Eigenstates and EigenvaluesConsider

Eigenstates and Eigenvalues

Consider a general real-space operator $A(x)$. When this operator acts on a general wavefunction $psi(x)$ the result is usually a wavefunction with a completely different shape. However, there are certain special wavefunctions which are such that when $A$ acts on them the result is just a multiple of the original wavefunction. These special wavefunctions are called eigenstates, and the multiples are called eigenvalues. Thus, if
egin{displaymath}
A psi_a(x) = a psi_a(x),
end{displaymath} (245)

where $a$ is a complex number, then $psi_a$ is called an eigenstate of $A$ corresponding to the eigenvalue $a$.
Suppose that $A$ is an Hermitian operator corresponding to some physical dynamical variable. Consider a particle whose wavefunction is $psi_a$. The expectation of value $A$ in this state is simply [see Eq. (192)]
egin{displaymath}
langle A
angle = int_{-infty}^infty psi_a^{ast} A ...
...a dx
= a int_{-infty}^infty psi_a^{ast} psi_a dx =a,
end{displaymath} (246)

where use has been made of Eq. (245) and the normalization condition (140). Moreover,
egin{displaymath}
langle A^2
angle = int_{-infty}^infty psi_a^{ast} A^...
...dx =a^2 int_{-infty}^infty psi_a^{ast} psi_a dx =a^2,
end{displaymath} (247)

so the variance of $A$ is [cf., Eq. (160)]
egin{displaymath}
sigma_A^{ 2} = langle A^2
angle - langle A
angle^2 = a^2-a^2 = 0.
end{displaymath} (248)

The fact that the variance is zero implies that every measurement of $A$ is bound to yield the same result: namely, $a$. Thus, the eigenstate $psi_a$ is a state which is associated with a unique value of the dynamical variable corresponding to $A$. This unique value is simply the associated eigenvalue.
It is easily demonstrated that the eigenvalues of an Hermitian operator are all real. Recall [from Eq. (222)] that an Hermitian operator satisfies
egin{displaymath}
int_{-infty}^infty psi_1^ast (A psi_2) dx = int_{-infty}^infty
(A psi_1)^ast psi_2 dx.
end{displaymath} (249)

Hence, if $psi_1=psi_2=psi_a$ then
egin{displaymath}
int_{-infty}^infty psi_a^ast (A psi_a) dx = int_{-infty}^infty
(A psi_a)^ast psi_a dx,
end{displaymath} (250)

which reduces to [see Eq. (245)]
egin{displaymath}
a=a^ast,
end{displaymath} (251)

assuming that $psi_a$ is properly normalized.
Two wavefunctions, $psi_1(x)$ and $psi_2(x)$, are said to be orthogonal if
egin{displaymath}
int_{-infty}^{infty}psi_1^ast psi_2 dx = 0.
end{displaymath} (252)

Consider two eigenstates of $A$, $psi_a$ and $psi_{a'}$, which correspond to the two different eigenvalues $a$ and $a'$, respectively. Thus,
$displaystyle A psi_a$ $ extstyle =$ $displaystyle a psi_a,$ (253)
$displaystyle A psi_{a'}$ $ extstyle =$ $displaystyle a' psi_{a'}.$ (254)

Multiplying the complex conjugate of the first equation by $psi_{a'}$, and the second equation by $psi_a^ast$, and then integrating over all $x$, we obtain
$displaystyle int_{-infty}^infty (A psi_a)^ast psi_{a'} dx$ $ extstyle =$ $displaystyle a int_{-infty}^inftypsi_a^ast psi_{a'} dx,$ (255)
$displaystyle int_{-infty}^infty psi_a^ast (A psi_{a'}) dx$ $ extstyle =$ $displaystyle a' int_{-infty}^{infty}psi_a^ast psi_{a'} dx.$ (256)

However, from Eq. (249), the left-hand sides of the above two equations are equal. Hence, we can write
egin{displaymath}
(a-a') int_{-infty}^inftypsi_a^ast psi_{a'} dx = 0.
end{displaymath} (257)

By assumption, $a
eq a'$, yielding
egin{displaymath}
int_{-infty}^inftypsi_a^ast psi_{a'} dx = 0.
end{displaymath} (258)

In other words, eigenstates of an Hermitian operator corresponding to different eigenvalues are automatically orthogonal.
Consider two eigenstates of $A$, $psi_a$ and $psi_a'$, which correspond to the same eigenvalue, $a$. Such eigenstates are termed degenerate. The above proof of the orthogonality of different eigenstates fails for degenerate eigenstates. Note, however, that any linear combination of $psi_a$ and $psi_a'$ is also an eigenstate of $A$ corresponding to the eigenvalue $a$. Thus, even if $psi_a$ and $psi_a'$ are not orthogonal, we can always choose two linear combinations of these eigenstates which are orthogonal. For instance, if $psi_a$ and $psi_a'$ are properly normalized, and
egin{displaymath}
int_{-infty}^infty psi_a^ast psi_a' dx = c,
end{displaymath} (259)

then it is easily demonstrated that
egin{displaymath}
psi_a'' = frac{vert cvert}{sqrt{1-vert cvert^2}}left(psi_a - c^{-1} psi_a'
ight)
end{displaymath} (260)

is a properly normalized eigenstate of $A$, corresponding to the eigenvalue $a$, which is orthogonal to $psi_a$. It is straightforward to generalize the above argument to three or more degenerate eigenstates. Hence, we conclude that the eigenstates of an Hermitian operator are, or can be cho

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Eigenstates และค่าลักษณะเฉพาะพิจารณาผู้ประกอบการจริงพื้นที่ทั่วไป $A(x)$ เมื่อดำเนินการนี้ทำหน้าที่ในการทั่วไป wavefunction $psi(x)$ ผลคือปกติ wavefunction รูปทรงแตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง อย่างไรก็ตาม มีบาง wavefunctions พิเศษซึ่งเป็นที่เมื่อ $A$ ทำหน้าที่ในผล มีเพียงหลายของ wavefunction เดิม Wavefunctions พิเศษเหล่านี้เรียกว่า eigenstates และตัวคูณเรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะ ดังนั้น ถ้า egin{displaymath }มี psi_a(x) = psi_a(x)end{displaymath } (245)ที่ $a$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน แล้ว $psi_a$ เรียกว่า eigenstate การที่สอดคล้องกับ$ eigenvalue $a $ $Aสมมติว่า $A$ เป็นตัวดำเนินการที่สอดคล้องกับบางแปร dynamical กายภาพเอร์มีเชียน พิจารณาอนุภาค wavefunction เป็น $psi_a$ ความคาดหวังของค่า $A$ ในรัฐนี้คือ [ดู Eq. (192)] egin{displaymath }langle A
angle = int_{-infty}^infty psi_a^{ast } A ...... dx งู ๆ=เป็น int_{-infty}^infty psi_a^{ast } psi_a dx = aend{displaymath } (246)ที่ใช้แล้วของ Eq. (245) และการฟื้นฟูสภาพ (140) นอกจากนี้ egin{displaymath }langle A ^ 2
angle = int_{-infty}^infty psi_a^{ast } A ^ ...... .dx =ตัว ^ 2 int_{-infty}^infty psi_a^{ast } psi_a dx =การ ^ 2end{displaymath } (247)ดังนั้น ความแปรปรวนของ $A$ เป็น [cf. Eq. (160)] egin{displaymath }sigma_A^ {2 } = langle A ^ 2
angle - langle A
angle ^ 2 =ตัว ^ 2 a ^ 2 = 0end{displaymath } (248)ความจริงที่ว่า ผลต่างเป็นศูนย์หมายถึงว่า ทุกวัดของ $A$ ถูกผูกไว้เพื่อให้ผลลัพธ์เดียวกัน: คือ $a$ ดังนั้น eigenstate $psi_a$ เป็นรัฐซึ่งเกี่ยวข้องกับค่าเฉพาะการ dynamical แปรผันตรงกับ $A$ ค่าไม่ซ้ำกันนี้เป็นเพียงแค่ eigenvalue เกี่ยวข้องได้แสดงให้เห็นว่า ค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการเอร์มีเชียนเป็นจริงทั้งหมด เรียกคืน [จาก Eq. (222)] ที่ตอบสนองตัวดำเนินเอร์มีเชียน egin{displaymath }int_{-infty}^infty psi_1^ast (มี psi_2) dx = int_{-infty}^infty(Psi_1)^ast psi_2 dxend{displaymath } (249)ดังนั้น ถ้า psi_1=psi_2=psi_a$ $ แล้ว egin{displaymath }int_{-infty}^infty psi_a^ast (มี psi_a) dx = int_{-infty}^infty(Psi_a)^ast psi_a dxend{displaymath } (250)ซึ่งลดการ [ดู Eq. (245)] egin{displaymath }ตัว =เป็น ^ astend{displaymath } (251)สมมติว่า $psi_a$ อย่างถูกต้องตามปกติสอง wavefunctions, $psi_1(x)$ และ $psi_2(x)$ กล่าวถึงเป็นมุมฉากถ้า egin{displaymath }int_{-infty}^{infty}psi_1^ast psi_2 dx = 0end{displaymath } (252)พิจารณา eigenstates สอง $A$, $psi_a$ และ $psi_{a'}$ ซึ่งสอดคล้องกับสองค่าลักษณะเฉพาะแตกต่างกัน $a และ $a' ตามลำดับ ดังนั้น $displaystyle A psi_a$ $ extstyle = displaystyle $ psi_a,$ (253)$displaystyle A psi_{a'}$ $ extstyle = $displaystyle เป็น ' psi_{a'}.$ (254)คูณสังยุคสมการแรก โดย $psi_{a'}$ และสมการที่สอง $psi_a^ast$ แล้ว รวมกว่า$ $x ทั้งหมด เราได้รับ $displaystyle int_{-infty}^infty (มี psi_a)^ast psi_{a'} dx $ extstyle = displaystyle $ int_{-infty}^inftypsi_a^ast psi_{a เป็น ' } dx, $ (255)$displaystyle int_{-infty}^infty psi_a^ast (psi_{a'}) dx $ extstyle = $displaystyle เป็น ' int_{-infty}^{infty}psi_a^ast psi_{a'} dx. $ (256)อย่างไรก็ตาม จาก Eq. (249), ด้านข้างซ้ายของสมการสองข้างเท่ากัน ดังนั้น เราสามารถเขียน egin{displaymath }(ที่เป็น ') int_{-infty}^inftypsi_a^ast psi_{a'} dx = 0end{displaymath } (257)โดยอัสสัมชัญ $a
eq เป็น ' ผลผลิต egin{displaymath }int_{-infty}^inftypsi_a^ast psi_{a'} dx = 0end{displaymath } (258)ในคำอื่น ๆ eigenstates ของเอร์มีเชียนตัวดำเนินการที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันเป็นมุมฉากโดยอัตโนมัติพิจารณาสอง eigenstates ของ $A, $psi_a$ และ$ $psi_a'$ ซึ่งสอดคล้องกับ eigenvalue เดียว $a$ Eigenstates ดังกล่าวจะเรียกว่า degenerate หลักฐานข้างต้น orthogonality ของ eigenstates แตกต่างกันล้มเหลวสำหรับ degenerate eigenstates หมายเหตุ อย่างไรก็ตาม การรวมกันเชิงเส้นของ $psi_a$ และ $psi_a'$ ว่ายังมี eigenstate $A $ไป$ eigenvalue $a ดังนั้น แม้ว่า $psi_a$ และ $psi_a'$ ไม่เป็นมุมฉาก เราสามารถเลือกชุดที่สองเชิงเส้นของ eigenstates เหล่านี้ซึ่งเป็นมุมฉาก ตัวอย่างเช่น ถ้า $psi_a$ และ $psi_a'$ เป็น ปกติถูกต้อง และ egin{displaymath }int_{-infty}^infty psi_a^ast psi_a' dx = cend{displaymath } (259)แล้วนี่คือสิ่งที่ egin{displaymath }psi_a'' = frac{vert cvert } { sqrt { 1-vert cvert ^ 2 } } left (psi_a - c ^ { -1 } psi_a'
ight)end{displaymath } (260)เป็นที่สอดคล้องกับ$ $a eigenvalue ซึ่งเป็นมุมฉากไป $psi_a$ $ eigenstate เป็นมาตรฐานที่ถูกต้องของ $A มันเป็นตรง generalize อาร์กิวเมนต์ eigenstates degenerate สาม หรือมากกว่าด้านบน ด้วยเหตุนี้ เราสรุปว่า เป็น eigenstates ที่มีเอร์มีเชียน หรืออาจเป็นช่อ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

eigenstates และค่าลักษณะเฉพาะพิจารณาทั่วไปจริงพื้นที่ประกอบ $ A (x) $ เมื่อดำเนินการนี้จะทำหน้าที่ใน wavefunction ทั่วไป $ ปอนด์ต่อตารางนิ้ว (x) ผล $ มักจะ wavefunction มีรูปร่างที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง แต่มี wavefunctions พิเศษบางอย่างที่เป็นเช่นที่ว่าเมื่อ $ A $ ทำหน้าที่เกี่ยวกับพวกเขาผลที่ได้คือเพียงแค่หลายของ wavefunction เดิม wavefunctions พิเศษเหล่านี้เรียกว่า eigenstates และหลายจะเรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะ ดังนั้นหาก begin {displaymath} A psi_a (x) = a psi_a (x) end {displaymath} (245) ที่ $ a $ เป็นจำนวนเชิงซ้อนแล้ว $ psi_a $ เรียกว่า eigenstate ของ $ A $ สอดคล้องกับ eigenvalue ดอลลาร์ A $. สมมติว่า $ A $ เป็นผู้ประกอบการที่สอดคล้องกับเทียนบางตัวแปรพลังทางกายภาพ พิจารณาอนุภาคที่มี wavefunction คือ $ $ psi_a ความคาดหวังของมูลค่า $ A $ ในรัฐนี้เป็นเพียง [ดูสมการ (192)] begin {displaymath} langle A rangle = int _ {- infty} ^ infty psi_a ^ { AST} A ... ... นัก DX = a int _ {- infty } ^ infty psi_a ^ { AST} psi_a DX = A, end {displaymath} (246) ที่ใช้งานได้รับการทำของสมการ (245) และการฟื้นฟูสภาพ (140) นอกจากนี้ begin {displaymath} langle a ^ 2 rangle = int _ {- infty} ^ infty psi_a ^ { AST} a ^ ... ... DX = a ^ 2 int _ {- infty} ^ infty psi_a ^ { AST} psi_a DX = a ^ 2 end {displaymath} (247) ดังนั้นความแปรปรวนของ $ A $ เป็น [cf เลยสม (160)] begin {displaymath} sigma_A ^ {2} = langle a ^ 2 rangle - langle A rangle ^ 2 = a ^ 2-A ^ 2 = 0 end {displaymath} (248) ความจริงที่ว่าความแปรปรวนเป็นศูนย์หมายความว่าการวัดของ $ A $ ทุกที่ถูกผูกไว้ที่จะให้ผลผลิตผลเดียวกัน: คือ, $ A $ ดังนั้น eigenstate $ $ psi_a เป็นรัฐที่มีความเกี่ยวข้องกับคุณค่าที่เป็นเอกลักษณ์ของตัวแปรที่สอดคล้องกับพลัง $ A $ นี้ค่าไม่ซ้ำกันเป็นเพียงค่าเฉพาะที่เกี่ยวข้อง. มันจะแสดงให้เห็นได้อย่างง่ายดายว่าค่าลักษณะเฉพาะของผู้ประกอบการที่มีเทียนจริงทั้งหมด จำ [จากสมการ (222)] ที่ตอบสนองผู้ประกอบเทียน begin {displaymath} int _ {- infty} ^ infty psi_1 ^ AST (A psi_2) DX = int _ {- infty} ^ infty (A psi_1 ) ^ AST psi_2 DX. end {displaymath} (249) ดังนั้นหาก $ psi_1 = psi_2 = psi_a $ แล้ว begin {displaymath} int _ {- infty} ^ infty psi_a ^ AST (A psi_a) DX = int _ {- infty} ^ infty (A psi_a) ^ AST psi_a DX, end {displaymath} (250) ซึ่งจะช่วยลดการ [ดูสมการ (245)] begin {displaymath} A = a ^ AST, end {displaymath} (251) สมมติว่า $ psi_a $ เป็นปกติได้อย่างถูกต้อง. สอง wavefunctions, $ psi_1 (x) $ และ $ psi_2 (x ) $, จะกล่าวว่าเป็นมุมฉากถ้า begin {displaymath} int _ {- infty} ^ { infty} psi_1 ^ AST psi_2 DX = 0 end {displaymath} (252) พิจารณาสอง eigenstates ของ $ A $, $ psi_a $ และ $ psi_ {a '} $ ซึ่งสอดคล้องกับลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันสอง $ a $ และ $ a' $ ตามลำดับ ดังนั้น$ displaystyle A psi_a $ $ textstyle = $ $ displaystyle เป็น psi_a, $ (253) $ displaystyle A psi_ {a '} $ $ textstyle = $ $ displaystyle ว่า' psi_ {a '}. $ (254) คูณผันซับซ้อนของสมการเป็นครั้งแรกโดย $ psi_ {a'} $, และสมการที่สองโดย $ psi_a ^ AST $ แล้วการบูรณาการทั่ว $ x $ เราได้รับ$ displaystyle int _ {- infty} ^ infty (A psi_a) ^ AST psi_ {a '} DX $ $ textstyle = $ $ displaystyle เป็น int _ {- infty} ^ infty psi_a ^ AST psi_ {a '} DX, $ (255) $ displaystyle int _ {- infty} ^ infty psi_a ^ AST (A psi_ {a'}) DX $ $ textstyle = $ $ displaystyle ว่า ' int _ {- infty} ^ { infty} psi_a ^ AST psi_ {a'} DX $ (256). แต่จากสมการ (249) ด้านซ้ายมือของทั้งสองสมการดังกล่าวข้างต้นมีค่าเท่ากัน ดังนั้นเราสามารถเขียน begin {displaymath} (ก-A ') int _ {- infty} ^ infty psi_a ^ AST psi_ {a'} DX = 0 end {displaymath} (257) โดย สมมติฐาน $ neq เป็น '$ ยอม begin {displaymath} int _ {- infty} ^ infty psi_a ^ AST psi_ {a'} DX = 0 end {displaymath} (258) ใน คำอื่น ๆ eigenstates ของผู้ประกอบเทียนที่สอดคล้องกับลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันโดยอัตโนมัติมุมฉาก. พิจารณาสอง eigenstates ของ $ A $, $ psi_a $ และ $ psi_a '$ ซึ่งสอดคล้องกับ eigenvalue เดียวกัน, $ A $ eigenstates ดังกล่าวจะเรียกว่าเลว หลักฐานข้างต้นของการตั้งฉากของ eigenstates ที่แตกต่างกันล้มเหลวสำหรับ eigenstates เลว แต่โปรดทราบว่าการรวมกันเชิงเส้นของ $ psi_a $ และ $ psi_a '$ ยังเป็น eigenstate ของ $ A $ สอดคล้องกับ eigenvalue ดอลลาร์ A $ ดังนั้นแม้ว่า $ psi_a $ และ $ psi_a '$ ไม่ได้ฉากที่เราสามารถจะเลือกสองชุดเชิงเส้นของ eigenstates เหล่านี้ซึ่งเป็นมุมฉาก ตัวอย่างเช่นถ้า $ psi_a $ และ $ psi_a '$ เป็นปกติอย่างถูกต้องและ begin {displaymath} int _ {- infty} ^ infty psi_a ^ AST psi_a' DX = C, end {displaymath } (259) แล้วมันจะแสดงให้เห็นได้อย่างง่ายดายว่า begin {displaymath} psi_a '' = frac { Vert C Vert} { sqrt {1- Vert C Vert ^ 2}} left ( psi_a - C ^ {- 1} psi_a ' ขวา) end {displaymath} (260) เป็น eigenstate ปกติถูกต้องของ $ A $ สอดคล้องกับ eigenvalue ดอลลาร์ A $ ซึ่งเป็นฉากกับ $ $ psi_a มันเป็นเรื่องง่ายที่จะพูดคุยโต้แย้งดังกล่าวข้างต้นจะสามหรือมากกว่า eigenstates เลว ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า eigenstates ของผู้ประกอบการที่มีเทียนหรือสามารถ cho

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

eigenstates และค่าพิจารณาพื้นที่จริงทั่วไปผู้ประกอบการ $ ( x ) $ เมื่อผู้ประกอบการทำในทั่วไปฟังชันคลื่น $ PSI ( x ) $ ผลมักจะเป็นฟังชันคลื่นที่มีรูปร่างที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง อย่างไรก็ตาม มีฟังก์ชันคลื่นพิเศษบางอย่างซึ่งเช่นว่าเมื่อ $ $ การกระทำนั้น ผลที่ได้คือเพียงหลายของฟังชันคลื่นเดิม ฟังก์ชันคลื่นพิเศษเหล่านี้จะเรียกว่า eigenstates และคูณเรียกค่า . ดังนั้น ถ้าegin displaymath } {เป็น psi_a ( ( X ) = psi_a ( X )สิ้นสุด } { displaymath ( 245 )ที่ $ $ เป็นจำนวนเชิงซ้อนแล้ว $ psi_a $ เรียกว่า eigenstate $ $ ที่สอดคล้องกับค่า $ $สมมติว่า $ $ เป็นผู้ hermitian ทางกายภาพที่สอดคล้องกับตัวแปร พิจารณาอนุภาคที่มีฟังชันคลื่นคือ $ psi_a $ ความคาดหวังของค่า $ $ ในรัฐนี้เป็นเพียงการเห็น ( 192 ) ] [ อีคิวegin displaymath } {langle เป็นมุม = int_ { - infty } ^ { } ^ infty psi_a เอ . . . . . . .. . . . . . . DX= int_ { - infty } ^ { } ^ infty psi_a AST psi_a DX = Aสิ้นสุด } { displaymath ( 246 )ที่ใช้งานได้ของอีคิว ( 245 ) และการฟื้นฟูสภาพ ( 140 ) นอกจากนี้egin displaymath } {langle a ^ 2มุม = int_ infty } { - ^ infty psi_a ^ { } ^ เอ . . . . . . .. . . . . . . int_ DX = ^ 2 { - infty } ^ { } ^ infty psi_a AST psi_a DX = ^ 2สิ้นสุด } { displaymath ( 247 )ดังนั้น ความแปรปรวนของ $ A $ [ CF ] , ( 160 ) อีคิวegin displaymath } {sigma_a ^ { 2 } = langle a ^ 2มุม - langle เป็นมุมห้อง 2-A ^ 2 = ^ ^ 2 = 0สิ้นสุด } { displaymath ( 248 )ความจริงที่ว่าแปรปรวนเป็นศูนย์หมายความว่าทุกวัด $ $ ถูกผูกไว้เพื่อให้ผลลัพธ์เดียวกัน คือ $ $ ดังนั้น eigenstate $ psi_a $ เป็นรัฐซึ่งเกี่ยวข้องกับค่าเฉพาะของตัวแปรพลวัตที่สอดคล้องกับ $ $ ค่าเฉพาะนี้เป็นเพียงที่เกี่ยวข้องค่า .มันสามารถแสดงให้เห็นว่าค่าของ hermitian ผู้ประกอบการเป็นของจริงทั้งหมด เรียกคืน [ อีคิว ( 222 ) ] ที่ hermitian ผู้ประกอบการพึงพอใจegin displaymath } {int_ infty } { - ^ ^ infty psi_1 AST ( psi_2 ) DX = int_ infty } { - ^ infty( psi_1 ) ^ AST psi_2 DXสิ้นสุด } { displaymath ( 249 )ดังนั้น ถ้า $ psi_1 = psi_2 = psi_a $ แล้วegin displaymath } {int_ infty } { - ^ ^ infty psi_a AST ( psi_a ) DX = int_ infty } { - ^ infty( psi_a ) ^ psi_a DX AST ,สิ้นสุด } { displaymath ( 250 )ซึ่งช่วยลดการมองเห็น ( 245 ) ] [ อีคิวegin displaymath } {A = ^ AST ,สิ้นสุด } { displaymath ( 251 )สมมติว่า $ psi_a $ ได้ตามปกติ .สองฟังก์ชันคลื่น , $ psi_1 ( x ) $ และ $ psi_2 ( x ) $ ซึ่งถ้าจะกล่าวว่า เป็นegin displaymath } {int_ { - infty } ^ { } ^ infty psi_1 AST psi_2 dx = 0สิ้นสุด } { displaymath ( 252 )พิจารณาสอง eigenstates $ $ $ $ $ psi_ psi_a { " } $ ซึ่งสอดคล้องกับที่แตกต่างกันสองค่า $ $ และ $ a $ ตามลำดับ ดังนั้น$ $ $ displaystyle เป็น psi_a extstyle = $ $ displaystyle เป็น psi_a $ ( 253 )$ displaystyle เป็น psi_ { " } $ $ extstyle = $ $ displaystyle " psi_ { " } $ ( 254 )การคูณจำนวนเชิงซ้อนแรกของสมการ โดย psi_ $ { " } $ และ $ สมการที่สอง โดย psi_a ^ AST $ แล้วรวมกว่า $ x $ เราขอรับ$ displaystyle int_ infty } { - ^ infty ( psi_a ) ^ AST psi_ { " } $ $ extstyle DX = $ $ displaystyle เป็น int_ infty } { - ^ ^ inftypsi_a AST psi_ { " } dx $ ( 255 )$ displaystyle int_ { - infty } ^ ^ infty psi_a AST ( psi_ { " } ) DX = $ $ $ $ extstyle displaystyle " int_ { - infty } ^ { } ^ infty psi_a AST psi_ { " } $ ( 256 ) DXอย่างไรก็ตาม จาก อีคิว ( 249 ) ด้านซ้ายของสมการทั้งสองข้างเท่ากัน ดังนั้น เราสามารถเขียนegin displaymath } {( เป็น ) int_ infty } { - ^ ^ inftypsi_a AST psi_ { " } dx = 0สิ้นสุด } { displaymath ( 257 )โดยสมมติฐาน , $ เป็นEQ " $ , ผลผลิตegin displaymath } {int_ infty } { - ^ ^ inftypsi_a AST psi_ { " } dx = 0สิ้นสุด } { displaymath ( 258 )ในคำอื่น ๆ eigenstates ของผู้ประกอบการ hermitian สอดคล้องกับค่าต่าง ๆซึ่งโดยอัตโนมัติพิจารณาสอง eigenstates $ $ $ psi_a $ และ $ psi_a " $ ซึ่งสอดคล้องกับค่าเดียวกัน $ $ eigenstates ดังกล่าวเป็น termed ทราม หลักฐานข้างต้นของ orthogonality ของ eigenstates ต่างล้มเหลวสำหรับการ eigenstates . อย่างไรก็ตาม โปรดสังเกตว่าเส้นใด ๆ การรวมกันของ $ psi_a $ และ $ psi_a " $ เป็น eigenstate $ $ ที่สอดคล้องกับค่า $ $ ดังนั้น แม้ว่า $ psi_a $ และ $ psi_a " $ ไม่ได้เป็นวิธีที่เราสามารถเลือกสองชุดเชิงเส้นของ eigenstates เหล่านี้ซึ่งเป็นชั้น . ตัวอย่าง ถ้า psi_a $ $ $ $ psi_a อย่างถูกต้องและมาตรฐานegin displaymath } {int_ infty } { - ^ ^ infty psi_a AST psi_a " DX = Cสิ้นสุด } { displaymath ( 259 )แล้วมันสามารถแสดงให้เห็นว่าegin displaymath } {psi_a " " = frac { สีเขียว cvert } { { 1-vert SQRT cvert ^ 2 } } ซ้าย ( psi_a c - ^ { - 1 } psi_a "ight )สิ้นสุด } { displaymath ( 260 )เป็นรูป eigenstate อย่างถูกต้องของ $ $ ซึ่งสอดคล้องกับค่า $ $ ซึ่งตั้งฉากกับ $ psi_a $ มันเป็นตรงไปตรงมาเพื่อหาข้อโต้แย้งข้างต้นสามหรือมากกว่าการ eigenstates . ดังนั้น สรุปได้ว่า hermitian eigenstates ของผู้ประกอบการ หรือสามารถ โช