The Mathematical End of the GameNow

The Mathematical End of the Game

Now, to prove that the configuration of the introduction is the mathematical end of the game, it suffices to show that the sum of tiles reaches its maximum in the configuration I got. In other words, let’s show that tiles cannot add up to more than 2^18−2^2=262,140

Hummm… How do prove that?
Notice that, after every move, the total sum of tile numbers increases by the number of the new randomly-generated tile. This new tile is either 2 or 4. So, the total sum of tile numbers increases by steps of 2 or 4. So, to get to a configuration whose total sum of tile numbers is more than 262,140, one must have gone through 262,140or 262,142But, as we shall prove it, 262,140 is necessarily an end game configuration and 262,142 is unreachable.

Hummm… How do prove that?
It all has to do with the decompositions of these numbers as sums of powers of 2. To have the tiles fitting in the bounded 4×4 grid, we need to find decomposition as efficient as possible, in the sense that we want to write the sum of tile numbers with the smallest possible number of powers of 2.

It’s easy to see that, in any most efficient decomposition, powers of 2 must appear only once. Indeed, otherwise, we can just combine 2 identical powers of 2 into their sum, hence yielding the same sum with one less tile.


So what would be the most efficient decompositions of 262,140 and 262,142?
Let’s take 262,140 for instance. A simple test shows that 262,140 is not divisible by 8. Yet, all powers of 2 greater or equal to 8 are multiples of 8. Thus, a sum of powers of 2 that equal 262,140 must contain a power of 2 smaller than 8. So, there must be tiles 2 or 4. But do we have one tile of 2 and one tile of 4? Or just one tile of 2? Or just one tile of 4?

Hummm… Good question. How can we find out?
Notice that, once tiles of 2 and 4 subtracted, we need to obtain a multiple of 8. Among the three possible alternatives, only the the last case with only the tile of 4 can guarantee that this is the case. So, in the most efficient decomposition of 262,140, there’s no tile of 2 and one tile of 4. Meanwhile, the other tiles must then add up to 262,136. Once again, noticing that 262,136 is not divisible by 16 implies that the most efficient decomposition of this number contains one 8. And so on…

Let me guess… This most efficient decomposition of 262,140 must contain one 4, one 8, one 16… and so on!
Exactly! In fact, the most efficient decomposition of 262,140 is precisely the one of the introduction! Yet, this decomposition is made of 16 different powers of 2. Thus, no two tiles can be combined. And, since there is no more room on the grid, no move can be done. It is thus necessarily an end configuration!

What about 262,142?
The most efficient decomposition of 262,142 is 262,142=2^1+2^2+2^3…+2^17, which contains 17 terms. This cannot fit in the 4×4 grid. Thus, 262,142 is mathematically unreachable! This concludes our proof that the configuration of our introduction is the mathematical end of our game.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตอนจบเกมทางคณิตศาสตร์ตอนนี้ เพื่อพิสูจน์ว่าการกำหนดค่าของการแนะนำการจบเกมทางคณิตศาสตร์ ที่มันจึงจะแสดงว่า ผลรวมของไพ่ถึงจำนวนสูงสุดของในการกำหนดค่าที่มี ในคำอื่น ๆ มาแสดงว่า กระเบื้องไม่สามารถเพิ่มได้สูงสุดมากกว่า 2 ^ 18−2 ^ 2 = 262, 140Hummm ... วิธีพิสูจน์ที่สังเกตเห็นว่า หลังเคลื่อนไหว ผลรวมของไพ่ตัวเลขเพิ่มจำนวนกระเบื้องแบบสุ่มใหม่ กระเบื้องใหม่นี้เป็น 2 หรือ 4 ดังนั้น ผลรวมของหมายเลขไพ่เพิ่มขั้น 2 หรือ 4 ดังนั้น เพื่อให้ได้ค่าที่มีจำนวนไพ่จะมากกว่า 262,140 หนึ่งต้องได้ผ่าน 262, 140or 262, 142But เราจะพิสูจน์ 262,140 จำเป็นต้องเป็นการกำหนดค่าการจบเกม และ 262,142 ไม่สามารถเข้าถึงHummm ... วิธีพิสูจน์ที่ทั้งหมดมีการ decompositions ของหมายเลขเหล่านี้เป็นผลรวมของ 2 มีกระเบื้องที่เหมาะสมใน ยาม 4 × 4 ตาราง ที่เราจำเป็นต้องค้นหาย่อยสลายมีประสิทธิภาพที่สุด ในความหมายที่เราต้องการเขียนจำนวนเลขไพ่ ด้วยหมายเลขได้ที่เล็กที่สุดของของ 2มันเป็นเรื่องง่ายเพื่อดูว่า ในการย่อยสลายมีประสิทธิภาพสูงสุด อำนาจ 2 ต้องปรากฏขึ้นเพียงครั้งเดียว จริง มิฉะนั้น เราสามารถเพียงรวมวิทยา 2 เหมือนกันเป็นผลรวมของพวกเขา จึง ให้ผลเดียวกันกับไพ่หนึ่งน้อยกว่าดังนั้น จะ decompositions มีประสิทธิภาพสูงสุดของ 262,140 และ 262,142ลอง 262,140 เช่นกัน การทดสอบง่าย ๆ แสดงว่า 262,140 จะไม่หาร ด้วย 8 ยัง อำนาจทั้งหมดของ 2 มากกว่า หรือเท่ากับ 8 จะคูณ 8 ดังนั้น ผลรวมของของ 2 ที่เท่ากับ 262,140 ต้องประกอบด้วยพลังงาน 2 มีขนาดเล็กกว่า 8 ดังนั้น ต้องมีไพ่ 2 หรือ 4 แต่เรามีหนึ่งช่องของไทล์ที่หนึ่ง และ 2 4 หรือเพียงหนึ่งช่อง 2 หรือเพียงหนึ่งช่อง 4Hummm ... คำถามที่ดี เราจะทราบได้อย่างไรสังเกตว่า เมื่อไพ่ของ 2 และ 4 หักออก เราจำเป็นต้องรับของ 8 ในสุดทางเลือกที่สาม เฉพาะในกรณีครั้งสุดท้าย มีเฉพาะกระเบื้อง 4 สามารถรับประกันได้ว่า เป็นกรณีนี้ได้ ดังนั้น ในการย่อยสลายมีประสิทธิภาพสูงสุดของ 262,140 มีไม่มีแผ่นของกระเบื้อง 2 และหนึ่ง 4 ในขณะเดียวกัน ไพ่อื่น ๆ ต้องเพิ่มถึง 262,136 อีกครั้ง สังเกตเห็นว่า ไม่สามารถหารได้ ด้วย 16 262,136 ถึงว่า การย่อยสลายมีประสิทธิภาพสูงสุดของหมายเลขนี้ประกอบด้วยหนึ่ง 8 และอื่น ๆ ...ผมขอเดา... สลายตัวนี้มีประสิทธิภาพของ 262,140 ต้องประกอบด้วย 4 หนึ่ง หนึ่ง 8, 16 หนึ่ง... และอื่น ๆแน่นอน ในความเป็นจริง การย่อยสลายมีประสิทธิภาพสูงสุดของ 262,140 เป็นอย่างแม่นยำแนะนำ ยัง สลายตัวนี้ทำจากวิทยา 16 แตกต่างกัน ดังนั้น กระเบื้องสองไม่สามารถรวม และ เนื่องจากมีไม่มีเพิ่มเติมบนตาราง ย้ายไม่สามารถทำได้ มันจึงจำเป็นต้องการกำหนดค่าจุดสิ้นสุด262,142 ล่ะการย่อยสลายมีประสิทธิภาพสูงสุดของ 262,142 เป็น 262, 142 = 2 ^ 1 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3... + 2 ^ 17 ซึ่งประกอบด้วยข้อกำหนด 17 นี้ไม่พอดีกับเส้นตาราง 4 × 4 ดังนั้น 262,142 ไม่สามารถเข้าถึงลาย นี้สรุปหลักฐานเราว่า การกำหนดค่าของแนะนำของเราจะสิ้นสุดเกมของเราทางคณิตศาสตร์

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คณิตศาสตร์ในตอนท้ายของเกมตอนนี้พิสูจน์ให้เห็นว่าการกำหนดค่าของการแนะนำเป็นจุดสิ้นสุดทางคณิตศาสตร์ของเกมก็พอเพียงที่จะแสดงให้เห็นว่าผลรวมของกระเบื้องถึงสูงสุดในการกำหนดค่าผมได้ ในคำอื่น ๆ ขอแสดงให้เห็นว่ากระเบื้องไม่สามารถเพิ่มขึ้นถึงกว่า 2 ^ 18-2 ^ 2 = 262,140 Hummm ... จะพิสูจน์ให้เห็นว่าอย่างไรขอให้สังเกตว่าหลังจากที่ย้ายทุกผลรวมของการเพิ่มขึ้นของตัวเลขกระเบื้องจากจำนวนของใหม่กระเบื้องสุ่ม กระเบื้องใหม่นี้เป็น 2 หรือ 4 ดังนั้นผลรวมของตัวเลขกระเบื้องเพิ่มขึ้นจากขั้นตอนที่ 2 หรือ 4 ดังนั้นเพื่อให้ได้การกำหนดค่าที่มีผลรวมของตัวเลขกระเบื้องเป็นมากกว่า 262,140 คนหนึ่งจะต้องได้ผ่าน 262,140or 262,142But ดังที่เราจะพิสูจน์มัน 262140 จำเป็นต้องกำหนดค่าท้ายเกมและไม่สามารถเข้าถึง 262,142. Hummm ... อย่างไรพิสูจน์ได้ว่า? ทุกอย่างจะทำอย่างไรกับการสลายตัวของตัวเลขเหล่านี้เป็นผลรวมของอำนาจของ 2. มีกระเบื้อง ที่เหมาะสมในขอบเขต 4 × 4 ตารางเราต้องการที่จะหาการสลายตัวที่มีประสิทธิภาพที่สุดในแง่ที่ว่าเราต้องการที่จะเขียนผลรวมของตัวเลขกระเบื้องที่มีจำนวนน้อยที่สุดของอำนาจของ 2. มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าในที่ใด ๆ การสลายตัวที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดอำนาจของ 2 จะต้องปรากฏเพียงครั้งเดียว อันที่จริงมิฉะนั้นเราก็สามารถรวม 2 พลังที่เหมือนกันของ 2 ลงไปในผลรวมของพวกเขาจึงยอมรวมเช่นเดียวกันกับกระเบื้องน้อย. ดังนั้นสิ่งที่จะสลายตัวมีประสิทธิภาพมากที่สุด 262,140 และ 262,142? ลอง 262,140 ตัวอย่างเช่น การทดสอบแสดงให้เห็นว่าง่าย 262140 ไม่หารด้วย 8 แต่อำนาจทั้งหมด 2 มากกว่าหรือเท่ากับ 8 คูณ 8 ดังนั้นผลรวมของอำนาจของ 2 ที่เท่ากับ 262,140 ต้องมีพลังของ 2 ที่มีขนาดเล็กกว่า 8. ดังนั้น จะต้องมีกระเบื้อง 2 หรือ 4 แต่เรามีกระเบื้องหนึ่ง 2 และกระเบื้องหนึ่งใน 4? หรือเพียงหนึ่งกระเบื้อง 2? หรือเพียงหนึ่งกระเบื้อง 4? Hummm ... เป็นคำถามที่ดี วิธีที่เราสามารถหา? ขอให้สังเกตว่าเมื่อกระเบื้องที่ 2 และ 4 หักเราจำเป็นต้องได้รับหลาย 8. หนึ่งในสามทางเลือกที่เป็นไปได้เฉพาะกรณีที่ผ่านมามีเพียงกระเบื้อง 4 สามารถรับประกันได้ว่าเป็นกรณีที่ . ดังนั้นในการสลายตัวมีประสิทธิภาพมากที่สุด 262,140 มีกระเบื้องที่ 2 และไม่มีกระเบื้องหนึ่ง 4. ในขณะที่กระเบื้องอื่น ๆ แล้วจะต้องเพิ่มขึ้นถึง 262,136 อีกครั้งหนึ่งที่สังเกตเห็นว่า 262,136 ไม่หารด้วย 16 แสดงให้เห็นว่าการสลายตัวที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดในจำนวนนี้มีหนึ่ง 8. และอื่น ๆ ... ผมขอเดาว่า ... การสลายตัวนี้มีประสิทธิภาพมากที่สุด 262,140 คนหนึ่งจะต้องมี 4 ซึ่งเป็นหนึ่งใน 8 ซึ่งเป็นหนึ่งใน 16 ... และ อื่น ๆ ! แน่นอน! ในความเป็นจริงการสลายตัวที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดคือ 262,140 แม่นยำหนึ่งของการแนะนำ! แต่การสลายตัวนี้จะทำ 16 อำนาจที่แตกต่างกันของ 2. ดังนั้นไม่มีสองกระเบื้องสามารถนำมารวม และเนื่องจากไม่มีห้องพักมากขึ้นในตารางย้ายไม่สามารถทำได้ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องจำเป็นต้องกำหนดค่าสิ้น! สิ่งที่เกี่ยวกับ 262,142? การสลายตัวมีประสิทธิภาพมากที่สุดคือ 262,142 262,142 = 2 ^ 1 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3 ... + 2 ^ 17 ซึ่งมี 17 คำ นี้ไม่สามารถใส่ใน 4 × 4 ตาราง ดังนั้นจึงไม่สามารถเข้าถึง 262,142 คณิตศาสตร์! นี้สรุปหลักฐานของเราว่าการกำหนดค่าของการแนะนำของเราเป็นปลายทางคณิตศาสตร์ของเกมของเรา