A consumer has the utility function

A consumer has the utility function U(x,y) = xy and faces the budget constraint 2x +y =100. Find the only solution candidate to the consumer demand problem maximize xy subject to 2x +y =100 Solution: The Lagrangian is L(x,y) = xy−λ(2x +y −100). Including the constraint, the first-order conditions for the solution of the problem are
L 1(x,y) = y −2λ =0, L 2(x,y) = x −λ =0, 2x +y =100 The first two equations imply that y = 2λ and x = λ. Soy = 2x. Inserting this into the constraint yields 2x +2x =100. So x =25 and y =50, implying that λ = x =25. This solution can be confirmed by the substitution method. From 2x + y = 100 we get y = 100−2x, so the problem is reduced to maximizing the unconstrained function h(x) = x(100−2x)=− 2x2 +100x. Since h(x) =− 4x +100 = 0 givesx = 25, and h(x) =−

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ผู้บริโภคมีฟังก์ชันอรรถประโยชน์ U(x,y) = xy และเผชิญข้อจำกัดงบประมาณ 2 x + y = 100 ค้นหาที่ผู้แก้ปัญหาเพียงปัญหาความต้องการของผู้บริโภคสูงสุด xy 2 x + y = 100 โซลูชัน: Lagrangian เป็น L(x,y) = xy−λ (2 x + y −100) รวมถึงข้อจำกัด เงื่อนไข first ใบสั่งสำหรับการแก้ปัญหาของปัญหาเป็นL 1(x,y) = y −2λ = 0, L 2(x,y) = x −λ = 0, 2 x + y = 100 first สองสมการเป็นสิทธิ์แบบ y ที่ = 2λ และ x =λถั่วเหลือง = 2 x แทรกนี้เป็นข้อจำกัดทำให้ x + 2 x 2 = 100 ดังนั้น x = 25 และ y = 50 หน้าที่ที่λ = x = 25 โซลูชันนี้สามารถ confirmed โดยวิธีทดแทน จาก 2 x + y = 100 เราได้ y = 100−2x เพื่อเป็นลดปัญหาการ h(x) ฟังก์ชัน unconstrained = x (100−2x) =− 2 x 2 + 100 x เนื่องจาก h (x) =− 4 x 100 = 0 givesx = 25 และ h (x) =−

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ผู้บริโภคมีฟังก์ชันอรรถประโยชน์ U ( x , y ) = xy และใบหน้างบประมาณจำกัด 2x Y = 100 ค้นหาทางแก้ปัญหาผู้สมัครเพื่อความต้องการของผู้บริโภคเพิ่ม xy เรื่อง 2x Y = 100 โซลูชั่น : ลากรองจ์ l ( X , Y ) = xy −λ ( 2x y − 100 ) รวมทั้งข้อจำกัดแล้ว จึงตัดสินใจเดินทางเพื่อการแก้ไขปัญหา คือ 1 
l ( x , y ) = y − 2 λ = 0 L  2 ( x , y ) = x −λ = 0y = 2x 100 จึงตัดสินใจเดินทางสองสมการบ่งบอกว่า y = 2 λและ X = λ . ถั่วเหลือง = 2x แทรกนี้เป็นข้อจำกัดผลผลิต + 2x = 100 ดังนั้น x = 25 และ Y = 50 , implying ที่λ = x = 25 วิธีนี้สามารถหลอกจึง rmed โดยใช้วิธี จาก 2x Y = 100 เราได้ y = 2x 100 บริษัท เวสเทิร์น ดังนั้นปัญหาจะลดลง เพื่อประสิทธิภาพสูงสุดในการทำงานต่างกันไป H ( x ) = x ( 100 x 2 = −− ) 2x2 100x . ตั้งแต่ H ( x ) = − 4 x 100 = 0 givesx = 25 , และ H ( x ) = −