We present in this section the freq

We present in this section the frequentist algorithms, SPRT
and CUSUM, the BED and the OBCPD.
Frequentist approaches for change-point detection
Frequentist approaches are based on hypothesis testing, and
they are designed to signal an alert when a change-point
occurs. We present two frequentist approaches, derived
from Wald’s hypothesis testing, used here for water quality
time series monitoring, namely SPRT and CUSUM.
Sequential probability ratio test
SPRT is a sequential testing hypothesis that tests and allows
determination between a hypothesis H0 versus an alternative
hypothesis H1 (Wald 1945). We consider that H0 is the
hypothesis corresponding to the absence of contamination,
and H1 the hypothesis in the presence of contamination. If
we assume that the hypothesis H0 is described by the statistics
θ ¼ θ0, and the hypothesis H1:θ ≠ θ0, then the test
statistic is the logarithm of the likelihood ratio St between
the two hypotheses, and is expressed as
St ¼ St1 þ log
fθ1 ðϵtÞ
fθ0 ðϵtÞ
, (4)
where S0 ¼ 0 and log fθ1 ðϵtÞ= fθ0 ðϵtÞ is the logarithm likelihood
ratio for the residual at time t, with fθ0 the
probability density function for the hypothesis H0, and fθ1
the probability density function for the hypothesis H1.
Here, we consider that f is a Gaussian distribution. The
SPRT stops in favor of H0 if the lower bound A is crossed
with an error rate a, and H1 if the upper bound B is crossed
with an error rate b. The lower and upper bounds A and B
are defined by
A ¼ log
b
1  a
and B ¼ log
1  b
a
: (5)
The time l at which a change-point occurs is characterized
by the change in the St sign. In summary, if we
consider that our decision rule is dt and our stopping time
is τ, then the SPRT is defined as
dt ¼
0, if St  A,
1, if St  B,
no decision if A < St < B:
8<
: (6)
If the decision rule dt ¼ 0 there is no anomaly, conversely
if dt ¼ 1 there is an anomaly
τ ¼ minft:ðdt ¼ 1Þ ∪ ðdt ¼ 0Þg: (7)
Cumulative sum test
CUSUM considers as input the sequence of residuals
fϵtgkt
¼1, which has a probability density function fθ. In this
study f is considered as a Gaussian distribution, where
ϵ1, . . ., ϵl1 are independent and identically distributed
residuals with a density fθ0 , and ϵl, . . ., ϵk are independent
and identically distributed variables having a density fθ1 ,
where l is the time at which the change-point occurs and
is provided by the following relation:
l ¼ infft:gt  h0g, (8)
and h0 is a pre-defined threshold, g0 ¼ 0 and gt is given by:
gt ¼ gt1 þ log
fθ1 (ϵt)
fθ0 (ϵt)
 
þ
where aþ ¼ max(0, a): (9)
Binomial event discriminator
The BED uses a binomial failure model to aggregate
residuals over consecutive time steps into a declaration of
an event or not (McKenna et al. ). For each time step,
the absolute value of the residual is compared with a
threshold, ζ, and classified as an outlier or not. The probability
of a water quality anomaly (event) occurring at time
t is calculated as the cumulative probability of the binomial
distribution
P(Etjrt, W, pf) ¼
XNr
i¼0
b(r; W, pf ), (10)
where each outlier, r, is considered a failure within a
window containing W time steps, and representing the
number of trials in the binomial model, i is the time instant
and Nr is the number of trials. The resulting P(Et) is compared
with a probability threshold, h, to determine
existence of an event. The probability of an individual failure
occurring in any time step is fixed at pf . In application here,
the residuals within a moving window of length, SW, representing
the number of time steps over which the data are
standardized, are standardized prior to use. The standardization
is achieved by dividing the residual by its standard
deviation within SW.
Bayesian approach to change-point detection
In Adams & MacKay (), the authors develop an online
version of OBCPD. Here, OBCPD allows us to detect the
time at which the statistical properties of water quality
time series change because of the presence of contamination
events. With OBCPD, the objective is, given a sequence of
residuals from the time instant 1 up to t, εt ¼ ϵ1:t, to predict
the next water quality residual
p(ϵtþ1jεt) ¼
X
rt
p(ϵtþ1jrt, ϵ(r)
t ) p(rtjεt), (11)
with
p(rtjεt) ¼
1
p(εt)
X
rt1
p(rtjrt1) p(ϵtjrt1, ϵ(r)
t ) p(rt1, εt1): (12)
where rt represents the ‘run length’, a run length is the
number of data in a ‘run’, and a ‘run’ is the current data
back to the most recent change-point, ϵt ∈ Rd is a
d-dimensional residual at time t. The notation ϵ(r)t
represents the residuals ϵt associated to the run length r. To
compute the probability of change-point p(ϵtþ1jεt) let us
examine in more detail Equations (11) and (12). In
Equation (12) we consider that the predictive probability
p(ϵtjrt1, ϵ(r)
t ) is a Student’s t-distribution with a probability
function given by
p(ϵtjμt, σ2t
, νt) ¼
Γ(νtþ1
2 )
Γ(νt
2 )
1
ffiffiffiffiffiffiffi
pνtπ 1 þ
1
νt
ϵt  μt
σt
 2
" #

νtþ1
2
 
,
(13)
where μt is the center, σt the standard deviation and νt the
degree of freedom. If we consider that the residuals follow
a normal gamma distribution, therefore νt ¼ 2 αt,
σ2t
¼ βt κt þ 1=αt κt, where the updating rule for the center
μt, the precision αt, the shape κt, and the scale βt is given by
μtþ1 ¼
κtμt þ ϵt
κt þ 1
, (14)
αtþ1 ¼ αt þ 0:5, (15)
κtþ1 ¼ κt þ 1, (16)
βtþ1 ¼ βt þ
1
2
1 þ
κt(ϵt  μt)2
κt þ 1
!
: (17)
We showed here how we evaluate at each time step the
next residual knowing the statistics of the previous one.
Next, we provide an insight into the determination of
p(rtjrt1). We consider that at each time step either there
is a change point and the run length drops to zero,
rt ¼ 0, or there is no change and the run length continues
to grow, rt ¼ rt1 þ 1. To determine the probability of the
run length at time t conditional on the run length at time
t  1, p(rtjrt1), we use a ‘hazard function’ H. A hazard
function H is defined as an event rate at time t conditional
on survival until time t
pðrtjrt1Þ ¼
Hðrt1 þ 1Þ; if rt ¼ 0
1  Hðrt1 þ 1Þ; if rt ¼ rt1 þ 1
0; otherwise
8<
: (18)
where HðτÞ is the hazard function at time τ, in our case the
hazard function is constant at H(τ) ¼ 1=λ, where λ is the
time scale.
In the absence of a change-point, we use all the quantities
described above to arrive at
p rt ¼ rt1 þ1, εt ð Þ ¼ p(rt1, εt1)p(ϵtjμt, σ2t
, νt)(r)ð1H(rt1)Þ:
(19)
In the presence of change-points Equation (19) becomes
p(rt ¼ 0, εt)
¼
X
rt1
p(rt1, εt1)p(ϵtjμt, σ2t
, νt)(r)(H(rt1)): (20)
Using Equations (19) and (20) it is possible to determine
the probability distribution of the run length conditional on
the sequence of the residual from the initial sample up to
time t, Equation (12). Finally, knowing all the aforementioned
equations it is possible to evaluate Equation (21)
with the maximum a posteriori and obtain the evolution of
the run length
t ¼ argmax
1:t
p(rtjεt): (21)
APPLICATION OF CHANGE-POINT DETECTION
METHODS TO WATER QUALITY DATA
We analyze the performance of the four change-point detection
methods introduced previously. First, we incorporate
contamination events into the measured background data.
Then, we apply the APA to learn the coefficients of the
AR model describing the water quality time series. The
obtained residuals are subsequently used with the changepoint
detection methods to monitor water quality.
Data set
We experiment using four water quality time series, which
have been selected due to these parameters having extensive
use in online water quality monitoring. These data are taken
from the ‘Station C’ data set supplied as part of the Event
Detection System Challenge organized by the US Environmental
Protection Agency (EPA ). All signals are
collected at the same location in an operating water distribution
network with a 2-minute sampling rate. The
measured signals are as follows.
• Chlorine: Chlorine is used in the majority of drinking
water networks as a disinfectant to eliminate microbial
and other contaminants. Typical values are maintained
between 0.5 and 1.0 mg/L.
• Conductivity: Measures the ability of water to transmit an
electrical current and is a measure of the amount of dissolved
solids in the water. Typical values in drinking
water networks range from 50 to 500 μS/cm.
• Total organic carbon (TOC): Gives the amount of organic
carbon dissolved in the water. Organic carbon in water is
generally from decaying naturally occurring organic
matter in the source waters. TOC levels are generally
below 10 mg/L.
• Turbidity: Measures the water clarity and is often subject
to sharp increases due to changes in flow that suspend
sediment within the water. Typical values are near 0.0
with short-lived increases to 5.0 NTU or more being
common.
The background values of these water quality parameters
can be altered by the presence of contaminants
added to the water (see Hall et al. 2007). Therefore, the
objective is to monitor these variables in real-time and
rapidly and accurately detect any abnormal situations.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เรานำเสนอในส่วนนี้ frequentist ที่อัลกอริทึม SPRTCUSUM นอน และ OBCPD ในการFrequentist วิธีเปลี่ยนจุดตรวจFrequentist วิธีขึ้นอยู่กับการทดสอบสมมติฐาน และพวกเขาถูกออกแบบมาเพื่อเป็นสัญญาณแจ้งเตือนเมื่อจุดเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้น เรานำเสนอวิธี frequentist สอง ได้รับจากการทดสอบสมมติฐานของ Wald ใช้ต่อคุณภาพน้ำเวลาชุดตรวจสอบ ได้แก่ SPRT และ CUSUMทดสอบอัตราความน่าเป็นตามลำดับSPRT เป็นสมมติฐานการทดสอบลำดับที่ทดสอบ และช่วยให้กำหนดสมมติฐาน H0 เมื่อเทียบกับทางเลือกระหว่างสมมติฐาน H1 (Wald 1945) เราพิจารณาว่า H0 เป็นสมมติฐานที่สอดคล้องกับการขาดงานการปนเปื้อนและ H1 สมมติฐานในต่อหน้าของปนเปื้อน ถ้าเราสมมติว่า มีอธิบายสมมติฐาน H0 โดยสถิติΘ¼ θ0 และ θ0 สมมติฐาน H1:θ ≠ แล้วทดสอบสถิติคือ ลอการิทึมของอัตราส่วนความน่าเป็นเซนต์ระหว่างสมมุติฐานที่สอง และแสดงเป็นล็อกþ 1 เซนต์เซนต์¼fθ1 ðϵtÞfθ0 ðϵtÞ, (4)ที่ S0 ¼ ðϵtÞ fθ1 0 และล็อก = fθ0 ðϵtÞ มีโอกาสลอการิทึมอัตราส่วนสำหรับส่วนที่เหลือจากที่เวลา t กับ fθ0ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าเป็นสำหรับสมมติฐาน H0 และ fθ1ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าเป็นสำหรับสมมติฐาน H1ที่นี่ เราพิจารณา f ที่เป็นการกระจาย Gaussian ที่SPRT หยุดสามารถ H0 ถ้าข้ามขอบต่ำสุด Aมีอัตราการเกิดข้อผิดพลาด H1 ถ้าข้ามขอบเขตบน B และกับ b มีอัตราข้อผิดพลาด ล่างและขอบเขตบน A และ Bกำหนดโดยล็อก¼b1 ตัวและ B ¼1 bการ: (5)ลักษณะ l เวลาที่เกิดจุดเปลี่ยนแปลงจากการเปลี่ยนแปลงในหมายเซนต์ ในสรุป ถ้าเราพิจารณากฎการตัดสินใจของเราว่า dt และหยุดเวลาของเรามีτ แล้วกำหนด SPRT ที่เป็นdt ¼0 ถ้าเซนต์ A1 ถ้าเซนต์ Bไม่ตัดสินใจถ้า A < เซนต์ < b:8 <: (6)ถ้าตัดสินใจกฎ dt ¼มี 0 คือ ไม่มีความผิดปกติ ในทางกลับกันถ้า dt ¼ 1 มี ความผิดปกติΤ¼ minft:ðdt ¼ 1Þ ∪ ðdt ¼ 0Þg: (7)ทดสอบผลรวมสะสมCUSUM พิจารณาเป็นป้อนลำดับของค่าคงเหลือfϵtgkt¼1 ซึ่งมี fθ เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าเป็น ในที่นี้ศึกษา f ถือว่าเป็นการกระจาย Gaussian ที่Ε1, .. ., ϵl 1 เป็นอิสระ และกระจายเหมือนกันค่าคงเหลือ ด้วยความหนาแน่น fθ0 และ ϵl, .. ., ϵk เป็นอิสระและตัวแปรเหมือนกันกระจายที่มีความหนาแน่น fθ1โดยที่ l คือ เวลาที่จุดเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้น และได้ โดยความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:l ¼ infft:gt h0g, (8)h0 เป็น ขีดจำกัดกำหนดไว้ล่วงหน้า g0 ¼ 0 และ gt ได้โดย:ล็อกþ gt 1 gt ¼fθ1 (ϵt)fθ0 (ϵt) þที่ aþ ¼ max(0, a): (9)Discriminator เหตุการณ์ทวินามเตียงใช้ล้มเหลวทวินามรุ่นรวมค่าคงเหลือผ่านขั้นตอนเวลาที่ต่อเนื่องลงในรายงานของเหตุการณ์ หรือไม่ (McKenna et al. ) แล้วเวลาค่าสัมบูรณ์ของส่วนที่เหลือจากการถูกเปรียบเทียบกับการจำกัด ζ และจัดประเภทเป็นเป็น outlier หรือไม่ ความเป็นไปได้ของการน้ำคุณภาพช่วย (เหตุการณ์) เกิดขึ้นในเวลาt คำนวณเป็นความน่าเป็นสะสมของทวินามกระจายP (Etjrt, W, pf) ¼XNri¼0บี (r W, pf), (10)ซึ่งแต่ละ outlier, r ถือว่าเป็นความล้มเหลวในการหน้าต่างที่ประกอบด้วยขั้นตอนเวลา W และเป็นตัวแทนหมายเลขของการทดลองในแบบทวินาม ฉันเป็นเวลาทันทีและ Nr คือ จำนวนของการทดลอง P(Et) ได้ถูกเปรียบเทียบด้วยความน่าเป็นขีดจำกัด h การตรวจสอบการดำรงอยู่ของเหตุการณ์ ความเป็นไปได้ของความล้มเหลวแต่ละเกิดขึ้นในทุกขั้นตอนเวลาคงที่ pf ในใบสมัครที่นี่ค่าคงเหลือภายในหน้าต่างเคลื่อนที่แทนความยาว SWหมายเลขของขั้นตอนเวลาที่มีข้อมูลมาตรฐาน ได้มาตรฐานก่อนนำไปใช้ มาตรฐานที่การแบ่งส่วนที่เหลือจากการตามมาตรฐานของความแตกต่างภายใน SW.ทฤษฎีวิธีการเปลี่ยนจุดตรวจAdams และแมคเคย์ (), ผู้เขียนพัฒนาเป็นออนไลน์รุ่น OBCPD ที่นี่ OBCPD ช่วยให้เราสามารถตรวจสอบการเวลาที่คุณสมบัติทางสถิติของคุณภาพน้ำชุดเวลาเปลี่ยนเนื่องจากสถานะการปนเปื้อนเหตุการณ์ OBCPD วัตถุประสงค์เป็น ให้ลำดับของค่าคงเหลือจากครั้งที่ 1 ทันทีถึง t, εt ϵ1:t ¼ การทำนายการต่อน้ำคุณภาพส่วนที่เหลือจากp(ϵtþ1jεt) ¼Xrtp (ϵtþ1jrt, ϵ(r)t) p(rtjεt), (11)ด้วยp(rtjεt) ¼1p(εt)Xrt 1p (rtjrt 1) p (ϵtjrt 1, ϵ(r)t) p(rt 1, εt 1): (12)rt แสดงถึง 'ความยาวรัน' ยาวใช้เป็นจำนวนข้อมูลในการ 'รัน' 'ทำงาน' เป็นข้อมูลปัจจุบันกลับไปยังจุดล่าสุดเปลี่ยน- ∈ ϵt ถนนเป็นการd มิติส่วนที่เหลือจากที่เวลา t T ϵ (r) สัญลักษณ์หมายถึง ϵt ค่าคงเหลือที่เกี่ยวข้องกับอาร์รันยาวไปคำนวณความน่าเป็นจุดเปลี่ยน p(ϵtþ1jεt) ให้เราตรวจสอบรายละเอียดเพิ่มเติมสมการ (11) และ (12) ในสมการ (12) เราเห็นว่าน่าเป็นที่คาดการณ์p (ϵtjrt 1, ϵ(r)t) จะแจก t ของนักศึกษากับความน่าเป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดยp (ϵtjμt, σ2t, Νt) ¼Γ (νtþ12)Γ (νt2)1ffiffiffiffiffiffiffiþ pνtπ 11ΝtΕt μtΣt2" #Νtþ12 ,(13)μt ศูนย์ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σt และ νtองศาความเป็นอิสระ ถ้าเราพิจารณาค่าคงเหลือตามการแจกแจงแกมมาปกติ ดังนั้น νt ¼ 2 αtΣ2t¼ βt κt þ 1 = αt κt ที่ปรับปรุงกฎสำหรับศูนย์Μt, αt ความแม่นยำ κt รูปร่าง และ βt ขนาดถูกกำหนดโดยΜtþ1 ¼Κtμt þ ϵtΚt þ 1, (14Þ¼ αt αtþ1 0:5 (15)Κtþ1 ¼ κt þ 1, (16)Βtþ1 ¼ βt þ121 þΚt(ϵt μt) 2Κt þ 1!: (17เราพบที่นี่ว่าเราประเมินในแต่ละขั้นตอนเวลาต่อไปส่วนที่เหลือจากรู้สถิตินี้ถัดไป เรามีความเข้าใจในเรื่องของp (rtjrt 1) เราเห็นว่าเวลาที่จะมีเป็นจุดเปลี่ยนแปลง และความยาวทำงานลดลงเป็นศูนย์rt ¼ 0 หรือไม่มีการเปลี่ยน และยังคงความยาวรันเติบโต rt ¼þ rt 1 1 การกำหนดความเป็นไปได้ใช้ความยาวที่เวลา t มีเงื่อนไขบนความยาวรันครั้งt 1, p (rtjrt 1), เราใช้ 'ฟังก์ชันอันตราย' H. เป็นอันตรายมีกำหนดฟังก์ชัน H เป็นอัตราเหตุการณ์ที่เวลา t ตามเงื่อนไขในการอยู่รอดจนถึงเวลา tpðrtjrt 1Þ ¼Hðrt 1 þ 1Þ ถ้า rt ¼ 0Þ 1 Hðrt 1 1Þ ถ้า rt ¼þ rt 1 10 มิฉะนั้น8 <: (18ที่ HðτÞ เป็นฟังก์ชันอันตรายที่เวลาτ ในกรณีฟังก์ชันอันตรายเป็นค่าคงที่ H(τ) ¼ 1 =λ λอยู่มาตราส่วนเวลาในกรณีจุดเปลี่ยน เราใช้ปริมาณทั้งหมดข้างเพื่อให้ถึงที่p rt ¼ rt 1 þ1, εt ðÞ p ¼ (rt 1, εt 1) p (ϵtjμt, σ2t, Νt) Þ H (rt 1) ð1 (r):(19)ในต่อหน้าของจุดเปลี่ยน เป็นสมการ (19)p (rt ¼ 0, εt)¼Xrt 1p (rt 1, εt 1) p (ϵtjμt, σ2t, Νt)(r) (H (rt 1)): (20)ใช้สมการ (19) และ (20) ก็ได้การแจกแจงความน่าเป็นความยาวรันตามเงื่อนไขในลำดับของส่วนที่เหลือจากจากเริ่มต้นถึงเวลา t สมการ (12) สุดท้าย รู้ทั้งหมดดังกล่าวสมการจะสามารถประเมินสมการ (21)posteriori เป็นสูงสุด และได้รับการวิวัฒนาการของความยาวรันargmax t ¼1:tp(rtjεt): (21)แอพลิเคชันของการเปลี่ยนแปลงจุดตรวจสอบวิธีการข้อมูลคุณภาพน้ำเราวิเคราะห์ประสิทธิภาพของการตรวจพบการเปลี่ยนแปลงสี่จุดวิธีที่แนะนำไว้ก่อนหน้านี้ ครั้งแรก เรารวมเหตุการณ์การปนเปื้อนลงในข้อมูลพื้นหลังวัดจากนั้น เราใช้อาป้าเรียนสัมประสิทธิ์การรุ่น AR ที่อธิบายชุดเวลาคุณภาพน้ำ ที่ค่าคงเหลือที่ได้รับมาใช้กับ changepointวิธีการตรวจสอบเพื่อตรวจสอบคุณภาพน้ำชุดข้อมูลเราทดลองใช้สี่น้ำคุณภาพชุดเวลา ที่แล้วเนื่องจากพารามิเตอร์เหล่านี้มีมากมายใช้ในการตรวจสอบคุณภาพน้ำออนไลน์ ข้อมูลเหล่านี้จะถูกนำจากชุดข้อมูล 'สถานี C' มาเป็นส่วนหนึ่งของเหตุการณ์ตรวจสอบความท้าทายระบบการจัดระเบียบตามเราสิ่งแวดล้อมหน่วยงานป้องกัน (EPA ) มีสัญญาณทั้งหมดรวบรวมที่ตำแหน่งเดียวกันในการปฏิบัติงานน้ำกระจายเครือข่ายที่ มีอัตราการสุ่มตัวอย่าง 2 นาที ที่วัดสัญญาณมีดังนี้•คลอรีน: ใช้คลอรีนส่วนใหญ่ดื่มเครือข่ายน้ำเป็นยาฆ่าเชื้อเพื่อกำจัดจุลินทรีย์และสารปนเปื้อนอื่น ๆ โดยทั่วไปค่าจะยังคงอยู่ระหว่าง 0.5 และ 1.0 มิลลิกรัม/L.•นำ: วัดความสามารถของน้ำในการส่งการกระแสไฟฟ้า และเป็นการวัดจำนวนส่วนยุบของแข็งในน้ำ ค่าปกติในการน้ำเครือข่ายตั้งแต่ 50 ซม. 500 μS•รวมอินทรีย์คาร์บอน (TOC): ให้ยอดของอินทรีย์คาร์บอนละลายในน้ำ เป็นอินทรีย์คาร์บอนในน้ำโดยทั่วไปจากการผุพังตามธรรมชาติเกิดอินทรีย์สำคัญในแหล่งน้ำ ระดับ TOC โดยทั่วไปต่ำกว่า 10 มิลลิกรัม/L.•ความขุ่น: วัดความชัดเจนน้ำ และมักจะเป็นหัวข้อจะคมชัดขึ้นเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงในกระแสที่ระงับตะกอนในน้ำ ค่าปกติอยู่ใกล้ 0.0กับการเพิ่มขึ้นช่วงสั้น ๆ ไป 5.0 NTU กำลังเพิ่มเติมทั่วไปเบื้องหลังค่าของพารามิเตอร์เหล่านี้คุณภาพน้ำสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตามสถานะของสารปนเปื้อนเพิ่มน้ำ (ดูฮอลล์ et al. 2007) ดังนั้น การวัตถุประสงค์คือเพื่อ ตรวจสอบตัวแปรเหล่านี้ในแบบเรียลไทม์ และอย่างรวดเร็ว และถูกต้องตรวจสอบสถานการณ์ผิดปกติใด ๆ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เรานำเสนอในส่วนนี้อัลกอริทึม frequentist, SPRT
และ Cusum เตียงและ OBCPD.
frequentist วิธีการตรวจหาการเปลี่ยนแปลงจุด
วิธี frequentist จะขึ้นอยู่กับการทดสอบสมมติฐานและ
พวกเขาได้รับการออกแบบเพื่อส่งสัญญาณแจ้งเตือนเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงจุด
เกิดขึ้น เรานำเสนอสองวิธี frequentist มา
จากการทดสอบสมมติฐาน Wald ของใช้ที่นี่เพื่อคุณภาพน้ำ
ตรวจสอบเวลาชุดคือ SPRT และ Cusum.
สัดส่วนน่าจะเป็นลำดับทดสอบ
SPRT คือการทดสอบสมมติฐานลำดับที่ทดสอบและช่วยให้
การกำหนดระหว่างสมมติฐาน H0 เมื่อเทียบกับทางเลือก
สมมติฐาน H1 (Wald 1945) เราพิจารณาว่า H0 เป็น
สมมติฐานที่สอดคล้องกับกรณีที่ไม่มีการปนเปื้อน,
และ H1 สมมติฐานในการปรากฏตัวของการปนเปื้อน ถ้า
เราคิดว่าสมมติฐาน H0 อธิบายโดยสถิติ
θ¼θ0และสมมติฐาน H1: θ≠θ0แล้วทดสอบ
สถิติเป็นลอการิทึมของความน่าจะเป็นอัตราส่วนเซนต์ระหว่าง
สองสมมติฐานและจะแสดงเป็น
เซนต์เซนต์¼? ที่ 1 เข้าสู่ระบบ
fθ1ðεtÞ
fθ0ðεtÞ
(4)
ที่ S0 ¼ 0 และเข้าสู่ระบบfθ1ðεtÞ = fθ0ðεtÞเป็นโอกาสลอการิทึม
อัตราส่วนที่เหลือเวลา t มีfθ0
หนาแน่นเป็นฟังก์ชันสำหรับสมมติฐาน H0 และfθ1
ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ฟังก์ชั่นสำหรับสมมติฐาน H1.
ที่นี่เราพิจารณาว่า f เป็นเสียนกระจาย
SPRT หยุดในความโปรดปรานของ H0 ถ้าผูกไว้ที่ต่ำกว่าจะข้าม
กับอัตราความผิดพลาดและ H1 ถ้าขอบเขตบน B ข้าม
กับอัตราความผิดพลาดข ลดลงและขอบเขตบน A และ B
จะถูกกำหนดโดย
¼ล็อก
ข
1?
และ B ¼เข้าสู่ระบบ
1? ข: (5) เวลา l ที่ซึ่งการเปลี่ยนแปลงจุดเกิดขึ้นเป็นลักษณะจากการเปลี่ยนแปลงในการเข้าสู่ระบบเซนต์ โดยสรุปถ้าเราพิจารณาว่ากฎการตัดสินใจของเราเป็น dt และเวลาหยุดของเราคือτแล้ว SPRT ถูกกำหนดให้เป็นdt ¼ 0 ถ้า St? , 1 ถ้า St? B, ไม่มีการตัดสินใจถ้า <St <B: 8 < : (6) ถ้ากฎการตัดสินใจ dt ¼ 0 มีความผิดปกติไม่มีตรงกันข้ามถ้า dt ¼ 1 มีความผิดปกติτ¼ minft: ddt ¼ 1th ∪ดีดีที¼0Þg: (7) การทดสอบผลรวมสะสมCusum พิจารณาเป็น input ลำดับของเหลือfεtgkt ¼1ซึ่งมีฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นfθ ในการนี้ฉศึกษาถือเป็นเสียนกระจายที่ε1, . . εl 1 มีความเป็นอิสระและกระจายเหมือนกันเหลือกับfθ0ความหนาแน่นและεl, . . εkมีความเป็นอิสระตัวแปรและกระจายเหมือนกันมีความหนาแน่นfθ1, ที่ลิตรเป็นเวลาที่เกิดการเปลี่ยนแปลงจุดและให้บริการโดยมีความสัมพันธ์ต่อไปนี้: ลิตร¼ infft: GT? h0g, (8) และ h0 เป็นเกณฑ์ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า g0 ¼ 0 และ GT จะได้รับโดย: ? GT ¼ GT 1 th เข้าสู่ระบบfθ1 (εt) fθ0 (εt) ? ? þ ที่ Ath ¼สูงสุด (0,) (9) เหตุการณ์ทวินาม discriminator เตียงใช้รูปแบบทวินามความล้มเหลวที่จะรวมเหลือกว่าขั้นตอนเวลาติดต่อกันเป็นคำประกาศของเหตุการณ์หรือไม่ (McKenna และคณะ.) . สำหรับแต่ละขั้นตอนเวลาค่าสัมบูรณ์ของที่เหลือถูกเปรียบเทียบกับเกณฑ์ζและจัดเป็นค่าผิดปกติหรือไม่ ความน่าจะเป็นของความผิดปกติที่มีคุณภาพน้ำ (event) การที่เกิดขึ้นในช่วงเวลาทีจะถูกคำนวณเป็นความน่าจะเป็นที่สะสมของทวินามกระจายP (Etjrt, W, pF) ¼ XNr i¼0 ข (R; W, pF), (10) ที่แต่ละขอบเขต วิจัยถือเป็นความล้มเหลวภายในหน้าต่างที่มี W ขั้นตอนเวลาและเป็นตัวแทนของจำนวนของการทดลองในรูปแบบทวินามฉันเป็นครั้งทันทีและ Nr เป็นจำนวนของการทดลอง P ผล (ET) เมื่อเทียบกับเกณฑ์ความน่าจะเป็นชั่วโมงเพื่อตรวจสอบการดำรงอยู่ของเหตุการณ์ น่าจะเป็นของความล้มเหลวของบุคคลที่เกิดขึ้นในขั้นตอนเวลาใด ๆ ได้รับการแก้ไขที่ pF การประยุกต์ใช้ในที่นี่เหลือภายในหน้าต่างการเคลื่อนย้ายของความยาว, SW คิดเป็นจำนวนขั้นตอนเวลาซึ่งข้อมูลที่มีมาตรฐานเป็นมาตรฐานก่อนที่จะใช้ มาตรฐานจะทำได้โดยการหารที่เหลือโดยมาตรฐานของส่วนเบี่ยงเบนภายใน SW. วิธีการแบบเบย์เพื่อตรวจจับการเปลี่ยนจุดในอดัมส์และแมคเคย์ () ผู้เขียนพัฒนาออนไลน์รุ่นของ OBCPD นี่ OBCPD ช่วยให้เราสามารถตรวจสอบเวลาที่คุณสมบัติทางสถิติของคุณภาพน้ำเปลี่ยนแปลงอนุกรมเวลาเพราะการปรากฏตัวของการปนเปื้อนเหตุการณ์ ด้วย OBCPD วัตถุประสงค์คือให้ลำดับของเหลือจากครั้งที่ 1 ทันทีถึง T, εt¼ε1: เสื้อเพื่อทำนายคุณภาพน้ำต่อไปที่เหลือP (εtþ1jεt) ¼ X RT P (εtþ1jrt, ε (R) ที ) P (rtjεt), (11) กับP (rtjεt) ¼ 1 P (εt) X RT 1 P (rtjrt? 1) หน้า (εtjrt? 1, ε (R) ตัน) P (RT? 1, εt? 1): (12) ที่ RT หมายถึง 'เรียกใช้ระยะเวลาใน' ความยาววิ่งเป็นจำนวนของข้อมูลใน 'ทำงาน' และ 'วิ่ง' เป็นข้อมูลปัจจุบันกลับมีการเปลี่ยนแปลงจุดล่าสุด, εt∈ถ เป็นที่ตกค้างงมิติที่เวลา t สัญกรณ์ε (R) ทีแสดงให้เห็นถึงสิ่งตกค้างεtที่เกี่ยวข้องกับระยะเวลาในการทำงานวิจัย ในการคำนวณความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนแปลงต่อจุด (εtþ1jεt) ให้เราตรวจสอบในรายละเอียดมากขึ้นสมการ (11) และ (12) ในสมการที่ (12) เราพิจารณาว่าน่าจะเป็นที่คาดการณ์P (εtjrt? 1, ε (R) ตัน) เป็นเสื้อกระจายของนักศึกษาที่มีความน่าจะเป็นฟังก์ชั่นที่ได้รับจากP (εtjμt, σ2t , νt) ¼ Γ (νtþ1 2) Γ (νt 2) 1 ffiffiffiffiffiffiffi pνtπที่ 1 1 νt εt? μt σt ? 2 "# ? νtþ1 2 ? , (13) ที่μtเป็นศูนย์กลาง, σtส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและνt ระดับของเสรีภาพ. ถ้าเราพิจารณาว่าเหลือตามการกระจายรังสีแกมมาปกติจึงνt¼ 2 αt, σ2t ¼ βtκtþ 1 = αtκtที่กฎการปรับปรุงสำหรับศูนย์μt, αtแม่นยำκtรูปร่างและขนาดβtจะได้รับจากμtþ1¼ κtμtþεt κtþ 1 , (14) αtþ1¼αtþ 0: 5 (15) κtþ1¼κtþ 1 (16) βtþ1¼βtþ 1 2 1 þ κt (? εtμt) 2 κtþ 1 ! : (17) เราแสดงให้เห็นว่าที่นี่วิธีการที่เราประเมินในแต่ละช่วงเวลาขั้นตอนต่อไปที่เหลือ รู้สถิติของหนึ่งก่อนหน้านี้. ต่อไปเราจะให้ข้อมูลเชิงลึกเข้าไปในความมุ่งมั่นของP (rtjrt? 1). เราพิจารณาว่าในแต่ละขั้นตอนมีเวลาทั้งเป็นจุดเปลี่ยนแปลงและระยะเวลาในการทำงานลดลงเป็นศูนย์RT ¼ 0, หรือไม่มีการเปลี่ยนแปลงและระยะเวลาในการทำงานอย่างต่อเนื่องที่จะเติบโต RT ¼ RT? ที่ 1 1. การตรวจสอบความน่าจะเป็นของระยะเวลาในการทำงานที่เวลา t เงื่อนไขในระยะเวลาในการทำงานได้ตลอดเวลา? t ที่ 1, p (rtjrt 1) เราใช้ 'อันตรายจากฟังก์ชั่น' เอชอันตรายH ฟังก์ชั่นมีการกำหนดเป็นอัตราการเกิดที่เวลา t เงื่อนไขการอยู่รอดจนกว่าจะถึงเวลาทีpðrtjrt 1th ¼? Hðrtที่ 1 1th; ถ้า rt ¼ 0 1? Hðrtที่ 1 1th; ถ้า RT ¼ RT ที่ 1 1? 0; มิฉะนั้น8 < : (18) ที่HðτÞเป็นฟังก์ชั่นที่เป็นอันตรายτเวลาในกรณีของเราฟังก์ชั่นอันตรายเป็นค่าคงที่ H (τ) ¼ 1 = λที่λเป็นมาตราส่วนเวลา. ในกรณีที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงจุด เราจะใช้ปริมาณทั้งหมดที่อธิบายไว้ข้างต้นที่จะมาถึงพี RT RT ¼? 1 TH1, εt d TH ¼ P (RT? 1, εt? 1) หน้า (εtjμt, σ2t , νt) (R) D1? H (RT? 1) Þ: (19) ในการปรากฏตัวของจุดเปลี่ยนสมการ (19) กลายเป็นP (RT ¼ 0, εt) ¼ X ? RT 1 ? P (RT 1 εt 1) หน้า (εtjμt, σ2t , νt) (R) (H (RT 1)?): (20) โดยใช้สมการ (19) และ (20) ก็เป็นไปได้ที่จะตรวจสอบการกระจายความน่าจะเป็นของความยาววิ่งเงื่อนไขในลำดับของที่เหลือจากตัวอย่างเริ่มต้นขึ้นอยู่กับเวลา T, สมการ (12) สุดท้ายรู้ทั้งหมดดังกล่าวข้างต้นสมการก็เป็นไปได้ในการประเมินสมการ (21) กับสูงสุด posteriori และได้รับการวิวัฒนาการของระยะเวลาในการทำงานargmax ¼ตัน1: ทีพี (rtjεt): (21) การประยุกต์ใช้ในการตรวจสอบจุดเปลี่ยนวิธีการ น้ำข้อมูลที่มีคุณภาพเราวิเคราะห์ประสิทธิภาพการทำงานของสี่การตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงจุดวิธีการแนะนำให้รู้จักก่อนหน้านี้ ครั้งแรกที่เรารวมเหตุการณ์การปนเปื้อนเป็นข้อมูลพื้นหลังวัด. จากนั้นเราใช้ APA จะเรียนรู้ค่าสัมประสิทธิ์ของรุ่น AR อธิบายอนุกรมเวลาที่มีคุณภาพน้ำ เหลือที่ได้รับจะถูกนำมาใช้กับ changepoint วิธีการตรวจสอบเพื่อตรวจสอบคุณภาพน้ำ. ข้อมูลการตั้งค่าเราทดสอบโดยใช้อนุกรมเวลาที่มีคุณภาพน้ำที่สี่ซึ่งได้รับการคัดเลือกให้เหมาะสมกับพารามิเตอร์เหล่านี้มีความกว้างขวางใช้ในการตรวจสอบคุณภาพน้ำออนไลน์ ข้อมูลเหล่านี้จะถูกนำมาจากข้อมูลชุด 'สถานี C' ที่ให้มาเป็นส่วนหนึ่งของกิจกรรมที่ท้าทายระบบการตรวจสอบที่จัดโดยสิ่งแวดล้อมของสหรัฐหน่วยงานคุ้มครอง (EPA ) สัญญาณทั้งหมดจะถูกเก็บในสถานที่เดียวกันในการกระจายน้ำในการดำเนินงานเครือข่ายที่มีอัตราการสุ่มตัวอย่าง 2 นาที สัญญาณวัดมีดังนี้. •คลอรีน: คลอรีนถูกนำมาใช้ในส่วนของการดื่มน้ำเป็นเครือข่ายยาฆ่าเชื้อที่จะกำจัดเชื้อจุลินทรีย์และสารปนเปื้อนอื่น ๆ ค่าโดยทั่วไปจะรักษาระหว่าง 0.5 และ 1.0 มิลลิกรัม / ลิตร. •การนำไฟฟ้า: มาตรการความสามารถของน้ำที่จะส่งกระแสไฟฟ้าและเป็นตัวชี้วัดของจำนวนเงินที่ละลายของแข็งในน้ำ ค่าโดยทั่วไปในการดื่มเครือข่ายน้ำในช่วง 50-500 ไมโครซีเมน / cm. •อินทรีย์คาร์บอนรวม (TOC): ให้ปริมาณของอินทรีย์คาร์บอนละลายในน้ำ คาร์บอนอินทรีย์ในน้ำเป็นสิ่งที่โดยทั่วไปจากการสลายอินทรีย์ธรรมชาติที่เกิดขึ้นไม่ว่าในแหล่งน้ำ ระดับ TOC โดยทั่วไปมักจะต่ำกว่า 10 มิลลิกรัม / ลิตร. •ความขุ่น: มาตรการความชัดเจนน้ำและมักจะเป็นเรื่องที่จะเพิ่มความคมชัดเนื่องจากมีการเปลี่ยนแปลงในการไหลที่ระงับตะกอนภายในน้ำ ค่าทั่วไปอยู่ใกล้ 0.0 กับการเพิ่มขึ้นสั้นถึง 5.0 NTU หรือมากกว่าเป็นเรื่องธรรมดา. ค่าพื้นหลังของคุณภาพน้ำพารามิเตอร์เหล่านี้สามารถเปลี่ยนแปลงได้โดยการปรากฏตัวของสารปนเปื้อนเข้ามาอยู่ในน้ำ (ดูฮอลล์ et al. 2007) ดังนั้นวัตถุประสงค์คือการตรวจสอบตัวแปรเหล่านี้ในเวลาจริงและอย่างรวดเร็วและถูกต้องตรวจสอบสถานการณ์ที่ผิดปกติใด ๆ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เราอยู่ในส่วนนี้ frequentist ขั้นตอนวิธีและ SPRT
cusum เตียงและ obcpd .
frequentist แนวทางเปลี่ยนจุดตรวจจับ
frequentist วิธีการจะขึ้นอยู่กับการทดสอบสมมติฐานและ
พวกเขาถูกออกแบบมาเพื่อส่งสัญญาณเตือนเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงจุด
เกิดขึ้น เรานำเสนอสอง frequentist วิธีการได้มา
จากเดินเป็น การทดสอบสมมติฐาน ใช้ที่นี่
คุณภาพน้ำการตรวจสอบอนุกรมเวลา คือ และ cusum SPRT .

แบบทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็น SPRT เป็นลำดับการทดสอบสมมติฐานที่ทดสอบ และให้สมมุติฐาน H0
ความมุ่งมั่นระหว่างเทียบกับ H1 สมมติฐานทางเลือก
( เดินถึง ) เราพิจารณาว่าสอดคล้องกับสมมุติฐาน H0 เป็น

ไม่มีมลภาวะ และ H1 สมมติฐานในการแสดงตนของการปนเปื้อน ถ้า
เราคิดว่าสมมติฐาน H0 อธิบายตามสถิติ
θ¼θ 0 และสมมติฐาน H1 : θ≠θ 0 แล้วทดสอบ
สถิติเป็นลอการิทึมของอัตราส่วนระหว่างโอกาสเซนต์
2 สมมติฐาน และแสดงเป็น
เซนต์¼ ST  1 þเข้าสู่ระบบ
F θ 1 ðϵ T Þ
0 F θðϵ T
Þ ( 4 )
0 F ¼ที่ Name และเข้าสู่ระบบθ 1 ðϵ T Þ = F θ 0 ðϵ T Þเป็นลอการิทึมความน่าจะเป็น
อัตราส่วนสำหรับส่วนที่เหลือที่เวลา t , F θ 0
ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นสำหรับสมมติฐาน H0 และ F θ 1
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นสมมติฐาน H1 .
ที่นี่ เราพิจารณาว่า F คือ การแจกแจงแบบปกติ .
SPRT หยุดในความโปรดปรานของ H0 ถ้าขอบเขตล่างคือข้าม
ที่มีอัตราความผิดพลาด และ H1 ถ้าบนผูกพัน คือข้าม
กับข้อผิดพลาดคะแนน 2 . ขอบเขตล่างและบน A และ B
ถูกกำหนดโดยการ¼เข้าสู่ระบบ
B
1  เป็น
b ¼เข้าสู่ระบบ 

1 BA : ( 5 )

เวลาผมที่เปลี่ยนจุดเกิดเป็นลักษณะ
โดยเปลี่ยนในเซนต์ เครื่องหมาย สรุปแล้ว ถ้าเราพิจารณาว่าเป็นกฎการตัดสินใจของเรา

เป็น DT และเวลาหยุดτแล้ว SPRT หมายถึง¼
0
DT ถ้าเซนต์  ,
1 ถ้าเซนต์  B ,
ไม่มีการตัดสินใจถ้า < เซนต์ < b :
8 <
: ( 6 )
ถ้า DT กฎการตัดสินใจ¼ 0 ไม่มีสิ่งผิดปกติ ในทางกลับกัน
ถ้า DT ¼ 1 มีมิติ
τ¼ minft :ð DT ¼ 1 Þ∪ð DT ¼ 0 Þ g : ( 7 )

cusum ทดสอบผลรวมสะสมพิจารณาเป็นข้อมูลลำดับของค่า

1 F ϵ tgkt ¼ซึ่งมีฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น f θ . ในการศึกษานี้
F เป็นหน้าแดง แล้ว
ϵ 1 . . . . . ϵผม  1 เป็นอิสระและกระจายเหมือนกันค่า
0 F θที่มีความหนาแน่น และϵ L . . . . . ϵ
K เป็นอิสระและการกระจายเหมือนกัน ตัวแปรมีความหนาแน่น F θ 1
ที่ผมคือเวลาที่จุดการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นและ
โดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้ :
L ¼ infft : GT  h0g ( 8 ) และเป็นเกณฑ์ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า
H0 G0 ¼ , 0 และ GT ให้โดย :
¼จีที  GT 1 þเข้าสู่ระบบ
F θ 1 ( ϵ t )
0 F θ ( ϵ t )


  þที่þ¼ max ( 0 ) : ( 9 )

แบบเหตุการณ์ Discriminator เตียงใช้รูปแบบความล้มเหลวรวม
การแจกแจงทวินามซึ่งผ่านขั้นตอนเวลาติดต่อกันในคำประกาศของ
เหตุการณ์หรือไม่ ( McKenna et al .  ) แต่ละครั้งขั้นตอน
ค่าสัมบูรณ์ของตกค้างเมื่อเทียบกับเกณฑ์ζ
, , และแบ่งเป็น ค่า หรือ ไม่ ความน่าจะเป็น
คุณภาพของน้ำปกติ ( เหตุการณ์ ) ที่เกิดขึ้นในเวลา
t คำนวณความน่าจะเป็นของการแจกแจงทวินาม โดยสะสม
จำหน่าย
p ( etjrt , W , PF ) ¼
0

ผม¼ xnrB ( R ; W , PF ) , ( 10 )
ซึ่งแต่ละค่า R จะถือเป็นความล้มเหลวภายในหน้าต่างที่มีเวลา
w
ขั้นตอน และเป็นตัวแทนของตัวเลขของการทดลองในแบบจำลองทวินาม ผมมีเวลาและทันที
NR คือจำนวนของการทดลอง ส่งผลให้ P ( ET ) เมื่อเปรียบเทียบกับเกณฑ์ความน่าจะเป็น

, H , เพื่อตรวจสอบการดำรงอยู่ของเหตุการณ์ ความเป็นไปได้ของความล้มเหลวแต่ละ
เกิดขึ้นในเวลาใด ๆขั้นตอนที่ pf . ในโปรแกรมนี้
ความคลาดเคลื่อนในการย้ายหน้าต่างของความยาว , SW , คิด
จํานวนขั้นตอนเวลาที่ข้อมูล
มาตรฐาน , มีมาตรฐานก่อนที่จะใช้ มาตรฐาน
ได้โดยแบ่งที่เหลือโดยใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ภายใน SW .
แบบเบย์วิธีการเปลี่ยนจุดตรวจจับ
Adams &แม็คเคย์ (  )ผู้เขียนพัฒนาออนไลน์
รุ่น obcpd . ที่นี่ obcpd ช่วยให้เราตรวจสอบ
เวลาที่ใช้คุณสมบัติของน้ำที่มีคุณภาพ
เวลาชุดเปลี่ยนเพราะการแสดงตนของเหตุการณ์การปนเปื้อน

กับ obcpd วัตถุประสงค์คือ ให้ลำดับของค่าคลาดเคลื่อนจากเวลาทันที
1 ขึ้น T T ¼εϵ 1 : T , ทำนายคุณภาพน้ำต่อไป

3 P ( ϵ T þ 1j ε T ) ¼
x
6
p ( ϵ T þ 1jrt ϵ ( R , )
t ) P ( rtj ε T ) , ( 11 )
กับ
p ( rtj ε¼
1
t ) P ( ε t )
x
RT  1
p ( rtjrt  1 ) P ( ϵ tjrt  1 , ϵ ( R )
t ) P ( RT  1 , ε T  1 ) : ( 12 )
ที่ RT หมายถึงความยาว ' ' วิ่ง วิ่งยาว
จำนวนข้อมูลใน ' วิ่ง ' และ ' วิ่ง ' เป็นข้อมูลปัจจุบัน
กลับถึงจุดเปลี่ยนล่าสุด , ϵ T ∈ RD เป็น
d-dimensional ตกค้างในเวลาที หมายเหตุϵ ( R ) T
T ϵแสดงความผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับความยาว .

คำนวณความน่าจะเป็นของเปลี่ยนจุด P ( ϵ T þ 1j T
ε ) ให้เราตรวจสอบในสมการรายละเอียดเพิ่มเติม ( 11 ) และ ( 12 ) ใน
สมการ ( 12 ) เราพิจารณาที่ทำนายความน่าจะเป็น
p ( ϵ tjrt  1 , ϵ ( R )
T ) เป็นนักเรียนทีด้วยฟังก์ชันความน่าจะเป็น

ให้ P ( ϵ TJ μ T , σ 2t
, ν T
T ) ¼Γ ( νþ 1
2 )
Γ ( ν t
2 )
1
ffiffiffiffiffiffiffi
P ν T π 1 þ
1
ν T
T T
ϵ  μσ T
  2


" #  ν T þ 1
2
 
,

( 13 )ที่μ T คือ ศูนย์ σ T ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และν T
องศาของอิสรภาพ ถ้าเราพิจารณาว่า ความคลาดเคลื่อนตาม
การแจกแจงแกมมาปกติ ดังนั้นν T ¼ 2 α T
T
σ 2t ¼บีตาκ T þ 1 = α T T κที่ปรับปรุงกฎสำหรับศูนย์μ T
T , ความแม่นยำα รูปร่างκ T และขนาดบีตา T ได้รับการμ T
T
þ 1 ¼κμ T T
T þϵκþ 1
( 14 ) α T
T þ 1 ¼αþ 0:5 ( 15 ) κ T
T þ 1 ¼κþ ( 16 )
1บีตา T þ 1 ¼บีตา T þ
1
2
1 t ( T
κþϵ  μ T
T ) 2 κþ 1
! : ( 17 )

เราพบที่นี่ว่าเราประเมินในแต่ละขั้นตอนเวลา
ต่อไปที่เหลือทราบสถิติเก่า . .
ต่อไป เราจะให้ข้อมูลเชิงลึกในการหา
p ( rtjrt  1 ) เราพิจารณาว่าในแต่ละครั้งที่มีขั้นตอนเหมือนกัน
คือเปลี่ยนจุดและความยาวลดลง 0
RT ¼ 0 หรือไม่มีการเปลี่ยนแปลงและความยาวยังคง
เติบโต¼ RT RT  1 þ 1 เพื่อตรวจสอบความเป็นไปได้ของ
ความยาวที่เวลา t เงื่อนไขในการเรียกใช้ความยาวที่เวลา t 
1 P ( rtjrt  1 ) เราใช้ฟังก์ชัน ' H ' ภัยอันตราย
ฟังก์ชัน H หมายถึงเหตุการณ์ที่เวลา t เงื่อนไขอัตรารอดชีวิตจนถึงเวลา t

p ð rtjrt  1 Þ¼
h ð RT  1 þ 1 Þ ; ถ้า RT ¼ 0
1  H ð RT  1 þ 1 Þ ถ้า¼ RT RT  1 þ 1
0
; มิฉะนั้น 8 <
: ( 18 )
h ðτÞอันตรายที่เป็นฟังก์ชันที่τครั้งในกรณีของเรา
ฟังก์ชัน ภัยคือคงที่ที่ H ( τ ) ¼ 1 = λที่λเป็น

ระดับเวลา ในกรณีที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงจุด เราใช้ปริมาณทั้งหมดที่อธิบายไว้ข้างต้น ที่จะมาถึง

p RT RT ¼  1 þ 1 , εðÞ¼ P ( t RT  1 , ε T  1 ) P ( ϵ TJ μσ 2t T
T ν ) ( R ) ð 1  H ( RT  1 ) Þ :

( 19 ) ในสถานะของการเปลี่ยนแปลงจุดสมการ ( 19 ) กลายเป็น
p ( RT ¼ 0 ε t )
¼
x
1 P (
 RT RT  1 , ε T  1 ) P ( ϵ TJ μσ 2t T
T ν ) ( R ) ( H ( RT  1 ( 20 )
: ) )โดยใช้สมการ ( 19 ) และ ( 20 ) มันเป็นไปได้ที่จะหาการแจกแจงความน่าจะเป็นของ

ความยาวขึ้นอยู่กับลำดับของที่เหลือจากการตัวอย่างขึ้น

เวลา t สมการ ( 12 ) ในที่สุดก็รู้ว่าทั้งหมดดังกล่าว
สมการมันเป็นไปได้ที่จะหาสมการ ( 21 )
กับสูงสุดจากผลไปสู่เหตุและได้รับการวิวัฒนาการของ

T ¼ความยาว argmax
1 t
p ( rtj ε T )
( 21 ) :การประยุกต์ใช้วิธีการตรวจจับข้อมูลคุณภาพน้ำ

change-point เราวิเคราะห์ผลการดำเนินงานของสี่เปลี่ยนจุดตรวจจับ
วิธีการแนะนำก่อนหน้านี้ ก่อนอื่น เรารวม
เหตุการณ์การปนเปื้อนเข้าไปในวัด ประวัติข้อมูล
แล้วเราใช้ EPA เพื่อเรียนรู้ค่าสัมประสิทธิ์ของแบบจำลองคุณภาพน้ำ
AR อธิบายอนุกรมเวลา .
ได้ซึ่งต่อมาใช้กับวิธีการตรวจสอบเพื่อตรวจสอบคุณภาพน้ำ changepoint
.

เราทดลองใช้ 4 ชุดข้อมูลคุณภาพน้ำอนุกรมเวลาซึ่ง
ได้รับเลือกเนื่องจาก พารามิเตอร์เหล่านี้มีอย่างละเอียด
ใช้ในออนไลน์การติดตามตรวจสอบคุณภาพน้ำ . ข้อมูลเหล่านี้ได้มาจากสถานี C '
' ชุดข้อมูลที่จัดเป็นส่วนหนึ่งของเหตุการณ์
ระบบตรวจจับความท้าทายจัดโดยหน่วยงานคุ้มครองสิ่งแวดล้อม ( EPA 
เรา ) สัญญาณทั้งหมดถูก
เก็บ ณสถานที่เดียวกันในการดำเนินงานการกระจายเครือข่ายน้ำด้วย
2-minute ตัวอย่างอัตรา
วัดสัญญาณมีดังนี้
- คลอรีน : คลอรีนที่ใช้ในส่วนใหญ่ของเครือข่ายน้ำดื่ม
เป็นยาฆ่าเชื้อกำจัดจุลินทรีย์
และสารปนเปื้อนอื่น ๆค่าปกติจะรักษา
ระหว่าง 0.5 และ 1.0 มก. / ล.
- g : มาตรการความสามารถของน้ำที่จะส่งการ
กระแสไฟฟ้า และมีการวัดปริมาณที่ละลาย
ของแข็งในน้ำ ค่าปกติในการดื่มน้ำจาก
ช่วงเครือข่าย 50 ถึง 500 μ S / cm
- อินทรีย์คาร์บอนทั้งหมด ( TOC ) ให้ปริมาณอินทรีย์คาร์บอน
ละลายในน้ำ อินทรีย์คาร์บอนในน้ำ
โดยทั่วไปจากสลายตามธรรมชาติอินทรีย์
ไม่ว่าในแหล่งน้ำ ข้อมูลระดับโดยทั่วไป

ด้านล่างมก. / ล. - 10 : วัดความขุ่นน้ำชัดเจนและมักจะเป็นเรื่อง
เพิ่มคม เนื่องจากมีการเปลี่ยนแปลงในการไหลที่ระงับ
ตะกอนในน้ำ ค่าปกติจะใกล้ 0.0
กับช่วงสั้น ๆเพิ่มขึ้น 5.0 NTU หรือมากกว่าถูก

เหมือนกันค่าพื้นหลังของเหล่านี้คุณภาพน้ำพารามิเตอร์
ที่สามารถแก้ไขได้โดยการแสดงตนของสารปนเปื้อน
เพิ่มน้ำ ( ดู Hall et al . 2007 ) ดังนั้น วัตถุประสงค์คือเพื่อตรวจสอบตัวแปรเหล่านี้

อย่างรวดเร็วและถูกต้องในเวลาจริงและตรวจสอบสถานการณ์ผิดปกติ