Ceva's Theorem(by Polymath) This pa

Ceva's Theorem

(by Polymath) This page is part of the Advanced High School Math Project.

For most of the Geometry proofs on this site, I hope to show proofs that are considerably easier than those on most other sites. This one is an exception, though. This proof is just spiffed up version of the one on this site, which is already pretty good. But any series of posts on advanced geometry absolutely has to include a proof of Ceva's theorem—it's just too important to leave out. So I'm going to include this proof here.

If you draw a segment from one vertex of a triangle to a point on the opposite side*, that segment is called a cevian (pronounced "chavian" to rhyme with "avian"). They are named after Giovanni Ceva, a 17th century mathematician, who studied them and, obviously, came up with the theorem we're proving. If you draw a cevian from each vertex of a triangle, of course, chances are pretty slim that all three will concur, which a fancy way of saying that they all run through the same point. The point of Ceva's theorem is that it provides a relatively simple calculation (using ratios) you can do that will tell you whether or not the three cevians really do concur. The theorem actually works in two directions: if the calculation holds then the segments concur, and if the segments concur then the calculation holds. We'll prove the second one first, right after two simple preparatory facts.

The first fact is about ratios. If you know two ratios are equal (we'll call them k in the first equation below), then subtracting their numerators and subtracting their denominators gives you a new ratio that's also equal to the first two.

We start with

Ratio1
which easily turns into

Ratio2
and then the ratio we're constructing by subtracting clearly also equals k.

Ratio3

We'll see how that's useful below.

The other fact is a geometric one about area. It is well-known, but important to the proof, so I'll quickly state it here. It says that when a cevian divides a triangle, the areas of the two resulting triangles stand in the same ratio as the two parts of the side the cevian is drawn to. In other words, in the diagram

Lemma

the ratio (x:y) equals the ratio (area of ABT:area of CBT). This is because they have the same height (though it falls inside one triangle and outside the other); simply using the formula for the area of the triangles makes it clear why the ratio of the areas is equal to (x:y).

Once you know those two facts, Ceva's theorem isn't all that hard to prove. The basic diagram is below.

Main

We're supposing that the three cevians intersect at a single point P. Note that the area theorem from above applies twice here for the ratio BX:XC. It applies to the light-colored triangles BXP and CXP, and it applies to the combined blue and combined green triangles BXA and CXA. In other words,

Area_ratio_1

This is exactly the ratio situation discussed in the first of our preliminary facts. The two area ratios are the ones we'll subtract, and we showed above that the result must be equal to the original ratio, so that

Area_ratio2

By exactly the same reasoning, we get

Area_ratio_3_2

And finally, we put those last three ratios together into one calculation. You'll notice that each triangle's area appears once in a numerator and once in a denominator. So we get a perfect result if we multiply those ratios:

Final_equation

This is the main equation for Ceva's theorem. One way to remember it is to think about walking around the triangle. Pick any vertex to start (I chose B), and walk around in either direction (I chose counter-clockwise). Insert each segment into the ratios as you come to it, and then they'll be in the right place.

As a matter of logic, it isn't true that a theorem implies its own converse. Sometimes, though, you can use a theorem to prove its own converse, and this is one of those times. That is, now that we know that concurrent cevians imply that the above product equals 1, we can prove that the product equaling 1 also implies that the cevians concur.

Suppose you are given segments BY and CZ in the picture above. You're told that a cevian from A lands on segment BC at point N, and that the relevant product using that cevian equals 1, even though you don't know whether that cevian passes through P where the other two intersect. That is, suppose

Converse_equation

The cevian that does go through P clearly lands at X, and the first part of the theorem therefore says that the product for point AX also equals 1. Comparing the two equations makes it obvious that BX/XC and BN/NC must be the same ratio. Since only one point on segment BC can create that ratio, we have to conclude that X and N are the same point, which means our hypothetical segment AN must really be AX, which goes through P. And that's what we wanted to prove.

Thus, Ceva's theorem states that three cevians of a triangle concur if and only if the ratios of the segment lengths they crea

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบทของเซวา(โดย Polymath) หน้านี้เป็นส่วนหนึ่งของโครงการคณิตศาสตร์มัธยมขั้นสูงส่วนใหญ่หลักฐานเรขาคณิตบนเว็บไซต์นี้ ฉันหวังว่าการแสดงหลักฐานที่ง่ายขึ้นมากที่สุดเว็บไซต์อื่น ๆ หนึ่งนี้เป็นข้อยกเว้น แม้ว่า หลักฐานนี้เป็นเพียง spiffed ขึ้นรุ่นหนึ่งบนเว็บไซต์นี้ ซึ่งเป็นแล้วสวยดี แต่ชุดของโพสต์บนเรขาคณิตขั้นสูงอย่างที่มีการรวมหลักฐานทฤษฎีบทของเซวา — มันเป็นสิ่งสำคัญเกินไปออกจากกัน ดังนั้น ผมจะรวมหลักฐานนี้ได้ที่นี่ถ้าคุณวาดเซ็กเมนต์จากหนึ่งจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมไปยังจุดบนด้านตรงข้าม * เซ็กเมนต์นั้นจะเรียกว่า cevian (ออกเสียง "chavian" สัมผัสกับ "นก") พวกเขาจะมีชื่อ Giovanni Ceva คริสต์ศตวรรษที่ 17 นักคณิตศาสตร์ ที่ศึกษาพวกเขา และ แน่นอน มากับทฤษฎีบทที่เรากำลังพิสูจน์ ถ้าคุณวาด cevian เป็นจากแต่ละจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม แน่นอน โอกาสสวยบางที่ทั้งสามจะเห็นด้วย ซึ่งทางแฟนซีของบอกว่า พวกเขาทั้งหมดวิ่งผ่านจุดเดียวกัน ทฤษฎีบทของ Ceva จุดคือ มันให้การคำนวณที่ค่อนข้างง่าย (ใช้อัตราส่วน) จะบอกหรือไม่ cevians สามจริง ๆ เห็นด้วย ทฤษฎีบทใช้งานได้จริงในสองทิศทาง: ถ้ามีการคำนวณ แล้วเห็นเซ็กเมนต์ และถ้าเห็นเซ็กเมนต์ จากนั้นการคำนวณถือ เราจะพิสูจน์สองครั้งแรก หลังจากเตรียมง่าย ๆ สองข้อเท็จจริงความจริงแรกเป็นเรื่องเกี่ยวกับอัตราส่วน ถ้าคุณทราบว่า อัตราส่วนสอง เท่า (เราจะเรียกว่า k ในสมการแรกด้านล่าง), แล้วลบ numerators ของพวกเขา และลบ denominators ของพวกเขา ให้คุณอัตราส่วนใหม่ที่เท่ากับสองคนแรกเราเริ่มต้นด้วยRatio1 ซึ่งกลายเป็นง่ายRatio2 แล้ว อัตราส่วนเราสร้าง โดยการลบอย่างชัดเจนยังเท่ากับ kRatio3เราจะเห็นวิธีที่มีประโยชน์ด้านล่างความจริงเป็นหนึ่งเกี่ยวกับพื้นที่รูปทรงเรขาคณิต ก็รู้จัก แต่สิ่งสำคัญที่จะพิสูจน์ ดังนั้นฉันได้อย่างรวดเร็วจะรัฐมันนี่ กล่าวว่า เมื่อ cevian แบ่งรูปสามเหลี่ยม พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมผลสองเด่นในอัตราส่วนเดียวกันเป็นสองส่วนด้าน cevian มีลากไป ในคำอื่น ๆ ในไดอะแกรมหน่วยการอัตราส่วน (x: y) เท่ากับอัตราส่วน (พื้นที่ของ ABT:area ของ CBT) ทั้งนี้เนื่องจากพวกเขามีความสูงเดียวกัน (แต่ตรงสามเหลี่ยมหนึ่ง และอื่น ๆ); เพียงแค่ใช้สูตรหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทำให้ชัดเจนว่าทำไมอัตราส่วนของพื้นที่จะเท่ากับ (x: y)เมื่อคุณรู้ข้อสอง ทฤษฎีบทของเซวาไม่ยากที่จะพิสูจน์ ไดอะแกรมพื้นฐานอยู่ด้านล่างหลักเรากำลังถ้าว่า cevians สามตัดที่จุดเดียว P. ทราบว่าทฤษฎีบทพื้นที่จากด้านบนกับสองที่นี่สำหรับอัตราส่วน BX:XC ใช้ได้กับรูปสามเหลี่ยมสีแสง BXP และ CXP และใช้การรวมสีน้ำเงิน และรวมสีเขียวรูปสามเหลี่ยม BXA และ CXA ในคำอื่น ๆArea_ratio_1ตรงสถานการณ์อัตราส่วนที่กล่าวถึงในครั้งแรกของข้อเท็จจริงเบื้องต้นของเราอยู่ อัตราส่วนพื้นที่ที่สองก็คือเราจะลบ และเราแสดงให้เห็นข้างต้นว่า ผลต้องเท่ากับอัตราส่วนเดิม เพื่อให้Area_ratio2โดยตรงให้เหตุผลเดียวกัน เราได้รับArea_ratio_3_2และในที่สุด เราใส่อัตราส่วนสามเหล่ากันในหนึ่งการคำนวณ คุณจะสังเกตเห็นว่า พื้นที่ของสามเหลี่ยมแต่ละปรากฏครั้งเดียว ในการเศษ และเมื่อตัวหาร เพื่อให้ เราได้รับผลสมบูรณ์ถ้าเราคูณอัตราส่วนเหล่านั้น:Final_equationนี้เป็นสมการหลักการทฤษฎีบทของเซวา วิธีหนึ่งที่จำได้คือการ คิดเกี่ยวกับเดินสามเหลี่ยม เลือกจุดยอดใด ๆ จะเริ่มต้น (ผมเลือก B), และเดินไปรอบ ๆ ในทิศทางใด (เลือกทวนเข็มนาฬิกา) ใส่แต่ละส่วนในอัตราส่วนเป็นไป แล้ว พวกเขาจะในเป็นเรื่องของตรรกะ มันไม่เป็นความจริงว่า ทฤษฎีบทหมายถึงการสนทนาของตนเอง บางครั้ง แต่ คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทเพื่อพิสูจน์ตนเองสนทนา และนี้เป็นหนึ่งในเวลานั้น นั่นคือ ที่เราทราบว่า cevians พร้อมกันหมายความว่า ผลิตภัณฑ์ดังกล่าวข้างต้นเท่ากับ 1 เราสามารถพิสูจน์ว่า ผลิตภัณฑ์เดือน 1 ยังหมายถึง cevians เห็นสมมติว่าคุณจะได้รับส่วน BY และ CZ ในภาพข้างบน คุณกำลังบอกว่า cevian จาก A ที่ดินในส่วนที่ BC ที่จุด N และผลิตภัณฑ์ที่เกี่ยวข้องที่ใช้ cevian ที่ค่าเท่ากับ 1 แม้ว่าคุณไม่ทราบว่า cevian ที่ผ่าน P ที่ตัดอีกสอง สมมติว่า คือConverse_equationCevian ที่ไปถึง P ชัดเจนที่ดินที่ X และส่วนแรกของทฤษฎีบทดังกล่าวว่า ผลิตภัณฑ์สำหรับจุด AX ยังเท่ากับ 1 เปรียบเทียบสองสมการจึงชัดเจนว่า BX XC และพัน ล้าน/NC ต้องเป็นอัตราส่วนเดียวกัน เพียงจุดเดียวบนส่วน BC สามารถสร้างอัตรานั้น เราก็จะสรุปว่า X และ N เป็นจุดเดียวกัน ซึ่งหมายความว่า ส่วนของเราสมมุติ AN จริง ๆ ต้อง AX ซึ่งผ่าน P. และนั่นคือสิ่งที่เราต้องการพิสูจน์ดังนั้น ทฤษฎีบทของเซวาแจ้งว่า cevians สามของรูปสามเหลี่ยมที่เห็นถ้า และถ้าอัตราส่วนของความยาวส่วนพวกเขา crea

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

CEVA ทฤษฎีบท

(โดยพหูสูต) หน้านี้เป็นส่วนหนึ่งของโครงการโรงเรียนคณิตศาสตร์ขั้นสูง.

สำหรับส่วนมากของการพิสูจน์เรขาคณิตในเว็บไซต์นี้ผมหวังว่าจะแสดงหลักฐานพิสูจน์ว่ามีมากง่ายกว่าผู้ที่อยู่ในเว็บไซต์อื่น ๆ มากที่สุด อันนี้เป็นข้อยกเว้นว่า หลักฐานนี้จะ spiffed ขึ้นเพียงรุ่นหนึ่งบนเว็บไซต์นี้ที่มีอยู่แล้วสวยดี แต่ชุดของการโพสต์ในรูปทรงเรขาคณิตที่ทันสมัยใด ๆ อย่างมีการรวมหลักฐานการของ CEVA ทฤษฎีบทมันเป็นเพียงสิ่งสำคัญมากเกินไปที่จะปล่อยออกมา ดังนั้นฉันจะรวมถึงหลักฐานที่นี่.

ถ้าคุณวาดส่วนหนึ่งจากจุดสุดยอดของรูปสามเหลี่ยมไปยังจุดบนฝั่งตรงข้าม * เป็นส่วนที่เรียกว่า cevian (ออกเสียง "chavian" เพื่อคล้องจองกับ "นก") พวกเขาได้รับการตั้งชื่อตามจิโอวานนี่เซวานักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 17 ผู้ที่ศึกษาพวกเขาและเห็นได้ชัดขึ้นมาด้วยทฤษฎีบทที่เรากำลังพิสูจน์ ถ้าคุณวาด cevian จากจุดสุดยอดของสามเหลี่ยมแต่ละแน่นอนโอกาสที่สวยบางที่ทั้งสามจะเห็นพ้องซึ่งเป็นวิธีที่จินตนาการของบอกว่าพวกเขาทั้งหมดวิ่งผ่านจุดเดียวกัน จุดทฤษฎีบทของเซวาก็คือว่ามันมีการคำนวณที่ค่อนข้างง่าย (โดยใช้อัตราส่วน) คุณสามารถทำอะไรที่จะบอกคุณว่าจริงหรือไม่สาม cevians จริงๆไม่เห็นพ้อง ทฤษฎีบทใช้งานได้จริงในสองทิศทาง: หากคำนวณแล้วถือกลุ่มเห็นด้วยและถ้ากลุ่มเห็นพ้องแล้วคำนวณถือ เราจะพิสูจน์คนที่สองเป็นครั้งแรกหลังจากที่สองข้อเท็จจริงเตรียมอุดมศึกษา Simple.

ความจริงครั้งแรกเป็นเรื่องเกี่ยวกับอัตราส่วน ถ้าคุณรู้ว่าสองอัตราส่วนเท่ากัน (เราจะเรียกพวกเขา k ในสมการแรกด้านล่าง) แล้วลบ numerators ของพวกเขาและลบตัวหารของพวกเขาช่วยให้คุณมีสัดส่วนใหม่ที่ยังเท่ากับสองคนแรก.

เราเริ่มต้นด้วย

Ratio1
ที่ง่ายจะกลายเป็น

Ratio2
แล้วอัตราส่วนที่เรากำลังก่อสร้างโดยการลบอย่างชัดเจนนอกจากนี้ยังเท่ากับ k.

Ratio3

เราจะเห็นว่ามีประโยชน์ด้านล่าง.

ความจริงอื่น ๆ ที่เป็นหนึ่งในเรขาคณิตเกี่ยวกับพื้นที่ มันเป็นที่รู้จักกันดี แต่สิ่งสำคัญที่จะพิสูจน์ดังนั้นฉันได้อย่างรวดเร็วจะระบุไว้ที่นี่ มันบอกว่าเมื่อ cevian แบ่งรูปสามเหลี่ยมพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เกิดยืนอยู่ในอัตราส่วนเดียวกันเป็นสองส่วนของด้านข้าง cevian จะถูกดึงไป ในคำอื่น ๆ ในแผนภาพ

แทรก

อัตราส่วน (x: y) เท่ากับอัตราส่วน (ABT พื้นที่: พื้นที่ของ CBT) นี้เป็นเพราะพวกเขามีความสูงเดียวกัน (แม้ว่ามันจะตกอยู่ภายในหนึ่งสามเหลี่ยมและภายนอกอื่น ๆ ); เพียงแค่ใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ทำให้มันชัดเจนว่าทำไมอัตราส่วนของพื้นที่ที่มีค่าเท่ากับ. (x: y)

เมื่อคุณรู้ว่าทั้งสองข้อเท็จจริงทฤษฎีบทของเซวาไม่ได้เป็นสิ่งที่ยากที่จะพิสูจน์ แผนภาพพื้นฐานคือด้านล่าง.

หลัก

เราสมมติว่าทั้งสาม cevians ตัดกันที่จุดเดียวพีโปรดทราบว่าทฤษฎีบทพื้นที่จากข้างต้นมีผลบังคับใช้เป็นครั้งที่สองที่นี่สำหรับ BX อัตราส่วน: XC มันนำไปใช้กับ BXP สามเหลี่ยมสีอ่อนและ CXP และจะนำไปใช้รวมสีฟ้าและสีเขียวรวมสามเหลี่ยม BXA และ CXA ในคำอื่น ๆ

Area_ratio_1

ตรงนี้เป็นสถานการณ์อัตราส่วนที่กล่าวถึงในครั้งแรกของข้อเท็จจริงเบื้องต้นของเรา อัตราส่วนพื้นที่ทั้งสองเป็นคนที่เราจะหักและเราแสดงให้เห็นข้างต้นว่าผลที่จะต้องเท่ากับอัตราส่วนเดิมเพื่อให้

Area_ratio2

โดยว่าเหตุผลเดียวที่เราได้รับ

Area_ratio_3_2

และในที่สุดเราใส่อัตราส่วนสามที่ผ่านมาเหล่านั้นเข้าด้วยกันเป็น การคำนวณหนึ่ง คุณจะพบว่าแต่ละพื้นที่สามเหลี่ยมปรากฏครั้งเดียวในเศษและครั้งเดียวในหาร ดังนั้นเราจึงได้รับผลที่สมบูรณ์แบบถ้าเราคูณอัตราส่วนเหล่านั้น

Final_equation

นี้เป็นสมการหลักสำหรับทฤษฎีบทของเซวา วิธีหนึ่งที่จะจำได้ว่ามันคือการคิดเกี่ยวกับการเดินไปรอบ ๆ รูปสามเหลี่ยม เลือกจุดสุดยอดใด ๆ ที่จะเริ่มต้น (ผมเลือก B) และเดินไปรอบ ๆ ในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง (ผมเลือกทวนเข็มนาฬิกา) ใส่ลงไปในแต่ละส่วนอัตราส่วนตามที่คุณมาถึงมันและแล้วพวกเขาก็จะอยู่ในสถานที่ที่เหมาะสม.

เป็นเรื่องของตรรกะมันไม่เป็นความจริงว่าทฤษฎีบทหมายถึงการสนทนาของตัวเอง บางครั้งแม้ว่าคุณสามารถใช้ทฤษฎีบทที่จะพิสูจน์การสนทนาของตัวเองและนี่คือหนึ่งในครั้งนั้น นั่นคือตอนนี้ที่เรารู้ว่า cevians พร้อมกันหมายความว่าผลิตภัณฑ์ดังกล่าวข้างต้นเท่ากับ 1 เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าสินค้าเท่ากับ 1 นอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นว่า cevians เห็นพ้อง.

สมมติว่าคุณจะได้รับส่วนโดย CZ ในภาพข้างบน คุณกำลังบอกว่า cevian จากดินแดนในส่วน BC ที่จุดเอ็นและผลิตภัณฑ์ที่เกี่ยวข้องโดยใช้ cevian ที่เท่ากับ 1 แม้ว่าคุณไม่ทราบว่า cevian ที่ผ่าน P ที่อีกสองตัดกัน นั่นคือสมมติว่า

Converse_equation

cevian ที่ไม่ผ่านไปอย่างชัดเจน P ที่ดินที่ X และส่วนแรกของทฤษฎีบทจึงบอกว่าผลิตภัณฑ์สำหรับจุดขวานยังเท่ากับ 1. เปรียบเทียบทั้งสองสมการทำให้มันชัดเจนว่า BX / XC และ BN / NC จะต้องมีอัตราส่วนเดียวกัน ตั้งแต่เพียงจุดเดียวในส่วน BC สามารถสร้างอัตราการที่เราจะต้องสรุปว่า X และ N เป็นจุดเดียวกันซึ่งหมายความว่าส่วนสมมุติของเราจริงๆจะต้องเป็นขวานที่ไปผ่านพีและนั่นคือสิ่งที่เราต้องการที่จะพิสูจน์.

ดังนั้น ทฤษฎีบทของ CEVA กล่าวว่าสาม cevians ของรูปสามเหลี่ยมเห็นพ้องและถ้าหากอัตราส่วนของความยาวส่วนที่พวกเขา Crea