c > 0, then by foregoing Theorem 2
f(x) ≥ f(x0) + f
′
(x0)(x − x0) + c k x − x0 k
2
,
for any x, x0 ∈ Ω. Then for x0 = y
f(x) ≥ f(y) + f
′
(y)(x − y) + c k x − y k
2
. (6)
Similarly, switching x and y
f(y) ≥ f(x) + f
′
(x)(y − x) + c k y − x k
2
, (7)
and adding up (6) and (7)
f(x) + f(y) ≥ f(y) + f(x) + f
′
(y)(x − y) + f
′
(x)(y − x) + 2c k x − y k
2
.
Thus,
f
′
(x)(x − y) − f
′
(y)(x − y) ≥ 2c k x − y k
2
,
that is
[f
′
(x) − f
′
(y)](x − y) ≥ 2c k x − y k
2
.
Conversely, let x0, x1 ∈ Ω, and consider the univariate function ϕ(t) =
f(xt), where xt = x0 + t(x1 − x0), for t ∈ [0, 1]; ϕ is well defined because
xt ∈ Ω, for any t ∈ [0, 1] and is differentiable because f is, even more, ϕ
′
(t) =
f
′
(xt)(x1 − x0), but then for 0 ≤ t
′ < t ≤ 1,
ϕ
′
(t) − ϕ
′
(t
′
) = (f
′
(xt) − f
′
(xt
′))(x1 − x0).
Because xt − xt
′ = (t − t
′
)(x1 − x0),
(f
′
(xt) − f
′
(xt
′))(x1 − x0) = (f
′
(xt) − f
′
(xt
′)) 
xt − xt
′
t − t
′

=
1
t − t
′
(f
′
(xt) − f
′
(xt
′))(xt − xt
′),
thus
ϕ
′
(t) − ϕ
′
(t
′
) = 1
t − t
′
(f
′
(xt) − f
′
(xt
′))(xt − xt
′).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบท 3 ให้ f: Ω→ R จะ differentiable แล้ว f เป็นอย่างยิ่งนูนด้วยโมดูลัส c > 0 ถ้าและเฉพาะถ้า[f′(x) f −′(y)] (x − y) ≥ 2c k x − y k2,ใด ๆ x, y ∈Ωหลักฐานการถ้า f เป็นนูนขอ ด้วยโมดูลัส c > 0 แล้ว โดยกลาย 2 ทฤษฎีบทf(x) ≥ f(x0) + f′(x 0) (x − x 0) + c k k x − x 02,ใด ๆ x, x 0 Ω∈ สำหรับ x 0 = yf(x) ≥ f(y) + f′(y) (y x −) + c k x − y k2. (6)ในทำนองเดียวกัน สลับ x และ yf(y) ≥ f(x) + f′(x) (y − x) + c k y − x k2, (7)และเพิ่มขึ้น (6) และ (7)f(x) + f(y) ≥ f(y) + f(x) + f′(y) (y x −) + f′(x) (y − x) + 2c k x − y k2.ดังนั้นf′(x) f (x − y) −′(y) (x − y) ≥ 2c k x − y k2,นั่นก็คือ[f′(x) f −′(y)] (x − y) ≥ 2c k x − y k2.ในทางกลับกัน ให้ x 0, x 1 ∈Ω และ ϕ(t) ฟังก์ชันอย่างไร univariate =f(xt) ที่ xt = x 0 + t (x 1 − x 0), t ∈ [0, 1]; Φเป็นที่กำหนดไว้เนื่องจากΩ∈ xt สำหรับใด ๆ t ∈ [0, 1] และเป็น differentiable เพราะ f ยิ่ง ϕ′(t) =f′(xt) (x 1 − x 0), แต่ แล้ว สำหรับ 0 ≤ t′ < t ≤ 1Φ′(t) −ϕ′(t′) = (f′f − (xt)′(xt) ′) (x − 1 x 0)เพราะ xt − xt′ = (t − t′) (x 1 − x 0),(f′f − (xt)′(xt) ′) (x − 1 x 0) = (f′f − (xt)′(xt′)) xt − xt′t − t′=1t − t′(f′f − (xt)′(xt′)) (xt − xt′),ดังนั้นΦ′(t) −ϕ′(t′) = 1t − t′(f′f − (xt)′(xt′)) (xt − xt′).

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีบท 3 ให้ f: R Ω→เป็นอนุพันธ์ จากนั้นเอฟเป็นอย่างยิ่งนูนกับโมดูลัค> 0 ถ้าหาก [F '(x) - เอฟ' (y)] (x - y) ≥ 2c KX - YK 2,. สำหรับ x ใด ๆ , y ∈Ω. หลักฐานหากฉนูนเป็นอย่างยิ่งกับโมดูลัค> 0 แล้วดังกล่าวข้างต้นโดยทฤษฎีบท 2 f (x) ≥ f (x0) + F '(x0) (x - x0) + CKX - x0 k 2, สำหรับ x ใด ๆ x0 ∈Ω แล้วสำหรับ x0 y = f (x) ≥ f (y) + F '(y) (x - y) + CKX - YK 2 (6) ในทำนองเดียวกันการเปลี่ยน x และ y f (y) ≥ f (x) + F '(x) (y - x) + CKY - XK 2 (7) และการเพิ่มขึ้น (6) และ (7) f ( x) + f (y) ≥ f (y) + f (x) + F '(y) (x - y) + F' (x) (y - x) + 2c KX - YK 2. ดังนั้นฉ' (x) (x - y) - เอฟ'(y) (x - y) ≥ 2c KX - YK 2, ที่เป็น[F' (x) - เอฟ'(y)] (x - y) ≥ 2c KX - YK 2. ตรงกันข้ามให้ x0 x1, ∈Ωและพิจารณาฟังก์ชัน univariate φ (t) = f (XT) ซึ่ง XT = x0 + T (x1 - x0) สำหรับ t ∈ [0, 1]; φหมายดีเพราะXT ∈Ω, สำหรับ t ∈ใด ๆ [0, 1] และอนุพันธ์ได้เพราะฉคือมากยิ่งขึ้นφ '(t) = ฉ' (XT) (x1 - x0) แต่แล้ว 0 ≤ เสื้อ'<เสื้อ≤ 1, φ' (t) - φ '(t') = (ฉ'(XT) - เอฟ' (XT)) (x1 - x0). เพราะ XT - XT '= (t - เสื้อ') (x1 - x0) (ฉ' (XT) - เอฟ'(XT)) (x1 - x0) = (ฉ' (XT) - เอฟ'(XT)?) XT - XT' ที - ที'? = 1 ที - ที' (ฉ'(XT) - เอฟ' (XT)) (XT - XT ') จึงφ' (t) - φ '(t') = 1 ที - ที'(ฉ'(XT) - เอฟ' (XT)) (XT - XT)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบท 3 ให้ F : Ω→ keyboard - key - name r เป็น Differentiable . แล้ว F ขอนูนด้วย
) C > 0 ถ้าและเพียงถ้า
[ F ( x )

ดูแล− f
นั้น
( Y ) ] ( x y −− 2 ) ≥ K X Y k
2
,
สำหรับ x , y ∈Ω .

ถ้า F พิสูจน์ ขอนูนด้วยค่า c > 0 แล้ว โดยก่อนหน้านี้ทฤษฎีบท 2
f ( x ) f ( ≥ x0 ) F

( x0 School ) ( X x0 −− x0 K ) C K x
2
,
สำหรับใด ๆ X x0 ∈Ω . แล้ว x0 = y
f ( x ) ≥ F ( Y ) f

( Y ( x ) นั้น−− Y Y ) C K x k
2

(6)
Similarly, switching x and y
f(y) ≥ f(x) f
′
(x)(y − x) c k y − x k
2
, (7)
and adding up (6) and (7)
f(x) f(y) ≥ f(y) f(x) f
′
(y)(x − y) f
′
(x)(y − x) 2c k x − y k
2
.
Thus,
f
′
(x)(x − y) − f
′
(y)(x − y) ≥ 2c k x − y k
2
,
that is
[f
′
(x) − f
′
(y)](x − y) ≥ 2c k x − y k
2
.
Conversely, let x0, x1 ∈ Ω, and consider the univariate function ϕ(t) =
F ( XT ) ซึ่ง x0 XT = T ( X1 − x0 ) , T ∈ [ 0 , 1 ] ; ϕเป็นอย่างดีที่กำหนดไว้ เพราะ∈
XT Ωสำหรับใด ๆ T ∈ [ 0 , 1 ] และเป็น Differentiable เพราะ f คือ มากขึ้น ϕนั้น

( t ) =
F นั้น

( XT ) ( x1 − x0 ) แต่แล้ว 0 ≤ T
T ≤ MBC < 1


ϕ MBC ( T ) −ϕ

( t

MBC MBC ) = ( f

( XT ) ’’ ( − f


ได้รับ XT ) ( x1 − x0 ) .
เพราะ XT − XT
= ( − T
T ’’ ( X1
) − x0 )
( F

( XT ) ’’ ( − f


ได้รับ XT ) ( x1 − x0 ) = ( f

( XT ) − F นั้น

ได้รับ( XT
School ) 


XT − XT นั้น T
T −นั้น

=
1
T T

( F − MBC MBC

( XT ) − f

( XT
’’ ) ( XT − XT


นั้นจึงϕ
) ได้รับϕ

( T ) −นั้น
( T


T นั้น ) = 1 − T

( F

’’ ( XT ) − f

( XT
’’ ) ( XT − XT
School )