1 IntroductionThe problem of studyi

1 Introduction
The problem of studying positive integers n which occur as areas of rational
right triangle was of interest to the Greeks. The congruent number problem
was first discussed systematically by Arab scholars of the tenth century.
By the way recall that a positive integer n is a congruent number if it equals
to the area of right triangle with rational sides.
Since tenth century, some well-known mathematicians have devoted considerable
energy of the congruent number problem. For example Euler showed
that n = 7 is a congruent number with sides of lenght 24
5 ,
35
12 and 337
60 . It is
750 Umm¨ ¨ ug¨uls¨um O˘¨g¨ut and Refik Keskin
known that Leonardo Pisano (Fibonacci) was challenged around 1220 by Johannes
of Palermo to find a rational right triangle of area 5. He found the
right triangle with sides of lenght 3
2 ,
20
3 and 41
6 . Notice that the definition of a
congruent number does not require the sides of the triangle to be integer, only
rational. While n = 6 is the smallest possible area of a right triangle with integer
sides of lenght 3,4,5 , n = 5 is the area of right triangle with rational sides
of lenght 3
2 ,
20
3 and 41
6 . So n = 5 is the smallest congruent number. In 1225,
Fibonacci wrote a general treatment about the congruent number problem, in
which he stated out without proof that if n is a perfect square then n cannot
be a congruent number. The proof of such a claim had to wait until Pierre de
Fermat. He showed that n = 1 and so every square number is not a congruent
number by using his method of infinite descent[6]. One can look at [4] and
[7] for Fermat’s descent method. In the present study we will show that if n
is a congruent number then n can not be a perfect square by using the same
method. Moreover, we proved Fermat’s last theorem for n = 4, which states
that the equation x4 + y4 = z4 has no solutions in positive integers.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1 IntroductionThe problem of studying positive integers n which occur as areas of rationalright triangle was of interest to the Greeks. The congruent number problemwas first discussed systematically by Arab scholars of the tenth century.By the way recall that a positive integer n is a congruent number if it equalsto the area of right triangle with rational sides.Since tenth century, some well-known mathematicians have devoted considerableenergy of the congruent number problem. For example Euler showedthat n = 7 is a congruent number with sides of lenght 245 ,3512 and 33760 . It is750 Umm¨ ¨ ug¨uls¨um O˘¨g¨ut and Refik Keskinknown that Leonardo Pisano (Fibonacci) was challenged around 1220 by Johannesof Palermo to find a rational right triangle of area 5. He found theright triangle with sides of lenght 32 ,203 and 416 . Notice that the definition of acongruent number does not require the sides of the triangle to be integer, onlyrational. While n = 6 is the smallest possible area of a right triangle with integersides of lenght 3,4,5 , n = 5 is the area of right triangle with rational sidesof lenght 32 ,203 and 416 . So n = 5 is the smallest congruent number. In 1225,Fibonacci wrote a general treatment about the congruent number problem, inwhich he stated out without proof that if n is a perfect square then n cannotbe a congruent number. The proof of such a claim had to wait until Pierre deแฟร์มาต์ เขาพบว่า n = 1 และให้สแควร์ทุกเลขไม่มีเท่าหมายเลข โดยใช้วิธีของเขามีเชื้อสายอนันต์ [6] หนึ่งสามารถดู [4] และ[7] สำหรับวิธีการลงของแฟร์มา ในการศึกษา เราจะแสดงว่าถ้า nเป็นตัวเลขเท่า นั้น n ไม่สามารถเป็นสี่เหลี่ยม โดยใช้เหมือนกันวิธีการ นอกจากนี้ เราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สำหรับ n = 4 ซึ่งระบุที่สมการ x4 + y 4 = z4 มีไม่การแก้ไขปัญหาในจำนวนเต็มบวก

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1 บทนำ
ปัญหาของการศึกษาจำนวนเต็มบวก n ซึ่งเกิดขึ้นเป็นพื้นที่ของการมีเหตุผล
สามเหลี่ยมขวาเป็นที่สนใจของชาวกรีก ปัญหาที่เกิดขึ้นจำนวนสอดคล้องกัน
เป็นครั้งแรกที่มีการหารืออย่างเป็นระบบโดยนักวิชาการอาหรับศตวรรษที่สิบ.
จากการเรียกคืนวิธีการที่เป็นจำนวนเต็มบวก n เป็นตัวเลขสอดคล้องกันถ้ามันเท่ากับ
ไปยังพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเหตุผล.
ตั้งแต่ศตวรรษที่สิบบางที่รู้จักกันดี นักคณิตศาสตร์ได้ทุ่มเทมาก
การใช้พลังงานของปัญหาที่เกิดขึ้นจำนวนเท่ากันทุกประการ ยกตัวอย่างเช่นออยเลอร์แสดงให้เห็น
ว่า n = 7 เป็นหมายเลขที่สอดคล้องกับด้านข้างของความยาว 24
5
35
12 และ 337
60 มันเป็น
750 Umm ¨ug¨uls¨umO˘¨g¨utและ Refik Keskin
ที่รู้จักกันว่า Leonardo Pisano (Fibonacci) ถูกท้าทายรอบ 1220 โดยฮัน
ปาแลร์โมที่จะหารูปสามเหลี่ยมเหตุผลของพื้นที่ 5 เขาพบ
สามเหลี่ยมขวา กับด้านของความยาว 3
2
20
3 และ 41
6 ขอให้สังเกตว่าคำนิยามของการเป็น
จำนวนสอดคล้องกันไม่จำเป็นต้องมีด้านของสามเหลี่ยมจะเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น
ที่มีเหตุผล ในขณะที่ n = 6 เป็นพื้นที่ที่เล็กที่สุดของรูปสามเหลี่ยมที่ถูกต้องกับจำนวนเต็ม
ด้านของความยาว 3,4,5, N = 5 เป็นพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านที่มีเหตุผล
ของความยาว 3
2
20
3 และ 41
6 ดังนั้น n = 5 เป็นจำนวนเท่ากันทุกประการที่เล็กที่สุด ใน 1225,
Fibonacci เขียนการรักษาทั่วไปเกี่ยวกับปัญหาที่เกิดขึ้นจำนวนสอดคล้องกันใน
การที่เขากล่าวออกโดยไม่ต้องพิสูจน์ว่าถ้า n เป็นตารางที่สมบูรณ์แล้ว n ไม่สามารถ
เป็นตัวเลขที่สอดคล้องกัน หลักฐานการเรียกร้องดังกล่าวต้องรอจนกว่าปิแอร์เดอ
แฟร์มาต์ เขาพบว่า n = 1 และเพื่อให้ทุกตารางจำนวนไม่ได้เป็นสอดคล้องกัน
จำนวนโดยใช้วิธีการของเขาสืบเชื้อสายอนันต์ [6] หนึ่งสามารถมองไปที่ [4] และ
[7] สำหรับวิธีการสืบเชื้อสายของแฟร์มาต์ ในการศึกษาครั้งนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าถ้า n
เป็นจำนวนที่สอดคล้องกันแล้ว n ไม่สามารถเป็นตารางที่สมบูรณ์แบบโดยใช้เดียวกัน
วิธีการ นอกจากนี้เราได้รับการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สำหรับ n = 4 ซึ่งระบุ
ว่าสม X4 + ที่ y4 = Z4 มีการแก้ปัญหาในจำนวนเต็มบวก