Sequences and Series (page 1 of 5)S

Sequences and Series (page 1 of 5)

Sections: Terminology and notation, Basic examples, Arithmetic and geometric sequences, Arithmetic series, Finite and infinite geometric series
Maths in a minute: Pretend primes
Submitted by mf344 on July 8, 2015
Suppose you have a prime number $p$ and some other natural number $x$. Then, no matter what the value of $x$ is, as long as it’s a natural number, you will find that

[ x^ p - x ]
is a multiple of $p.$

This result is known as Fermat's little theorem, not to be confused with Fermat's last theorem.

Let’s try the little theorem with a few examples. For $p=2$ and $x=5$ we have

[ 5^2 - 5 = 25 -5 = 20 = 10 imes 2. ]
For $p = 3$ and $x = 2$ we have

[ 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6 = 2 imes 3. ]
And for $p = 7$ and $x =11$ we have

[ 11^7 - 11 = 19,487,171 - 11 = 19,487,160 = 2,783,880 imes 7. ]
You can try it out for other values of $p$ and $x$ yourself.

Fermat
Pierre de Fermat.

Fermat first mentioned a version of this theorem in a letter in 1640. As with his last theorem, he was a little cryptic about the proof:

"...the proof of which I would send to you, if I were not afraid to be too long."

But unlike with Fermat's last theorem, a proof was published relatively soon; in 1736 by Leonhard Euler.

But does Fermat’s little theorem work the other way around? If you have a natural number $n$ so that for all other natural numbers $x$

$x^ n - x$

is a multiple of $n,$ does this imply that $n$ is a prime?

If this were true, then we could use Fermat’s little theorem to check whether a given number $n$ is prime: pick a bunch of other numbers $x$ at random, and for each of them check whether

[ x^ n - x ]
is a multiple of $n.$ If you find an $x$ for which this isn’t true, then you know for sure that $n$ isn’t prime. If you don’t find one, then provided you have checked sufficiently many $x,$ you can be pretty sure that $n$ is prime. This method is called Fermat’s primality test.

Alas, it doesn’t quite work as well as it could. In 1885 the Czech mathematician Václav Šimerka discovered non-prime numbers that masquerade as primes when it comes to Fermat’s little theorem. The number $561$ is the smallest of them. It’s not prime, but for all other natural numbers $x$ we have that

[ x^{561} - x ]
is a multiple of $561.$

Šimerka also discovered that $1105, 1729, 2465, 2821, 6601$ and $8911$ behave in the same way. Natural numbers that aren't primes but satisfy the relationship stated in Fermat's little theorem are sometimes called pseudoprimes, because they make such a good job of behaving like primes, or Carmichael numbers, after the American Robert Carmichael, who independently found the first one, 561, in 1910.

You can see from the first seven named above that Carmichael numbers aren’t too abundant. There are infinitely many of them, a fact that wasn’t proved until 1994, but they are very sparse. In fact, they get sparser as you move up the number line: if you count the Carmichael numbers between 1 and $10^{21}$, you’ll find that there are only around one in 50 trillion.

Carmichael numbers do hamper Fermat's primality test somewhat, but not so badly as to make it totally unusable. And there are modified versions of the test that work very well. As cans of worms opened by Fermat go, the one involving Carmichael numbers definitely wasn't the worst.

A "sequence" (or "progression", in British English) is an ordered list of numbers; the numbers in this ordered list are called "elements" or "terms". A "series" is the value you get when you add up all the terms of a sequence; this value is called the "sum". For instance, "1, 2, 3, 4" is a sequence, with terms "1", "2", "3", and "4"; the corresponding series is the sum "1 + 2 + 3 + 4", and the value of the series is 10.

A sequence may be named or referred to as "A" or "An". The terms of a sequence are usually named something like "ai" or "an", with the subscripted letter "i" or "n" being the "index" or counter. So the second term of a sequnce might be named "a2" (pronounced "ay-sub-two"), and "a12" would designate the twelfth term.

Note: Sometimes sequences start with an index of n = 0, so the first term is actually a0. Then the second term would be a1. The first listed term in such a case would be called the "zero-eth" term. This method of numbering the terms is used, for example, in Javascript arrays. Don't assume that every sequence and series will start with an index of n = 1.

A sequence A with terms an may also be referred to as "{an}", but contrary to what you may have learned in other contexts, this "set" is actually an ordered list, not an unordered collection of elements. (Your book may use some notation other than what I'm showing here. Unfortunately, notation doesn't yet seem to have been entirely standardized for this topic. Just try always to make sure, whatever resource you're using, that you are clear on the definitions of that resource's terms and symbols.)

ADVERTISEMENT

To indicate a series, we use either the Latin capital letter "S" or else the Greek letter corresponding to the capital "S", which is called "sigma" (SIGG-muh):
sigma

To show the summation of, say, the first through tenth terms of a sequence {an}, we would write the following:

sigma; "n = 1" below, "10" above, and "a-sub-n" to the right

The "n = 1" is the "lower index", telling us that "n" is the counter and that the counter starts at "1"; the "10" is the "upper index", telling us that a10 will be the last term added in this series; "an" stands for the terms that we'll be adding. The whole thing is pronounced as "the sum, from n equals one to ten, of a-sub-n". The summation symbol above means the following:

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10

The written-out form above is called the "expanded" form of the series, in contrast with the more compact "sigma" notation. Copyright © Elizabeth Stapel 2006-2011 All Rights Reserved
Any letter can be used for the index, but i, j, k, and n are probably used more than any other letters.

Sequences and series are most useful when there is a formula for their terms. For instance, if the formula for an is "2n + 3", then you can find the value of any term by plugging the value of n into the formula. For instance, a8 = 2(8) + 3 = 16 + 3 = 19. In words, "an = 2n + 3" can be read as "the n-th term is given by two-enn plus three". The word "n-th" is pronounced "ENN-eth", and just means "the generic term an, where I haven't yet specified the value of n."

Of course, there doesn't have to be a formula for the n-th term of a sequence. The values of the terms can be utterly random, having no relationship between n and the value of an. But sequences with random terms are hard to work with and are less useful in general, so you're not likely to see many of them in your classes.

Sequences and Series (page 1 of 5)

Sections: Terminology and notation, Basic examples, Arithmetic and geometric sequences, Arithmetic series, Finite and infinite geometric series
Maths in a minute: Pretend primes
Submitted by mf344 on July 8, 2015
Suppose you have a prime number $p$ and some other natural number $x$. Then, no matter what the value of $x$ is, as long as it’s a natural number, you will find that

[ x^ p - x ]    
is a multiple of $p.$

This result is known as Fermat's little theorem, not to be confused with Fermat's last theorem.

Let’s try the little theorem with a few examples. For $p=2$ and $x=5$ we have

[ 5^2 - 5 = 25 -5 = 20 = 10 	imes 2. ]    
For $p = 3$ and $x = 2$ we have

[ 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6 = 2 	imes 3. ]    
And for $p = 7$ and $x =11$ we have

[ 11^7 - 11 = 19,487,171 - 11 = 19,487,160 = 2,783,880 	imes 7. ]    
You can try it out for other values of $p$ and $x$ yourself.

Fermat
Pierre de Fermat.

Fermat first mentioned a version of this theorem in a letter in 1640. As with his last theorem, he was a little cryptic about the proof:

"...the proof of which I would send to you, if I were not afraid to be too long."

But unlike with Fermat's last theorem, a proof was published relatively soon; in 1736 by Leonhard Euler.

But does Fermat’s little theorem work the other way around? If you have a natural number $n$ so that for all other natural numbers $x$

$x^ n - x$

is a multiple of $n,$ does this imply that $n$ is a prime?

If this were true, then we could use Fermat’s little theorem to check whether a given number $n$ is prime: pick a bunch of other numbers $x$ at random, and for each of them check whether

[ x^ n - x ]    
is a multiple of $n.$ If you find an $x$ for which this isn’t true, then you know for sure that $n$ isn’t prime. If you don’t find one, then provided you have checked sufficiently many $x,$ you can be pretty sure that $n$ is prime. This method is called Fermat’s primality test.

Alas, it doesn’t quite work as well as it could. In 1885 the Czech mathematician Václav Šimerka discovered non-prime numbers that masquerade as primes when it comes to Fermat’s little theorem. The number $561$ is the smallest of them. It’s not prime, but for all other natural numbers $x$ we have that

[ x^{561} - x ]    
is a multiple of $561.$

Šimerka also discovered that $1105, 1729, 2465, 2821, 6601$ and $8911$ behave in the same way. Natural numbers that aren't primes but satisfy the relationship stated in Fermat's little theorem are sometimes called pseudoprimes, because they make such a good job of behaving like primes, or Carmichael numbers, after the American Robert Carmichael, who independently found the first one, 561, in 1910.

You can see from the first seven named above that Carmichael numbers aren’t too abundant. There are infinitely many of them, a fact that wasn’t proved until 1994, but they are very sparse. In fact, they get sparser as you move up the number line: if you count the Carmichael numbers between 1 and $10^{21}$, you’ll find that there are only around one in 50 trillion.

Carmichael numbers do hamper Fermat's primality test somewhat, but not so badly as to make it totally unusable. And there are modified versions of the test that work very well. As cans of worms opened by Fermat go, the one involving Carmichael numbers definitely wasn't the worst.

A "sequence" (or "progression", in British English) is an ordered list of numbers; the numbers in this ordered list are called "elements" or "terms". A "series" is the value you get when you add up all the terms of a sequence; this value is called the "sum". For instance, "1, 2, 3, 4" is a sequence, with terms "1", "2", "3", and "4"; the corresponding series is the sum "1 + 2 + 3 + 4", and the value of the series is 10.

A sequence may be named or referred to as "A" or "An". The terms of a sequence are usually named something like "ai" or "an", with the subscripted letter "i" or "n" being the "index" or counter. So the second term of a sequnce might be named "a2" (pronounced "ay-sub-two"), and "a12" would designate the twelfth term.

Note: Sometimes sequences start with an index of n = 0, so the first term is actually a0. Then the second term would be a1. The first listed term in such a case would be called the "zero-eth" term. This method of numbering the terms is used, for example, in Javascript arrays. Don't assume that every sequence and series will start with an index of n = 1.

A sequence A with terms an may also be referred to as "{an}", but contrary to what you may have learned in other contexts, this "set" is actually an ordered list, not an unordered collection of elements. (Your book may use some notation other than what I'm showing here. Unfortunately, notation doesn't yet seem to have been entirely standardized for this topic. Just try always to make sure, whatever resource you're using, that you are clear on the definitions of that resource's terms and symbols.)

To indicate a series, we use either the Latin capital letter "S" or else the Greek letter corresponding to the capital "S", which is called "sigma" (SIGG-muh):
sigma

To show the summation of, say, the first through tenth terms of a sequence {an}, we would write the following:

sigma; "n = 1" below, "10" above, and "a-sub-n" to the right

The "n = 1" is the "lower index", telling us that "n" is the counter and that the counter starts at "1"; the "10" is the "upper index", telling us that a10 will be the last term added in this series; "an" stands for the terms that we'll be adding. The whole thing is pronounced as "the sum, from n equals one to ten, of a-sub-n". The summation symbol above means the following:

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10

The written-out form above is called the "expanded" form of the series, in contrast with the more compact "sigma" notation. Copyright © Elizabeth Stapel 2006-2011 All Rights Reserved
Any letter can be used for the index, but i, j, k, and n are probably used more than any other letters.

Sequences and series are most useful when there is a formula for their terms. For instance, if the formula for an is "2n + 3", then you can find the value of any term by plugging the value of n into the formula. For instance, a8 = 2(8) + 3 = 16 + 3 = 19. In words, "an = 2n + 3" can be read as "the n-th term is given by two-enn plus three". The word "n-th" is pronounced "ENN-eth", and just means "the generic term an, where I haven't yet specified the value of n."

Of course, there doesn't have to be a formula for the n-th term of a sequence. The values of the terms can be utterly random, having no relationship between n and the value of an. But sequences with random terms are hard to work with and are less useful in general, so you're not likely to see many of them in your classes.

0/5000

จาก: -

เป็น: -

ผลลัพธ์ (ไทย) 1: [สำเนา]

คัดลอก!

Sequences and Series (page 1 of 5)Sections: Terminology and notation, Basic examples, Arithmetic and geometric sequences, Arithmetic series, Finite and infinite geometric seriesMaths in a minute: Pretend primesSubmitted by mf344 on July 8, 2015Suppose you have a prime number $p$ and some other natural number $x$. Then, no matter what the value of $x$ is, as long as it’s a natural number, you will find that [ x^ p - x ] is a multiple of $p.$This result is known as Fermat's little theorem, not to be confused with Fermat's last theorem.Let’s try the little theorem with a few examples. For $p=2$ and $x=5$ we have [ 5^2 - 5 = 25 -5 = 20 = 10 imes 2. ] For $p = 3$ and $x = 2$ we have [ 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6 = 2 imes 3. ] And for $p = 7$ and $x =11$ we have [ 11^7 - 11 = 19,487,171 - 11 = 19,487,160 = 2,783,880 imes 7. ] You can try it out for other values of $p$ and $x$ yourself.FermatPierre de Fermat.Fermat first mentioned a version of this theorem in a letter in 1640. As with his last theorem, he was a little cryptic about the proof:"...the proof of which I would send to you, if I were not afraid to be too long."But unlike with Fermat's last theorem, a proof was published relatively soon; in 1736 by Leonhard Euler.But does Fermat’s little theorem work the other way around? If you have a natural number $n$ so that for all other natural numbers $x$$x^ n - x$is a multiple of $n,$ does this imply that $n$ is a prime?If this were true, then we could use Fermat’s little theorem to check whether a given number $n$ is prime: pick a bunch of other numbers $x$ at random, and for each of them check whether [ x^ n - x ] is a multiple of $n.$ If you find an $x$ for which this isn’t true, then you know for sure that $n$ isn’t prime. If you don’t find one, then provided you have checked sufficiently many $x,$ you can be pretty sure that $n$ is prime. This method is called Fermat’s primality test.Alas, it doesn’t quite work as well as it could. In 1885 the Czech mathematician Václav Šimerka discovered non-prime numbers that masquerade as primes when it comes to Fermat’s little theorem. The number $561$ is the smallest of them. It’s not prime, but for all other natural numbers $x$ we have that [ x^{561} - x ] is a multiple of $561.$Šimerka also discovered that $1105, 1729, 2465, 2821, 6601$ and $8911$ behave in the same way. Natural numbers that aren't primes but satisfy the relationship stated in Fermat's little theorem are sometimes called pseudoprimes, because they make such a good job of behaving like primes, or Carmichael numbers, after the American Robert Carmichael, who independently found the first one, 561, in 1910.You can see from the first seven named above that Carmichael numbers aren’t too abundant. There are infinitely many of them, a fact that wasn’t proved until 1994, but they are very sparse. In fact, they get sparser as you move up the number line: if you count the Carmichael numbers between 1 and $10^{21}$, you’ll find that there are only around one in 50 trillion.Carmichael numbers do hamper Fermat's primality test somewhat, but not so badly as to make it totally unusable. And there are modified versions of the test that work very well. As cans of worms opened by Fermat go, the one involving Carmichael numbers definitely wasn't the worst.A "sequence" (or "progression", in British English) is an ordered list of numbers; the numbers in this ordered list are called "elements" or "terms". A "series" is the value you get when you add up all the terms of a sequence; this value is called the "sum". For instance, "1, 2, 3, 4" is a sequence, with terms "1", "2", "3", and "4"; the corresponding series is the sum "1 + 2 + 3 + 4", and the value of the series is 10.A sequence may be named or referred to as "A" or "An". The terms of a sequence are usually named something like "ai" or "an", with the subscripted letter "i" or "n" being the "index" or counter. So the second term of a sequnce might be named "a2" (pronounced "ay-sub-two"), and "a12" would designate the twelfth term.Note: Sometimes sequences start with an index of n = 0, so the first term is actually a0. Then the second term would be a1. The first listed term in such a case would be called the "zero-eth" term. This method of numbering the terms is used, for example, in Javascript arrays. Don't assume that every sequence and series will start with an index of n = 1.
A sequence A with terms an may also be referred to as "{an}", but contrary to what you may have learned in other contexts, this "set" is actually an ordered list, not an unordered collection of elements. (Your book may use some notation other than what I'm showing here. Unfortunately, notation doesn't yet seem to have been entirely standardized for this topic. Just try always to make sure, whatever resource you're using, that you are clear on the definitions of that resource's terms and symbols.)

ADVERTISEMENT

To indicate a series, we use either the Latin capital letter "S" or else the Greek letter corresponding to the capital "S", which is called "sigma" (SIGG-muh):
sigma

To show the summation of, say, the first through tenth terms of a sequence {an}, we would write the following:

sigma; "n = 1" below, "10" above, and "a-sub-n" to the right

The "n = 1" is the "lower index", telling us that "n" is the counter and that the counter starts at "1"; the "10" is the "upper index", telling us that a10 will be the last term added in this series; "an" stands for the terms that we'll be adding. The whole thing is pronounced as "the sum, from n equals one to ten, of a-sub-n". The summation symbol above means the following:

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10

The written-out form above is called the "expanded" form of the series, in contrast with the more compact "sigma" notation. Copyright © Elizabeth Stapel 2006-2011 All Rights Reserved
Any letter can be used for the index, but i, j, k, and n are probably used more than any other letters.

Sequences and series are most useful when there is a formula for their terms. For instance, if the formula for an is "2n + 3", then you can find the value of any term by plugging the value of n into the formula. For instance, a8 = 2(8) + 3 = 16 + 3 = 19. In words, "an = 2n + 3" can be read as "the n-th term is given by two-enn plus three". The word "n-th" is pronounced "ENN-eth", and just means "the generic term an, where I haven't yet specified the value of n."

Of course, there doesn't have to be a formula for the n-th term of a sequence. The values of the terms can be utterly random, having no relationship between n and the value of an. But sequences with random terms are hard to work with and are less useful in general, so you're not likely to see many of them in your classes.

การแปล กรุณารอสักครู่..

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:[สำเนา]

คัดลอก!

ลำดับและซีรีส์ (หน้า 1 ของ 5) หมวด: คำศัพท์และสัญกรณ์ตัวอย่างพื้นฐานคณิตศาสตร์และลำดับเรขาคณิตชุดคณิตศาสตร์ จำกัด และอนันต์ชุดเรขาคณิตคณิตศาสตร์ในนาที: แกล้งเฉพาะSubmitted by mf344 ใน 8 กรกฎาคม 2015 สมมติว่าคุณมี จำนวนเฉพาะ $ $ พีและบางส่วนจำนวนธรรมชาติอื่น ๆ $ x $ จากนั้นไม่ว่าสิ่งที่ค่าของ $ x $ เป็นไม่มีตราบใดที่มันเป็นจำนวนธรรมชาติ, คุณจะพบว่า [x ^ พี - x ] มีหลาย $ พี $. ผลที่ได้นี้เป็นที่รู้จักกันทฤษฎีบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ของแฟร์มาต์ เพื่อไม่ให้สับสนกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์. ลองทฤษฎีบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ด้วยตัวอย่างไม่กี่ ราคา $ p = 2 $ และ $ x = 5 $ เราได้ [5 ^ 2-5 = 25 -5 = 20 = 10 times 2 ] ราคา $ p = 3 $ และ $ x = 2 $ เรามี [2 ^ 3-2 = 8-2 = 6 = 2 times 3 ] และสำหรับ $ p = 7 $ และ $ x = 11 $ เราได้ [11 ^ 7-11 = 19487171 - 11 = 19,487,160 = 2,783,880 times 7 ] คุณสามารถพยายามที่จะออกค่าอื่น ๆ ของพี $ $ และ $ x $ ตัวเอง. แฟร์มาต์แยร์เดอแฟร์มาต์. แฟร์มาต์แรกที่กล่าวถึงรุ่นของทฤษฎีบทนี้ในจดหมายใน 1640 เช่นเดียวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของเขา เป็นเพียงเล็กน้อยที่เป็นความลับเกี่ยวกับการพิสูจน์: "... หลักฐานของการที่ผมจะส่งให้คุณถ้าผมไม่กลัวที่จะมีความยาวเกินไป." แต่แตกต่างกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์, หลักฐานถูกตีพิมพ์ที่ค่อนข้างเร็ว ๆ นี้; ใน 1736 โดย Leonhard ออยเลอร์. แต่ไม่ทฤษฎีบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ของแฟร์มาต์ทำงานวิธีอื่น ๆ ? หากคุณมีจำนวนธรรมชาติ $ n $ เพื่อให้สำหรับทุกจำนวนธรรมชาติอื่น ๆ $ x $ $ x ^ n - x $? มีหลาย $ n ที่ $ นี้ไม่ได้หมายความว่า $ $ n เป็นนายกถ้าเรื่องนี้เป็นจริงแล้วเราสามารถใช้ทฤษฎีบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ของแฟร์มาต์เพื่อตรวจสอบว่าเป็นจำนวน $ $ n ได้รับเป็นสำคัญ: เลือกพวงของตัวเลขอื่น ๆ $ x $ ที่สุ่มและสำหรับแต่ละของพวกเขาตรวจสอบว่า [x ^ n - x ] เป็นหลาย ๆ ของ $ n. $ หากคุณพบ $ x $ ซึ่งไม่เป็นความจริงแล้วคุณทราบว่า $ $ n ไม่ได้เป็นนายก ถ้าคุณไม่พบหนึ่งแล้วให้คุณได้ตรวจสอบหลายอย่างพอเพียง $ x, $ คุณสามารถสวยแน่ใจว่า $ n $ เป็นสำคัญ วิธีการนี้เรียกว่า primality ทดสอบของแฟร์มาต์. อนิจจามันไม่ได้ค่อนข้างทำงานได้ดีเท่าที่ควร ในปี 1885 นักคณิตศาสตร์เช็กVáclavŠimerkaค้นพบตัวเลขที่ไม่ใช่นายกที่ปลอมตัวเป็นจำนวนเฉพาะเมื่อมันมาถึงทฤษฎีบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ของแฟร์มาต์ จำนวน $ 561 $ เป็นที่เล็กที่สุดของพวกเขา มันไม่สำคัญ แต่สำหรับจำนวนธรรมชาติอื่น ๆ $ x $ เรามีที่ [x ^ {561} - x ] เป็นหลายของ $ 561. $ Šimerkaยังพบว่า $ 1,105, 1,729, 2,465, 2,821, 6,601 $ และ $ 8,911 $ ประพฤติในทางเดียวกัน หมายเลขธรรมชาติที่ไม่เฉพาะ แต่ตอบสนองความสัมพันธ์ที่ระบุไว้ในทฤษฎีบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ของแฟร์มาต์บางครั้งเรียกว่า pseudoprimes เพราะพวกเขาทำเช่นงานที่ดีของทำตัวเหมือนช่วงเวลาหรือตัวเลขคาร์ไมเคิหลังจากที่ชาวอเมริกันโรเบิร์ตคาร์ไมเคิที่เป็นอิสระพบคนแรก 561 ในปี 1910 คุณสามารถดูจากเจ็ดครั้งแรกชื่อข้างต้นว่าตัวเลขร์ไมเคิลไม่ได้มากมายเกินไป มีอนันต์มากของพวกเขาเป็นจริงที่ไม่ได้พิสูจน์จนถึงปี 1994 แต่พวกเขาจะเบาบางมาก ในความเป็นจริงพวกเขาได้รับเบาบางขณะที่คุณย้ายขึ้นเส้นจำนวน: ถ้าคุณนับตัวเลขคาร์ไมเคิระหว่างวันที่ 1 และ $ 10 ^ {21} $ คุณจะพบว่ามีเพียงประมาณหนึ่งใน 50000000000000. หมายเลขคาร์ไมเคิไม่ขัดขวาง primality ของแฟร์มาต์ ทดสอบบ้าง แต่ไม่ได้จึงไม่ดีที่จะทำให้มันใช้ไม่ได้ทั้งหมด และมีการปรับเปลี่ยนรุ่นได้รับการทดสอบที่ทำงานได้เป็นอย่างดี ในฐานะที่เป็นกระป๋องของเวิร์มเปิดโดยแฟร์มาต์ไปอย่างใดอย่างหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขคาร์ไมเคิแน่นอนไม่ได้เลวร้ายที่สุด. A "ตามลำดับ" (หรือ "ความก้าวหน้า" ในอังกฤษ) เป็นรายการสั่งซื้อของตัวเลข; ตัวเลขในรายการสั่งซื้อนี้จะเรียกว่า "องค์ประกอบ" หรือ "ข้อตกลง" A "ซีรีส์" เป็นค่าที่คุณได้รับเมื่อคุณเพิ่มเงื่อนไขทั้งหมดของลำดับ; ค่านี้จะเรียกว่า "ผลรวม" ยกตัวอย่างเช่น "1, 2, 3, 4" เป็นลำดับที่มีคำว่า "1", "2", "3" และ "4"; ชุดที่สอดคล้องกันคือผลรวม "1 + 2 + 3 + 4" และมูลค่าของชุดคือ 10 ลำดับอาจจะมีชื่อหรือเรียกว่า "A" หรือ "เป็น" เงื่อนไขของลำดับมักจะตั้งชื่อบางอย่างเช่น "ไอ" หรือ "เป็น" ด้วยตัวอักษร subscripted "ฉัน" หรือ "n" เป็น "ดัชนี" หรือเคาน์เตอร์ ดังนั้นในระยะที่สองของ sequnce อาจจะมีชื่อ "a2" (ออกเสียงว่า "เฮลโลย่อยสอง") และ "a12" จะกำหนดระยะสิบสอง. หมายเหตุ: บางครั้งลำดับเริ่มต้นด้วยดัชนีของ n = 0 ดังนั้นแรก ระยะ a0 จริง จากนั้นในระยะที่สองจะเป็น a1 คำแรกที่จดทะเบียนในกรณีเช่นนี้จะเรียกว่า "ศูนย์ผลประโยชน์ทับซ้อน" ระยะ วิธีการนับข้อตกลงนี้จะถูกใช้สำหรับตัวอย่างเช่นในอาร์เรย์จาวาสคริ ไม่คิดว่าทุกลำดับและชุดจะเริ่มต้นด้วยดัชนีของ n = 1 ลำดับที่มีเงื่อนไขยังอาจจะเรียกว่า "{}" แต่ตรงกันข้ามกับสิ่งที่คุณอาจได้เรียนรู้ในบริบทอื่น ๆ นี้ "ตั้ง" เป็นจริงรายการสั่งซื้อที่ไม่ได้เรียงลำดับคอลเลกชันขององค์ประกอบ (หนังสือของคุณอาจใช้เครื่องหมายอื่น ๆ บางกว่าสิ่งที่ฉันแสดงที่นี่. แต่น่าเสียดายที่สัญกรณ์ยังไม่ได้ดูเหมือนจะได้รับมาตรฐานทั้งหมดสำหรับหัวข้อนี้. เพียงแค่พยายามเสมอที่จะให้แน่ใจว่าทรัพยากรสิ่งที่คุณกำลังใช้ที่คุณมี ที่ชัดเจนเกี่ยวกับคำจำกัดความของคำทรัพยากรและสัญลักษณ์.) โฆษณาเพื่อแสดงให้เห็นว่าชุดที่เราใช้ทั้งตัวอักษรละติน "S" หรืออื่น ๆ ที่ตัวอักษรกรีกที่สอดคล้องกับทุน "S" ซึ่งเรียกว่า "ซิก" (SIGG- muh): ซิกในการแสดงผลรวมของการพูดเป็นครั้งแรกผ่านแง่หนึ่งในสิบของลำดับ {} เราจะเขียนต่อไปนี้: ซิก; "n = 1" ด้านล่าง "10" ข้างต้นและที่ "ย่อย-n" ไปทางขวาว่า"n = 1" คือ "ดัชนีที่ต่ำกว่า" บอกเราว่า "n" เป็นเคาน์เตอร์และที่เริ่มนับ ที่ "1"; ว่า "10" คือ "ดัชนีบน" บอกเราว่า a10 จะเป็นระยะสุดท้ายที่เพิ่มเข้ามาในซีรีส์นี้ "เป็น" ย่อมาจากคำที่เราจะเพิ่ม สิ่งที่ทั้งจะออกเสียงเป็น "ผลรวมจาก n เท่ากับ 1-10, ของย่อย-n" สัญลักษณ์บวกดังกล่าวข้างต้นหมายความว่าต่อไปนี้: a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 รูปแบบที่เขียนไว้ข้างต้นเรียกว่า "ขยาย" รูปแบบของซีรีส์ในทางตรงกันข้ามกับขนาดกะทัดรัดมากขึ้น "ซิก" สัญกรณ์ ลิขสิทธิ์©ลิซาเบ ธ Stapel 2006-2011 สงวนลิขสิทธิ์จดหมายใดๆ ที่สามารถนำมาใช้สำหรับดัชนี แต่ฉัน j, k และ n อาจจะถูกนำมาใช้มากกว่าตัวอักษรอื่น ๆ . ลำดับและชุดมีประโยชน์มากที่สุดเมื่อมีสูตรของพวกเขา เงื่อนไข ตัวอย่างเช่นถ้าสูตรสำหรับเป็น "2n + 3" จากนั้นคุณสามารถหาค่าของระยะใด ๆ โดยเสียบค่า n ลงในสูตรที่ ยกตัวอย่างเช่น a8 = 2 (8) + 3 = 16 + 3 = 19 ในคำ "ซึ่งเป็น 2n = + 3" สามารถอ่านได้ว่า "ระยะ n-TH จะได้รับโดยสองในสาม enn บวก" คำว่า "n-มะ" เด่นชัด "ENN ลำดับ" และเพียงแค่หมายความว่า "เป็นคำทั่วไปที่ฉันไม่ได้ระบุ แต่ค่าของ n." แน่นอนว่ายังไม่จำเป็นต้องเป็นสูตรสำหรับ ระยะ n-TH ลำดับ ค่าของข้อตกลงที่สามารถจะสุ่มอย่างเต็มที่มีความสัมพันธ์ระหว่าง n และความคุ้มค่าของไม่มี แต่ลำดับที่มีเงื่อนไขการสุ่มยากที่จะทำงานด้วยและมีประโยชน์น้อยโดยทั่วไปเพื่อให้คุณไม่น่าจะเห็นมากของพวกเขาในชั้นเรียนของคุณ

การแปล กรุณารอสักครู่..

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:[สำเนา]

คัดลอก!

เหมืองเหมืองเหมืองเหมืองเหมืองเหมืองเหมืองเหมืองเหมืองเหมืองเหมืองเหมืองเหมือง

การแปล กรุณารอสักครู่..

ภาษาอื่น ๆ

การสนับสนุนเครื่องมือแปลภาษา: กรีก, กันนาดา, กาลิเชียน, คลิงออน, คอร์สิกา, คาซัค, คาตาลัน, คินยารวันดา, คีร์กิซ, คุชราต, จอร์เจีย, จีน, จีนดั้งเดิม, ชวา, ชิเชวา, ซามัว, ซีบัวโน, ซุนดา, ซูลู, ญี่ปุ่น, ดัตช์, ตรวจหาภาษา, ตุรกี, ทมิฬ, ทาจิก, ทาทาร์, นอร์เวย์, บอสเนีย, บัลแกเรีย, บาสก์, ปัญจาป, ฝรั่งเศส, พาชตู, ฟริเชียน, ฟินแลนด์, ฟิลิปปินส์, ภาษาอินโดนีเซี, มองโกเลีย, มัลทีส, มาซีโดเนีย, มาราฐี, มาลากาซี, มาลายาลัม, มาเลย์, ม้ง, ยิดดิช, ยูเครน, รัสเซีย, ละติน, ลักเซมเบิร์ก, ลัตเวีย, ลาว, ลิทัวเนีย, สวาฮิลี, สวีเดน, สิงหล, สินธี, สเปน, สโลวัก, สโลวีเนีย, อังกฤษ, อัมฮาริก, อาร์เซอร์ไบจัน, อาร์เมเนีย, อาหรับ, อิกโบ, อิตาลี, อุยกูร์, อุสเบกิสถาน, อูรดู, ฮังการี, ฮัวซา, ฮาวาย, ฮินดี, ฮีบรู, เกลิกสกอต, เกาหลี, เขมร, เคิร์ด, เช็ก, เซอร์เบียน, เซโซโท, เดนมาร์ก, เตลูกู, เติร์กเมน, เนปาล, เบงกอล, เบลารุส, เปอร์เซีย, เมารี, เมียนมา (พม่า), เยอรมัน, เวลส์, เวียดนาม, เอสเปอแรนโต, เอสโทเนีย, เฮติครีโอล, แอฟริกา, แอลเบเนีย, โคซา, โครเอเชีย, โชนา, โซมาลี, โปรตุเกส, โปแลนด์, โยรูบา, โรมาเนีย, โอเดีย (โอริยา), ไทย, ไอซ์แลนด์, ไอร์แลนด์, การแปลภาษา.