Xij=(1 Ifzicompared tozi0 Ifzinot c

X
ij
=
(
1 If
z
i
compared to
z
i
0 If
z
i
not compared to z
i
⇓
E
[
X
] =
E
h
P
n
−
1
i
=1
P
n
j
=
i
+1
X
ij
i
=
P
n
−
1
i
=1
P
n
j
=
i
+1
E
[
X
ij
]
=
P
n
−
1
i
=1
P
n
j
=
i
+1
P r
[
z
i
compared to
z
j
]
•
To compute
P r
[
z
i
compared to
z
j
] it is useful to consider when two elements are
not
compared.
Example: Consider an input consisting of numbers 1 through
n
.
Assume first pivot it 7
⇒
first partition separates the numbers into sets
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
and
{
8
,
9
,
10
}
.
In partitioning, 7 is compared to all numbers. No number from the first set will ever be
compared to a number from the second set.
In general, once a pivot
x
,
z
i
< x < z
j
, is chosen, we know that
z
i
and
z
j
cannot later be
compared.
On the other hand, if
z
i
is chosen as pivot before any other element in
Z
ij
then it is compared
to each element in
Z
ij
. Similar for
z
j
.
In example: 7 and 9 are compared because 7 is first item from
Z
7
,
9
to be chosen as pivot,
and 2 and 9 are not compared because the first pivot in
Z
2
,
9
is 7.
Prior to an element in
Z
ij
being chosen as pivot, the set
Z
ij
is together in the same partition
⇒
any element in
Z
ij
is equally likely to be first element chosen as pivot
⇒
the probability
that
z
i
or
z
j
is chosen first in
Z
ij
is
1
j
−
i
+1
⇓
P r
[
z
i
compared to
z
j
] =
2
j
−
i
+1
•
We now have:
E
[
X
] =
P
n
−
1
i
=1
P
n
j
=
i
+1
P r
[
z
i
compared to
z
j
]
=
P
n
−
1
i
=1
P
n
j
=
i
+1
2
j
−
i
+1
=
P
n
−
1
i
=1
P
n
−
i
k
=1
2
k
+1
<
P
n
−
1
i
=1
P
n
−
i
k
=1
2
k
=
P
n
−
1
i
=1
O
(log
n
)
=
O
(
n
log
n
)
•
Since best case is
θ
(
n
lg
n
) =
⇒
E
[
X
] = Θ(
n
lg
n
) and therefore
E
[
T
(
n
)] = Θ(
n
lg
n
).
Next time we will see how to make quicksort run in worst-case
O
(
n
log
n
) time

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

x

ij =
(

1 ถ้าซี
i

เมื่อเทียบกับซี
i
0
ถ้าซี

ฉันไม่ได้เมื่อเทียบกับซี
i
⇓
e
[
x
] =
e
ชั่วโมง

p n
-
1
i

= 1 พี
n
ญ
=
i
1
x

ij i
=

p n
-
1
i
= 1

p n

เจ =
i
1
e
[
x

ij]
=

p n
-
1
i

= 1 พี
n
ญ
=
i
1

ราคา [
ซี
i

เมื่อเทียบกับซี

เจ]
•

ในการคำนวณราคา
[

ซี i

เมื่อเทียบกับซี

เจ] มันเป็นประโยชน์ที่จะต้องพิจารณาเมื่อมีสององค์ประกอบ

ไม่ได้เมื่อเทียบ.
ตัวอย่างเช่น : พิจารณานำเข้าซึ่งประกอบด้วยตัวเลข 1 ถึง
n

.ถือว่าเป็นครั้งแรกที่มันหมุน 7

⇒พาร์ทิชันแรกแยกตัวเลขเป็นชุด
{
1
,
2

3
,
4
,
5


6}
และ
{
8
,
9
,
10
}
.
ในการแบ่ง, 7 เมื่อเทียบกับตัวเลขทั้งหมด ตัวเลขจากชุดแรกไม่เคยจะ
เมื่อเทียบกับตัวเลขจากชุดที่สอง.
โดยทั่วไปเมื่อหมุน x



ซี i

เจ, ได้รับการแต่งตั้งเรารู้ว่า
ซี
i

และซี

เจไม่สามารถต่อมาเป็นเมื่อเทียบ
.
ในทางกลับกันถ้า

ซี i
ถูกเลือกให้เป็นก่อนที่จะหมุนองค์ประกอบอื่น ๆ ในซี


ij แล้วมันจะถูกเปรียบเทียบ
แต่ละองค์ประกอบใน

ซี ij
ที่คล้ายกันสำหรับ

ซีเจ

ในตัวอย่าง. 7 และ 9 เมื่อเทียบเพราะ 7 เป็นรายการแรกจากซี

7
,
9
จะได้รับการเลือกให้เป็นหมุน
และ 2 และ 9 จะไม่ได้รับเมื่อเทียบเพราะเข็มแรก ใน

ซี 2
,
9
7.
ก่อนที่จะมีองค์ประกอบใน

ซี ij
ถูกเลือกให้เป็นหมุนชุด

ซี ij
ได้ร่วมกันในพาร์ทิชันเดียวกัน

⇒องค์ประกอบใด ๆ ใน
z เชียงใหม่
ij
ได้อย่างเท่าเทียมกันมีแนวโน้มที่จะองค์ประกอบแรกรับเลือกให้เป็นเดือย

น่าจะเป็น⇒

ที่ซี
i

หรือซี

เจได้รับการแต่งตั้งครั้งแรกในซี


ij เป็น
1
ญ
-
i
1

ราคา⇓
[

ซี i

เมื่อเทียบกับซี

เจ] =
2
ญ
-
i
1
•
ตอนนี้เรามี:
e
[
x
] =

p n
-
1
i

= 1 พี
n
ญ
=
i
1

ราคา [

ซี i

เมื่อเทียบกับซี

เจ]
=

p n
-
1
i

= 1 พี
n
ญ
=
i
1
2
ญ
-
i
1
=

p n
-
1
i

= 1 พี
n
-
i
k
= 1
2
k
1
<

p n
-
1
i

= 1 พี
n
-
i
k
= 1
2
k
=

p n
-
1

i = 1
o
(log n

)

=o
(
n

เข้าสู่ระบบ n
)

•ตั้งแต่กรณีที่ดีที่สุดคือ

θ (
n

จี n
) =

⇒ e
[
x
] = Θ (n


n แอลจี
) และดังนั้นจึง
e
[
T
(
n
)] = Θ (n

จี
n
).
ครั้งต่อไปเราจะได้เห็นวิธีการทำ quicksort ทำงานในที่เลวร้ายที่สุดกรณี
o
(
n

เข้าสู่ระบบ n
) เวลา

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

X
ij
=
(
1 If
z
i
compared to
z
i
0 If
z
i
not compared to z
i
⇓
E
[
X
] =
E
h
P
n
−
1
i
=1
P
n
j
=
i
1
X
ij
i
=
P
n
−
1
i
=1
P
n
j
=
i
1
E
[
X
ij
]
=
P
n
−
1
i
=1
P
n
j
=
i
1
P r
[
z
i
compared to
z
j
]
•
To compute
P r
[
z
i
compared to
z
เจ
] จึงมีประโยชน์ในการพิจารณาเมื่อมีองค์ประกอบสอง
ไม่
เปรียบเทียบ.
ตัวอย่าง: พิจารณาอินพุตประกอบด้วยหมายเลข 1 ผ่าน
n
.
สมมติแรก สาระสำคัญ 7
⇒
พาร์ทิชันแรกแยกตัวเลขเป็นชุด
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
และ
{
8
,
9
,
10
}
.
ในพาร์ทิชัน 7 ถูกเปรียบเทียบกับตัวเลขทั้งหมด เคยจะไม่มีหมายเลขจากชุดแรก
เมื่อเทียบกับตัวเลขจากสองชุดได้
ในทั่วไป สาระสำคัญครั้ง
x
,
z
ฉัน
< x < z
j
, เรารู้ว่า
z
ฉัน
และ
z
เจ
ในภายหลังไม่
เปรียบเทียบได้
บนมืออื่น ๆ ถ้า
z
ฉัน
ที่เป็นสาระสำคัญก่อนองค์ประกอบอื่น ๆ ใน
Z
ij แค
แล้วมันเปรียบเทียบ
แต่ละองค์ประกอบใน
Z
ij แค
คล้ายสำหรับ
z
เจ
.
ตัวอย่าง: 7 และ 9 มีการเปรียบเทียบเนื่องจาก 7 เป็นรายการแรกจาก
Z
7
,
9
ที่จะเลือกเป็นสาระสำคัญ,
และ 2 และ 9 จะไม่เทียบ เพราะแรกสาระสำคัญใน
Z
2
,
9
เป็น 7
ก่อนองค์ประกอบใน
Z
ij แค
ถูกเลือกเป็นสาระสำคัญ ชุด
Z
ij แค
อยู่ในพาร์ติชันเดียวกัน
⇒
องค์ประกอบใด ๆ ใน
Z
ij
is equally likely to be first element chosen as pivot
⇒
the probability
that
z
i
or
z
j
is chosen first in
Z
ij
is
1
j
−
i
1
⇓
P r
[
z
i
compared to
z
j
] =
2
j
−
i
1
•
We now have:
E
[
X
] =
P
n
−
1
i
=1
P
n
j
=
i
1
P r
[
z
i
compared to
z
j
]
=
P
n
−
1
i
=1
P
n
j
=
i
1
2
j
−
ฉัน
1
=
P
n
−
1
ฉัน
= 1
P
n
−
ฉัน
k
= 1
2
k
1
<
P
n
−
1
i
=1
P
n
−
i
k
=1
2
k
=
P
n
−
1
i
=1
O
(log
n
)
=
O
(
n
ล็อก
n
)
•
ตั้งแต่กรณี is
θ
(
n
lg
n
) สุด =
⇒
E
[
X
] = Θ(
n
lg
n
) และ therefore
E
[
T
(
n
)] = Θ(
n
lg
n
).
ครั้งต่อไปเราจะดูวิธีการทำงานใน worst-case
O
(
n
log
n
) เวลา quicksort

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

x

= ij
(

z 1 หาก

เมื่อเทียบกับผม

z 0 หากผม


Z ผม
ซึ่งจะช่วยไม่ได้เมื่อเทียบกับ Z

ซึ่งจะช่วยผม⇓

E [

] x =

ซึ่งจะช่วยอี H
ซึ่งจะช่วย P

N -

ผม
ซึ่งจะช่วย 1 = 1

n P

j =

ตามมาตรฐานฉัน 1

x ij

=ฉัน

n
ซึ่งจะช่วย P -

ซึ่งจะช่วยผม 1

= 1 P

j n

=ฉัน

1
อี[
x

] ij
=

n
P -
1

= 1 ผม

n P

j =

ตามมาตรฐานฉัน 1
P r
ซึ่งจะช่วย[

ซึ่งจะช่วย Z
ซึ่งจะช่วยผมเมื่อเทียบกับ

ซึ่งจะช่วย Z
j ]
•

ซึ่งจะช่วยในการประมวลผล P r
[

ซึ่งจะช่วย Z
ซึ่งจะช่วยผมเมื่อเทียบกับ
ซึ่งจะช่วย Z

ซึ่งจะช่วย J ]มันจะเป็นประโยชน์ในการพิจารณาเมื่อสองปัจจัยจะ

ไม่ได้เมื่อเทียบกับ .
ยกตัวอย่างเช่น:คุณต้องพิจารณาข้อมูลประกอบด้วยหมายเลข 1 ผ่าน

N ..
ถือว่าเป็นครั้งแรกที่หมุน 7

⇒พาร์ติชันแยกหมายเลขแรกที่เข้าไปในชุด

1

{ 2

3

4

5

6
}
และ

8

{ 9 }

10

.
ในการแบ่งพาร์ติชั่น 7 คือเมื่อเทียบกับตัวเลขทั้งหมด. ไม่มีหมายเลขจากชุดแรกจะไม่เคยได้รับเมื่อเทียบกับ
ซึ่งจะช่วยให้จำนวนจากที่ตั้งค่า.
ในทั่วไป,เมื่อที่หมุน

ซึ่งจะช่วย X ,

Z ผม
ซึ่งจะช่วย< X < Z

j ,มีการเลือก,เรารู้ว่า

Z
ซึ่งจะช่วยผมและ

Z
j ไม่สามารถใน ภายหลัง ได้
เมื่อเทียบกับ.
ในที่อื่นหาก

Z
ผมมีการเลือกเป็นการหมุนก่อนส่วนที่อื่นใดใน
Z

ij ก็เป็นเมื่อเทียบกับ
ซึ่งจะช่วยให้แต่ละองค์ประกอบใน

ij Z
ความเหมือนของ

Z
j ..
ในตัวอย่างเช่น: 7 และ 9 เป็นเพราะเมื่อเทียบกับ 7 เป็นครั้งแรกจาก

Z 7
,

9 ได้รับการเลือกสรรเพื่อให้เป็นจุดหมุน,
และ 2 และ 9 ไม่ได้เพราะเป็นครั้งแรกเมื่อเทียบกับการหมุนใน

ซึ่งจะช่วย Z 2
,

มี 97 .
ก่อนที่จะได้ส่วนใน

Z ij
ซึ่งจะช่วยได้รับเลือกให้เป็นจุดหมุน,ที่ตั้งค่า

Z ij
ซึ่งจะช่วยเป็นกันในที่เดียวกันพาร์ติชัน

⇒ใดๆส่วนใน

Zij
ไม่แพ้กันมีแนวโน้มที่จะเป็นครั้งแรกส่วนที่เลือกไว้และหมุน

⇒โอกาส

Z
ซึ่งจะช่วยให้ผม

หรือ Z

j มีการเลือกครั้งแรกใน
Z

ij มี

j 1
-

ผม 1

⇓ P r
[

ซึ่งจะช่วย Z
ซึ่งจะช่วยผมเมื่อเทียบกับ
ซึ่งจะช่วย Z

j ]=
2

j -

ผม 1
•
ตอนนี้เรามี:

E [

] x P

= n
-

ซึ่งจะช่วยผม 1

= 1 P

j n

=ฉัน

P 1 R
[

ซึ่งจะช่วย Z
ซึ่งจะช่วยผมเมื่อเทียบกับ
ซึ่งจะช่วย Z

j ]
=

n
P -

ผม 1

= 1 P

j n

= 1

ตามมาตรฐานฉัน 2

j -

ตามมาตรฐานฉัน 1
=

n
P -

ผม 1

= 1 P

N -
ผม

K = 1

K 2 N 1
<
P

N -
1

= 1 ผม

n
P -

ซึ่งจะช่วยผม K
= 1

K 2

= P

N -
1

= 1 ผม

o (ล็อกอิน
n
)
=

o (

n
ซึ่งจะช่วยล็อกอินเข้าสู่ n
)
•
เนื่องจากดีที่สุดคือ

θ(

n แอลจี

N )=

⇒อี
[

x ]=θ(

n แอลจี

N )และดังนั้นจึง

E [

T (
n
)]=θ(

n แอลจี

N ). N ครั้งต่อไปเราจะดูว่าจะทำให้ quicksort ทำงานในกรณีที่แย่ที่สุด

o (

ซึ่งจะช่วยล็อกอินเข้าสู่ n

N )เวลา