Since we first introduced Fourier a

Since we first introduced Fourier analysis in Lecture 7, we have relied heavily on its properties in the analysis and representation of signals and linear, time-
invariant systems. The Fourier transform was developed from the concept of representing signals as a linear combination of basic signals that were chosen
to be eigenfunctions of linear, time-invariant systems. With the eigenfunctions chosen to be the signals e j(t, this representation led to the Fourier transform synthesis equation, and a given LTI system could then be represented by the spectrum of eigenvalues as a function of W, that is, the change in amplitude that the system applies to each of the basic inputs e ".
In this and the next several lectures we introduce a generalization of the Fourier transform, referred to as the Laplace transform. In addition to leading to a number of new insights, the use of the Laplace transform removes
some of the restrictions encountered with the Fourier transform. Specifically, the Laplace transform converges for a broader class of signals than does the
Fourier transform.
The general class of eigenfunctions for LTI systems consists of the com-
plex exponentials es, where s is a complex number. The use of this more general class in place of the complex exponentials e"' leads to the representation of signals and systems in terms of the Laplace transform. The response of an LTI system to a complex exponential of the form est is H(s)est and H(s),
which represents the change in amplitude, is referred to as the system function. As developed in the lecture, H(s) is the Laplace transform of the system impulse response.
The Laplace transform and the Fourier transform are closely related in a number of ways. When s is purely imaginary, i.e., when s =jw, the Laplace transform reduces to the Fourier transform. More generally, the Laplace transform can be viewed as the Fourier transform of a signal after an expo-
nential weighting has been applied. Because of this exponential weighting, the Laplace transform can converge for signals for which the Fourier transform
does not converge. The Laplace transform is a function of a general complex variable s, and
for any given signal the Laplace transform converges for a range of values of s.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เนื่องจากเรารู้จักวิเคราะห์ฟูรีเยในการบรรยาย 7 เราได้อาศัยหนักในคุณสมบัติในการวิเคราะห์และแสดงสัญญาณ และ เส้น เวลา -ระบบบล็อก การแปลงฟูรีเยได้รับการพัฒนาจากแนวคิดของการแสดงสัญญาณเป็นการรวมเชิงเส้นของสัญญาณพื้นฐานที่ถูกเลือกเป็น eigenfunctions ของระบบเชิงเส้น เวลาไม่เปลี่ยนแปลง กับ eigenfunctions เลือกให้เป็นสัญญาณ e j (t แสดงนี้นำไปสู่สมการสังเคราะห์การแปลงฟูรีเย และระบบ LTI สามารถแล้วแสดงตามสเปกตรัมของเวกเตอร์เป็นฟังก์ชันของ W นั่นคือ การเปลี่ยนแปลงในคลื่นที่ระบบใช้ไปอีอินพุตพื้นฐาน "ในนี้และถัดไป บรรยายหลายเรานำ generalization ของการแปลงฟูรีเย เรียกว่าการแปลงลาปลาส นอกจากนำจำนวนความเข้าใจใหม่ เอาใช้การแปลงลาปลาสบางข้อจำกัดที่พบกับการแปลงฟูรีเย โดยเฉพาะ การแปลงลาปลาส converges สำหรับระดับสัญญาณกว้างกว่าไม่การแปลงฟูรีเยEigenfunctions ระบบ LTI ชั้นทั่วไปที่ประกอบด้วย com-เพล็กซ์ exponentials es โดยที่ s คือ จำนวนเชิงซ้อน การใช้ระดับนี้ทั่วไปแทนอี exponentials ซับซ้อน" ' นำไปสู่การแสดงของสัญญาณและระบบในการแปลงลาปลาส การตอบสนองต่อระบบ LTI ซับซ้อนเนนของแบบ est เป็น H(s) est และ H(s)ซึ่งแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงในคลื่น จะเรียกว่าฟังก์ชันของระบบ พัฒนาในการบรรยาย H(s) เป็นการแปลงลาปลาสของการตอบสนองแรงกระตุ้นจากระบบการแปลงลาปลาสและการแปลงฟูรีเยมีความสัมพันธ์ในหลายวิธีการ เมื่อ s คือจินตภาพ เช่น เมื่อ s =เจดับบลิว ลาปลาสการแปลงลดการแปลงฟูรีเย มากขึ้นโดยทั่วไป การแปลงลาปลาสสามารถใช้เป็นฟูรีเยการแปลงของสัญญาณหลังจากเอ็กซ์โปเป็น-มีการใช้น้ำหนัก nential เนื่องจากน้ำหนักนี้เนน การแปลงลาปลาสสามารถมาบรรจบกันสำหรับสัญญาณแปลงฟูรีเยจะไม่มาบรรจบกัน การแปลงลาปลาสคือ ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนทั่วไป s และสำหรับสัญญาณใด ๆ กำหนด แปลงลาปลาส converges สำหรับช่วงของค่าของ s

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตั้งแต่ครั้งแรกที่เรานำมาวิเคราะห์ฟูริเยร์ในการบรรยายครั้งที่ 7 เราได้อาศัยคุณสมบัติของมันในการวิเคราะห์และการเป็นตัวแทนของสัญญาณและเชิงเส้นเวลา
ระบบคงที่ ฟูเรียร์ได้รับการพัฒนาจากแนวความคิดของการเป็นตัวแทนของสัญญาณเป็นเชิงเส้นการรวมกันของสัญญาณพื้นฐานที่ได้รับการแต่งตั้ง
ให้เป็นเชิงเส้น eigenfunctions ของระบบเวลาคงที่ ด้วย eigenfunctions เลือกให้เป็นสัญญาณ EJ (t แทนนี้นำไปสู่การแปลงฟูริเยร์สมการสังเคราะห์และระบบ LTI ได้รับแล้วอาจจะแสดงโดยสเปกตรัมของค่าลักษณะเฉพาะเป็นหน้าที่ของ W, ว่ามีการเปลี่ยนแปลงในความกว้างที่ ระบบนำไปใช้กับแต่ละปัจจัยการผลิตขั้นพื้นฐานอี ".
ในเรื่องนี้และการบรรยายหลายต่อไปเราแนะนำทั่วไปของฟูริเยร์เปลี่ยนเรียกว่า Laplace transform. นอกจากนี้จะนำไปเป็นจำนวนของข้อมูลเชิงลึกใหม่ใช้ Laplace transform เอา
บางส่วนของข้อ จำกัด ที่พบกับฟูเรียร์. โดยเฉพาะ Laplace transform ลู่สำหรับการเรียนที่กว้างขึ้นของสัญญาณกว่าไม่
แปลงฟูริเย.
ระดับทั่วไปของ eigenfunctions สำหรับระบบ LTI ประกอบด้วยสั่ง
exponentials เพล็กซ์ es ที่ S เป็นตัวเลขที่ซับซ้อน. ใช้นี้คลาสทั่วไปมากขึ้นในสถานที่ที่ซับซ้อน exponentials อี "นำไปสู่การเป็นตัวแทนของสัญญาณและระบบในแง่ของ Laplace transform. การตอบสนองของระบบ LTI เพื่อชี้แจงที่ซับซ้อนของรูปแบบคือ เป็น H (s) EST และ H (s),
ซึ่งหมายถึงการเปลี่ยนแปลงในความกว้างที่จะเรียกว่าการทำงานของระบบ ในฐานะที่ได้รับการพัฒนาในการบรรยาย, H (s) เป็นของ Laplace transform กระตุ้นการตอบสนองของระบบ.
Laplace transform และฟูริเยร์แปลงที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดในหลายวิธี เมื่อคือจินตภาพอย่างเดียวคือเมื่อ s = jw, Laplace transform ลดฟูริเยร์แปลง มากกว่าปกติ Laplace transform สามารถมองได้ว่าฟูริเยร์แปลงสัญญาณหลังจากที่เปิดรับแสง
น้ำหนัก nential ได้ถูกนำมาใช้ เพราะน้ำหนักชี้แจงนี้ Laplace transform สามารถมาบรรจบกันสำหรับสัญญาณที่แปลงฟูริเย
ไม่ได้มาบรรจบกัน Laplace transform เป็นหน้าที่ของทั่วไปที่ซับซ้อนของตัวแปรและ
การส่งสัญญาณใด ๆ ให้ Laplace transform ลู่สำหรับช่วงของค่าของ s

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตั้งแต่เราเปิดตัวครั้งแรก Fourier analysis ในการบรรยาย 7 เราได้ต้องอาศัยคุณสมบัติในการวิเคราะห์และการเป็นตัวแทนของสัญญาณและเส้น เวลา -
ค่าคงที่ระบบ การแปลงถูกพัฒนาขึ้นจากแนวคิดของการแสดงเป็นสัญญาณการรวมกันเชิงเส้นของสัญญาณพื้นฐานที่ถูกเลือก
เป็น eigenfunctions เชิงเส้น ระบบค่าคงที่เวลากับ eigenfunctions เลือกเป็นสัญญาณ E J ( t , การแสดงนี้นำไปสู่ฟูเรียร์ สมการ การสังเคราะห์และให้ระบบ LTI จะเป็นตัวแทนจากสเปกตรัมของค่าเป็นฟังก์ชันของ W ที่เป็น การเปลี่ยนแปลงในขนาดที่ใช้ระบบของแต่ละปัจจัยขั้นพื้นฐาน
E "ในปีนี้และต่อไปอีกหลายๆ ครั้งเราแนะนำลักษณะทั่วไปของการแปลงเรียกว่าการแปลงลาปลาซ นอกจากนำไปสู่จำนวนของข้อมูลเชิงลึกใหม่ใช้การแปลงลาปลาซเอา
บางส่วนของข้อ จำกัด ที่พบ กับการแปลงฟูรีเย . โดยเฉพาะ การแปลงลาปลาซการลู่เข้าสำหรับชั้นเรียนที่กว้างขึ้นของสัญญาณมากกว่า
ฟูเรียร์ .
ทั่วไปรุ่น eigenfunctions สำหรับมัลติประกอบด้วยระบบดอทคอม -
เพล็กซ์การยกกำลัง ES ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน การใช้ห้องเรียนทั่วไปนี้ในสถานที่ของการยกกำลังเชิงซ้อน E " นำไปสู่การเป็นตัวแทนของสัญญาณและระบบในแง่ของการแปลงลาปลาซ การตอบสนองของระบบมัลติไปชี้แจงที่ซับซ้อนของรูปแบบ EST คือ H ( s ) EST และ H ( s )
ซึ่งแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงในขนาด จะเรียกว่าเป็นฟังก์ชันระบบ ที่พัฒนาในการบรรยาย , H ( S ) คือ ผลการแปลงลาปลาซผลตอบสนองอิมพัลส์ของระบบ .
การแปลงลาปลาซและการแปลงฟูรีเยจะเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดในหลายวิธี เมื่อ S คือหมดจดจินตนาการ เช่น เมื่อ S = 16 , การแปลงลาปลาซลดเพื่อการแปลง . มากขึ้นโดยทั่วไปการแปลงลาปลาซสามารถถูกมองว่าเป็นฟูเรียร์ของสัญญาณหลังจากงานแสดงสินค้า -
nential น้ำหนักได้ถูกใช้ เพราะน้ำหนักที่ชี้แจงนี้ การแปลงลาปลาซสามารถบรรจบสำหรับสัญญาณที่มีการแปลงฟูรีเย
ไม่ได้มาบรรจบกัน การแปลงลาปลาซเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนทั่วไป
s และใด ๆสัญญาณการแปลงลาปลาซๆสำหรับช่วงของค่าของ S .