Let S = {x1, . . . , xn} be a set o

Let S = {x1, . . . , xn} be a set of n distinct positive integers. For x, y ∈ S and y < x, we
say the y is a greatest-type divisor of x in S if y | x and it can be deduced that z = y
from y | z, z | x, z < x and z ∈ S. For x ∈ S, let GS (x) denote the set of all greatesttype
divisors of x in S. For any arithmetic function f , let (f (xi, xj)) denote the n × n matrix
having f evaluated at the greatest common divisor (xi, xj) of xi and xj as its i, j-entry and
let (f [xi, xj]) denote the n × n matrix having f evaluated at the least common multiple
[xi, xj] of xi and xj as its i, j-entry. In this paper, we assume that S is a gcd-closed set and
maxx∈S {|GS (x)|} = 1. We show that if f is a multiplicative function such that (f ∗μ)(d) ∈ Z
whenever d|lcm(S) and f (a)|f (b) whenever a|b and a, b ∈ S and (f (xi, xj)) is nonsingular,
then the matrix (f (xi, xj)) divides the matrix (f [xi, xj]) in the ring Mn(Z) of n × n matrices
over the integers. As a consequence, we show that (f (xi, xj)) divides (f [xi, xj]) in the ring
Mn(Z) if (f ∗ μ)(d) ∈ Z whenever d|lcm(S) and f is a completely multiplicative function
such that (f (xi, xj)) is nonsingular. This confirms a conjecture of Hong raised in 2004.
© 2011 Elsevier B.V. All rights reserved.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ให้ S = {x 1,..., xn } เป็นชุดของจำนวนเต็มบวก n แตกต่างกัน สำหรับ x, y ∈ S และ y < x เราy เป็น ตัวหารมากที่สุดชนิดของ x ใน S ถ้า y | x และมันสามารถ deduced ที่ z = yจาก y | z, z | x, z < x และ z ∈ s ได้ ให้ x ∈ S, GS (x) แสดงการตั้งค่าของ greatesttype ทั้งหมดหารของ x ใน s ได้ สำหรับ f ใด ๆ ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ให้ (f (xi, xj)) แสดงเมตริกซ์ n n ×มีประเมินที่ตัวหารร่วม (xi, xj) อานและ xj เป็นของ i, f j รายการ และให้ (f [xi, xj]) แสดงเมตริกซ์ n n ×มี f ประเมินที่คูณร่วมน้อย[xi, xj] อานและ xj เป็นของ i, j-รายการ ในกระดาษนี้ เราสมมติว่า S เป็นชุดปิด gcd และmaxx∈S {กรุนด์ฟอส GS (x) | } = 1 เราแสดงว่า f ว่าเป็นฟังก์ชันเชิงการคูณดังกล่าวนั้น (f ∗μ)(d) ∈ Zเมื่อ d|lcm (S) และ f (a) |f (b) เมื่อใดก็ตาม a|b และ a, b ∈ S (f (xi, xj)) เป็น nonsingularแล้ว เมทริกซ์ (f (xi, xj)) แบ่งเมทริกซ์ (f [xi, xj]) ในแหวน Mn(Z) ของเมทริกซ์ n n ×มากกว่าจำนวนเต็ม เป็นผล เราแสดงที่ (f (xi, xj)) แบ่ง (f [xi, xj]) ในวงแหวนMn(Z) ถ้า (f หมาย∗ μ)(d) ∈ Z เมื่อ d|lcm (S) และ f เป็นฟังก์ชันคูณสมบูรณ์ซึ่ง (f (xi, xj)) เพียง nonsingular นี้ยืนยันข้อความคาดการณ์ของ Hong ใน 2004© 2011 Elsevier b.v สงวนลิขสิทธิ์

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ให้ S = {x1, . . , xn} เป็นชุดของ n จำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกัน สำหรับ x, y ∈ S y และ <x
เราพูดy ที่เป็นตัวหารที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของชนิดใน S x y ถ้า | x และสามารถอนุมานได้ว่าซี y =
จาก Y | ซีซี | x, ซี <z และ x ∈เอสสำหรับ x ∈ S ให้ GS (x) แสดงว่าชุดของทุก greatesttype
หารของ x ในเอสสำหรับฟังก์ชัน f คณิตศาสตร์ใด ๆ ให้ (f (ซีอาน XJ)) แสดงที่ n × n
เมทริกซ์ที่มีf ประเมินที่ตัวหารร่วมมาก (ซีอาน XJ) ของจินและ XJ
ที่ผมของเจรายการและให้(ฉ [ซีอาน XJ]) แสดง n ×เมทริกซ์ที่ n มี F ประเมินอย่างน้อยที่พบบ่อย หลาย
[ซีอาน XJ] ของจินและ XJ ที่ผมของเจรายการ ในบทความนี้เราคิดว่า S เป็นชุด
GCD-ปิดและmaxx∈S {| GS (x) |} = 1 เราแสดงให้เห็นว่าถ้า f เป็นฟังก์ชันการคูณเช่นนั้น (ฉ * μ) (ง) ∈ Z
เมื่อใดก็ตามที่ d | LCM (S) และ f (ก) | f (ข) เมื่อใดก็ตามที่ A | B และ A, B ∈ S และ (f (ซีอาน XJ)) เป็น nonsingular,
แล้วเมทริกซ์ (f (ซีอาน XJ)) แบ่งเมทริกซ์ (ฉ [ซีอาน XJ]) ในแหวน Mn (Z) ของ n × n
การฝึกอบรมมากกว่าจำนวนเต็ม เป็นผลให้เราแสดงให้เห็นว่า (f (ซีอาน XJ)) แบ่ง (ฉ [ซีอาน XJ]) ในแหวน
Mn (Z) ถ้า (ฉ * μ) (ง) ∈ Z เมื่อใดก็ตามที่ d | LCM (S) และ
ฉเป็นฟังก์ชั่นการคูณสมบูรณ์เช่นที่(f (ซีอาน XJ)) เป็น nonsingular นี้ยืนยันการคาดเดาของฮ่องกงในปี 2004
ยก© 2011 Elsevier BV สงวนลิขสิทธิ์