through the change of variable x′=

through the change of variable x
′
= x + 1 3a. This change of variable appears for the first time in two anonymous florentine manuscripts near the end of the 14th century. If only positive coefficients and positive values of x are admitted, there are three cases, all collectively known as depressed cubic:
(a) x3 + px = q (b) x3 = px + q (c) x3 + q = px
4. The first to solve equation (1) (and maybe (2) and (3)) was Scipione del Ferro, professor of U. of Bologna until 1526, when he died. In his deathbed, del Ferro confided the formula to his pupil Antonio Maria Fiore. Fiore challenged Tartaglia to a mathematical contest. The night before the contest, Tartaglia rediscovered the formula and won the contest. Tartaglia in turn told the formula (but not the proof) to Gerolamo Cardano, who signed an oath to secrecy. From knowledge of the formula, Cardano was able to reconstruct the proof. Later, Cardano learned that del Ferro had the formula and verified this by interviewing relatives who gave him access to del Ferro’s papers. Cardano then proceeded to publish the formula for all three cases in his Ars Magna (1545). It is noteworthy that Cardano mentioned del Ferro as first author, and Tartaglia as obtaining the formula later in independent manner.
5. A difficulty in case (2) that was not present in the solution to (1) is the possibility of having the square root of a negative number appear in the numerical expression given by the formula. Here is the derivation: Substitute x = u + v into x3 = px + q to obtain
x3
−px = u3 + v3 + 3uv(u + v)−p(u + v) = q Set 3uv = p above to obtain u3 +v3 = q and also u3v3 = (p/3)3. That is, the sum and the product of two cubes is known. This is used to form a quadratic equation which is readily solved: x = u + v = 3 s1 2 q + w + 3 s1 2 q −w where w =s(1 2 q)2 − ( 1 3 p)3 The so-called casus irreducibilis is when the expression under the radical symbol in w is negative. Cardano avoids discussing this case in Ars Magna. Perhaps, in his mind, avoiding it was justified by the (incorrect) correspondence between the casus irreducibilis and the lack of a real, positive solution for the cubic. 6. According to [9], “Cardano was the first to introduce complex numbers a + √ −b into algebra, but had misgivings about it.” In Chapter 37 of Ars Magna the following problem is posed: “To divide 10 in two parts, the product of which is 40”.
It is clear that this case is impossible. Nevertheless, we shall work thus: We divide 10 into two equal parts, making each 5. These we square, making 25. Subtract 40, if you will, from the 25 thus produced, as I showed you in the chapter on operations in the sixth book leaving a remainder of -15, the square

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ผ่านการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร x′= x + 1 3a การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรเวลา first ใน florentine แบบต้นฉบับที่สองใกล้สิ้นสุดศตวรรษที่ 14 แล้ว ถ้าเฉพาะค่าบวกของ x และ coefficients บวกจะยอมรับ มีสามกรณี โดยรวมทั้งหมดเรียกว่าหดหู่ลูกบาศก์:(ก) x 3 + px = q (b) x 3 = px + q q 3 x (c) = px4 first.การแก้สมการ (1) (และบางที (2) และ (3)) ถูก Scipione del Ferro ศาสตราจารย์ของสหรัฐโบโลญญาจน 1526 เมื่อเขาเสียชีวิต ในเขา deathbed, del Ferro confided สูตรเพื่อนักเรียนของเขาที่ Antonio มาเรียฟิออเร่ ฟิออเร่ท้าทาย Tartaglia การแข่งขันคณิตศาสตร์ คืนก่อนการประกวด Tartaglia rediscovered สูตร และชนะการประกวด Tartaglia จะบอกสูตร (แต่ไม่หลักฐาน) ให้ Gerolamo Cardano ผู้รับรองสาบานเพื่อความลับ จากความรู้ของสูตร Cardano ได้สร้างหลักฐาน ภายหลัง Cardano รู้ว่า del Ferro มีสูตรและ verified นี้ โดยสัมภาษณ์ข้อมูลส่วนตัวของญาติที่ให้เขาเข้าถึงเอกสาร del Ferro Cardano แล้วครอบครัวเผยแพร่สูตรสำหรับกรณีสามทั้งหมดในเขาอาอาร์ส Magna (1545) เป็นที่น่าสังเกตว่า Cardano กล่าว Ferro เดลเป็นผู้เขียน first และ Tartaglia เป็นสูตรได้รับในภายหลังในลักษณะที่เป็นอิสระ5 difficulty.ในกรณี (2) ที่นำเสนอในการแก้ปัญหา (1) ไม่ใช่ เป็นของมีค่ารากที่สองของจำนวนลบที่ปรากฏในนิพจน์ตัวเลขที่กำหนด โดยใช้สูตร นี่คือที่มา: แทน x = u + v เป็น x 3 = px + q จะได้รับx 3−px = u3 + v3 + 3uv (u + v) −p (u + v) = q ตั้งค่า 3uv = p ข้างต้นเพื่อรับ u3 + v3 = q และ u3v3 = (p/3) 3 นั่นคือ ผลรวมและผลคูณของสองลูกบาศก์เป็นที่รู้จัก นี้ใช้รูปแบบสมการกำลังสองที่พร้อมแก้ไข: x = u + v = 3 s1 q + w + 3 s1 2 q −w 2 ที่ w = s(1 2 q) 2 − (1 p 3) 3 irreducibilis casus เรียกคือเมื่อนิพจน์ภายใต้สัญลักษณ์รุนแรงใน w เป็นค่าลบ Cardano หลีกเลี่ยงคุยกรณีนี้ในอาอาร์ส Magna บางที ในจิตใจของเขา หลีกเลี่ยงมันได้ justified โดยการติดต่อ (ถูกต้อง) ระหว่าง casus irreducibilis และขาดของโซลูชันจริง ค่าบวกสำหรับการลูกบาศก์ ตามต้อง [9], " Cardano ถูก first แนะนำซ้อนเป็น + −b √ในพีชคณิต แต่ที่น่าเคลือบแคลงเกี่ยวกับมัน" ในบทที่ 37 ของอาอาร์ส Magna เกิดปัญหาต่อไปนี้: "แบ่ง 10 ในสองส่วน ผลิตภัณฑ์ที่เป็น 40"เป็นที่ชัดเจนว่า กรณีนี้เป็นไปไม่ได้ อย่างไรก็ตาม เราจะทำงานดังนั้น: เราแบ่ง 10 สองเท่า การละ 5 เหล่านี้เราสแควร์ ทำ 25 ลบ 40 ถ้าคุณจะ จาก 25 จึง ผลิต เป็นฉันพบคุณในบทการดำเนินงานในสมุดหกออกจากส่วนเหลือของ-15 สี่เหลี่ยม

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ผ่านการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรที่ x
'= x + 1 3a
การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรนี้จะปรากฏขึ้นสำหรับไฟครั้งแรกในสองต้นฉบับ orentine ที่ไม่ระบุชื่อชั้นใกล้ปลายศตวรรษที่ 14 ถ้าบวก coe cients FFI และค่านิยมในเชิงบวกของ x จะเข้ารับการรักษามีสามกรณีทั้งหมดที่เรียกว่าความสุขลูกบาศก์:
(ก) x3 + px = คิว (ข) x3 = px + คิว (c) x3 + Q = px
4 สายแรกในการแก้สมการ (1) (และอาจจะ (2) และ (3)) เป็น Scipione เด Ferro ศาสตราจารย์มหาวิทยาลัยโบโลญญาจนกว่า 1526 เมื่อเขาเสียชีวิต ในครึ่งผีครึ่งคนเด Ferro ปรับอากาศสาย ded สูตรเพื่อนักเรียนของเขาแอนโตนิโอมาเรีย Fiore Fiore ท้าทาย Tartaglia การแข่งขันคณิตศาสตร์ คืนก่อนการประกวดสูตร Tartaglia ค้นพบและได้รับรางวัลการประกวด Tartaglia ในทางกลับบอกสูตร (แต่ไม่ใช่หลักฐาน) เพื่อ Gerolamo คาร์ที่ได้ลงนามในคำสาบานที่จะความลับ จากความรู้ของสูตร, คาร์ก็สามารถที่จะสร้างหลักฐาน ต่อมาได้เรียนรู้ว่าคาร์เดล Ferro มีสูตรและเอ็ด Veri สายนี้โดยญาติสัมภาษณ์ที่ทำให้เขาเข้าถึงเอกสาร Ferro เดลของ คาร์นั้นก็เดินไปเผยแพร่สูตรสำหรับทั้งสามกรณี Ars Magna ของเขา (1545) มันเป็นเรื่องสำคัญที่กล่าวถึงคาร์เดล Ferro เป็นสายแรกของผู้เขียนและการได้รับ Tartaglia สูตรต่อมาในลักษณะที่เป็นอิสระ.
5 culty FFI di ในกรณีที่ (2) ที่ไม่ได้อยู่ในการแก้ปัญหาให้กับ (1) คือความเป็นไปได้ของการมีรากที่สองของจำนวนลบที่ปรากฏในการแสดงออกเป็นตัวเลขที่ได้รับจากสูตร มาที่นี่คือแทน x = U + โวลต์ลงใน x3 = px + คิวที่จะได้รับ
x3
-px = u3 + v3 + 3uv (U + V) -p (U + V) = คิวตั้ง 3uv = พีดังกล่าวข้างต้นจะได้รับ u3 + v3 = คิวและ u3v3 = (P / 3) 3 นั่นคือผลรวมและผลิตภัณฑ์สองก้อนเป็นที่รู้จักกัน นี้จะใช้ในรูปแบบสมการที่จะแก้ไขได้อย่างง่ายดาย: x = ยู + V = 3 s1 2 คิว + W + 3 s1 2 คิว -w ที่กว้าง s = (1 2 ด) 2 - (1 3 P) 3 ที่เรียกว่าเหตุพอเพียง irreducibilis คือเมื่อการแสดงออกภายใต้สัญลักษณ์ที่รุนแรงในกเป็นลบ หลีกเลี่ยงการพูดคุย Cardano กรณีนี้ในอาร์สใหญ่ บางทีอาจจะเป็นในใจของเขาหลีกเลี่ยงมันเป็นเอ็ดสาย Justi โดย (ไม่ถูกต้อง) การติดต่อระหว่าง irreducibilis เหตุพอเพียงและการขาดความจริงการแก้ปัญหาในเชิงบวกสำหรับลูกบาศก์ 6. ตามที่ [9] "คาร์เป็นสายแรกที่จะแนะนำตัวเลขที่ซับซ้อน + √ -b เข้าพีชคณิต แต่มีความวิตกเกี่ยวกับมัน." ในบทที่ 37 ของอาร์สใหญ่ปัญหาต่อไปนี้ถูกวาง: "เพื่อแบ่ง 10 ในสอง ชิ้นส่วนผลิตภัณฑ์ของซึ่งเป็น 40 ".
เป็นที่ชัดเจนว่ากรณีนี้เป็นไปไม่ได้ แต่เราจะทำงานดังนี้: เราแบ่งออกเป็นสอง 10 ส่วนเท่า ๆ กันทำให้แต่ละ 5. ตารางนี้เราทำให้ 25 ลบ 40 ถ้าคุณจะจาก 25 ผลิตจึงเป็นฉันพบคุณในบทที่เกี่ยวกับการดำเนินงานใน หนังสือเล่มที่หกออกจากส่วนที่เหลือของ -15 เป็นตาราง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ผ่านการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร x ’ = x

1 3A . การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรปรากฏสำหรับจึงตัดสินใจเดินทางไปเวลาใน 2 นิรนามfl orentine ต้นฉบับใกล้สิ้นสุดของศตวรรษที่ 14 ถ้าบวก โคffi cients และคุณค่าในเชิงบวกของ x จะยอมรับ มี 3 ราย ทั้งหมดรวมเรียกว่าหดหู่ลูกบาศก์ :
( A ) X3 % = Q ( b ) x3 = % Q ( C ) X3 q = %
4วันแรกจึงแก้สมการ ( 1 ) หรือ ( 2 ) และ ( 3 ) คือสคิปิโอเน del Ferro , ศาสตราจารย์ของสหรัฐอเมริกา ของ โบโลญญา จนกระทั่งเดือน เมื่อเขาตาย ในใกล้ตาย เดล เฟอร์โร คอน จึงเด็ดสูตรเพื่อศิษย์ อันโตนิโอ มาเรีย ฟิโอเร . ฟิโอท้า tartaglia เพื่อการแข่งขันทางคณิตศาสตร์ เมื่อคืนก่อนการแข่งขัน tartaglia ค้นพบสูตรและชนะการประกวดtartaglia จะบอกสูตร ( แต่ไม่มีหลักฐาน ) เจโรลาโม การ์ดาโน ที่ลงนามสาบานว่าจะเก็บเป็นความลับ จากความรู้ของสูตร คาร์ดาโนก็สามารถที่จะสร้างหลักฐาน ต่อมา คาร์ดาโนรู้ว่า del Ferro มีสูตรและเอ็ดโดยการสัมภาษณ์ญาติใครให้เขาเข้าถึง del Ferro เอกสารถ่ายทอดข้อมูล .คาร์โดนา จากนั้นก็เผยแพร่สูตรสามคดีทั้งหมดใน Ars Magna ( การผลิต ) เป็นที่น่าสังเกตว่า คาร์ดาโนกล่าวถึง del Ferro เป็นผู้เขียนจึงตัดสินใจเดินทางไป และ tartaglia เป็นรับสูตรในภายหลังในลักษณะอิสระ .
5เป็นดิ ffi culty ในกรณี ( 2 ) ที่ไม่ได้อยู่ในโซลูชัน ( 1 ) มีความเป็นไปได้ของการมีรากที่สองของเลขลบปรากฏในการคำนวณนิพจน์ที่กำหนดโดยสูตร ที่นี่เป็นแหล่งที่มา : แทน x = u V เป็น x3 = % Q เพื่อขอรับ
3
% U3 V3 = − ( − 3UV u v ) P ( U U ) = q = P ข้างต้นจะได้รับชุด 3UV U3 V3 = Q และยัง u3v3 = ( P / 3 ) นั่นคือผลรวมและผลิตภัณฑ์สองก้อนเป็นที่รู้จัก นี้จะใช้ในรูปแบบสมการที่พร้อมแก้ไขได้ : x = u V = 3 S1 2 Q W 3 S1 w แล้ว w = − 2 Q ( 1 2 Q ) 2 − ( 1 P ) 3 irreducibilis Casus ที่เรียกว่าคือเมื่อการแสดงออกภายใต้สัญลักษณ์หัวรุนแรงใน W เป็นลบ คาร์โดนา หลีกเลี่ยงการอภิปรายเรื่องนี้ใน Ars Magna . บางทีในใจของเขามันก็แค่หลีกเลี่ยงจึงเอ็ดโดย ( ผิด ) การติดต่อระหว่าง irreducibilis Casus และขาดจริง แก้ปัญหาในเชิงบวกสำหรับลูกบาศก์ 6 . ตาม [ 9 ] " คาร์ดาโน เป็น RST จึงแนะนำให้ตัวเลขที่ซับซ้อน√− B ในพีชคณิต แต่มีข้อสงสัยเกี่ยวกับมัน . " ในบทที่ 37 ของ Ars Magna ปัญหาต่อไปนี้ที่เกิดขึ้น : " แบ่ง 10 ในสองส่วน ผลิตภัณฑ์ซึ่งเป็น 40 " .
เป็นที่ชัดเจนว่า กรณีนี้เป็นไปไม่ได้ อย่างไรก็ตาม เราก็จะทำงาน ดังนั้นเราแบ่ง 10 ออกเป็นสองส่วนเท่ากัน ทำให้แต่ละ 5 เหล่านี้เราตารางการ 25 ลบ 40 , ถ้าคุณจะ , จาก 25 จึงผลิต ตามที่ผมแสดงให้เห็นในบทที่เกี่ยวกับการดำเนินงานใน 6 เล่มออกจากส่วนที่เหลือของ - 15 , สี่เหลี่ยม