(1) despite the apparent simplicity

(1) despite the apparent simplicity of the equations, complex control strategies can and may have to be devised, and (2) that dynamic programming is adequate to do so. The reader should keep in mind that this application does not intend to showcase that dynamic programming is more precise or less computation- ally demanding than other techniques in time-variant reliability; yet, these techniques are not meant to find appropriate main- tenance strategies. This section also intends to show that dynamic programming also applies to the case, classical in time-variant reliability, of a performance function that decreases with time, and it uses the results from Section 4.5 to compute the outcrossing rate.
5.1. A simple population model
We consider a modified version of a simple model of popula- tion growth introduced by [38]. It is discretized and uncertainty is integrated as an additive term to the population variable at each time step. All quantities being nondimensional for simplicity, the evolution of the state x¼ða;bÞ reads aðtþ1Þ¼aðtÞþðaðtÞbðtÞþwðtÞÞΔt bðtþ1Þ¼bðtÞþuðt;aðtÞ;bðtÞÞ( ð29Þ This is the full information case from Section 4.1. The initial state x0 represents the system's design, so we can write π¼x0 ¼ða0;b0Þ. Since neither the dynamic nor the state vector depend explicitly on x0, Eq. (29) is under the form xðtþ1Þ¼fðt;xðtÞ;uðt;xðtÞÞ;wðtÞÞ like in Eq. (16). Therefore, dynamic programming and other computations can be carried out using yðtÞ¼xðtÞ, and we shall keep the notation x(t) instead y(t) throughout this section. The state variables are the population a(t) and its growth coefficient b(t). The time interval between two consecutive dates is constant at Δt¼1. The state variable b(t) is controlled by a unique control variable uðt;xðtÞÞ. The feedback rule, that is, the control to be associated to each state, is to be determined in order to maximize the system's reliability. The control space is
U¼½Umin;Umax and represents the inertia in the evolution of the population. These bounds are taken to be Umin ¼
0:5 and Umax ¼0:5. The uncertainty w(t) is a realization of a Gaussian random variable WðtÞ of mean 0 and standard deviation 0.25. In the same way as in Section 4.4, we are in the Markovian case, so that the Gaussian random variables Wðt1Þ and Wðt2Þ at two different dates t1 and t2 are statistically independent. In fact, the term wðtÞΔt from Eq. (29) reflects in discrete time the hypothesis that in continuous time, the state variable a(t) is disturbed by a white noise process. The size of the population is constrained, so that the survival set is represented by the following performance function: gðt;xðtÞÞ¼gðt;aðtÞ;bðtÞÞ¼ðaðtÞ
0:2ÞðcðtÞ
aðtÞÞ ð30Þ so that the survival set is defined by aðtÞA½0:2;cðtÞ where c(t) is the carrying capacity of the system (cðtÞZ0:2). In ecology, the carrying capacity is the maximal size of the population that can be sustained by the environment it lives in. For a given expression of gðt;xðtÞÞ in Eq. (30), the design problem is related to assessing reliability at a time horizon T for a given initial state x0. Since reliability also depends on the way the system is subsequently controlled – or maintained – this problem is a design and maintenance problem as described in Section 3.2. In this study, the state space has been discretized, with resolutions Δa¼0:01 and Δb¼0:05, and the control space is likewise discretized with a resolution Δu¼0:05. In this discrete space, the transition function between two time steps was obtained by interpolating from Eq. (29). In what follows, the relevant range for b was found to be [
1.5,2.5].

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

(1) แม้ มีความเรียบง่ายชัดเจนของสมการ กลยุทธ์การควบคุมที่ซับซ้อนสามารถอาจต้องมีการคิดค้น และ (2) การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกจะทำ ผู้อ่านควรให้จำไว้ว่าโปรแกรมประยุกต์นี้ไม่ตั้งใจ เพื่อแสดงว่าการเขียนโปรแกรมแบบละเอียดมากขึ้น หรือน้อย กว่าการคำนวณพันธมิตรเรียกร้องกว่า เทคนิคอื่น ๆ ในเวลาแปรความน่าเชื่อถือ ยัง เทคนิคเหล่านี้จะไม่หมายถึงกลยุทธ์หลัก tenance สม find ส่วนนี้ยังมีแสดงว่า เขียนโปรแกรมแบบยังใช้กับกรณี ตัวแปรเวลาความน่าเชื่อถือ คลาสสิกของฟังก์ชันประสิทธิภาพที่ลดลงกับเวลา และใช้ผลลัพธ์จาก 4.5 ส่วนคำนวณอัตรา outcrossing5.1. แบบจำลองประชากรอย่างเราพิจารณารุ่น modified แบบง่ายโตสเตรชัน popula แนะนำ ด้วย [38] มันเป็น discretized และความไม่แน่นอนรวมเป็นระยะสามารถให้กับตัวแปรของประชากรในแต่ละขั้นตอนเวลา ปริมาณทั้งหมดที่มี nondimensional ราย วิวัฒนาการของ x¼ða รัฐ bÞ อ่าน aðtþ1Þ¼aðtÞþðaðtÞbðtÞþwðtÞÞΔt bðtþ1Þ¼bðtÞþuðt; aðtÞ; bðtÞÞ (ð29Þ ในกรณีนี้ข้อมูลทั้งหมดจากส่วน 4.1 การ สถานะเริ่มต้น x 0 แสดงถึงการออกแบบของระบบ ดังนั้นเราสามารถเขียน π¼x0 ¼ða0; b0Þ เนื่องจากไม่แบบไดนามิกหรือเวกเตอร์รัฐพึ่งชัดเจน x 0, Eq. (29) อยู่ภายใต้การ xðtþ1Þ¼fðt แบบฟอร์ม xðtÞ; uðt; xðtÞÞ; wðtÞÞ เช่นใน Eq. (16) ดังนั้น การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกและอื่น ๆ หนึ่งสามารถทำโดยใช้ yðtÞ¼xðtÞ และเราจะให้ x(t) สัญลักษณ์แทน y(t) ตลอดส่วนนี้ ตัวแปรรัฐมี a(t) ประชากรและการเจริญเติบโต coefficient b(t) ช่วงเวลาระหว่างวันสองต่อเนื่องเป็นค่าคงที่ Δt¼1 B(t) ตัวแปรรัฐถูกควบคุม โดยตัวควบคุมเฉพาะตัวแปร uðt; xðtÞÞ กฎผลป้อนกลับ นั่นคือ การควบคุมต้องเชื่อมโยงกับแต่ละรัฐ จะถูกกำหนดเพื่อเพิ่มความน่าเชื่อถือของระบบ พื้นที่ควบคุมU¼½Umin;Umax and represents the inertia in the evolution of the population. These bounds are taken to be Umin ¼
0:5 and Umax ¼0:5. The uncertainty w(t) is a realization of a Gaussian random variable WðtÞ of mean 0 and standard deviation 0.25. In the same way as in Section 4.4, we are in the Markovian case, so that the Gaussian random variables Wðt1Þ and Wðt2Þ at two different dates t1 and t2 are statistically independent. In fact, the term wðtÞΔt from Eq. (29) reflects in discrete time the hypothesis that in continuous time, the state variable a(t) is disturbed by a white noise process. The size of the population is constrained, so that the survival set is represented by the following performance function: gðt;xðtÞÞ¼gðt;aðtÞ;bðtÞÞ¼ðaðtÞ
0:2ÞðcðtÞ
aðtÞÞ ð30Þ so that the survival set is defined by aðtÞA½0:2;cðtÞ where c(t) is the carrying capacity of the system (cðtÞZ0:2). In ecology, the carrying capacity is the maximal size of the population that can be sustained by the environment it lives in. For a given expression of gðt;xðtÞÞ in Eq. (30), the design problem is related to assessing reliability at a time horizon T for a given initial state x0. Since reliability also depends on the way the system is subsequently controlled – or maintained – this problem is a design and maintenance problem as described in Section 3.2. In this study, the state space has been discretized, with resolutions Δa¼0:01 and Δb¼0:05, and the control space is likewise discretized with a resolution Δu¼0:05. In this discrete space, the transition function between two time steps was obtained by interpolating from Eq. (29). In what follows, the relevant range for b was found to be [
1.5,2.5].

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

( 1 ) แม้จะมีความเรียบง่ายชัดเจนของสมการ , กลยุทธ์การควบคุมที่ซับซ้อน จะต้องวางแผน และ ( 2 ) โปรแกรมแบบไดนามิกเป็นเพียงพอที่จะทำเช่นนั้น ผู้อ่านควรระลึกว่า โปรแกรมนี้ไม่ได้ตั้งใจที่จะแสดงให้เห็นว่า โปรแกรมแบบไดนามิกมากขึ้นหรือน้อยแม่นยำการคำนวณ - พันธมิตรเรียกร้องกว่าเทคนิคอื่น ๆในเวลา 2 ตัวแปร ยังเทคนิคเหล่านี้จะไม่ได้หมายถึงการถ่ายทอดกลยุทธ์หลักและเหมาะสม tenance . ส่วนนี้ก็ตั้งใจที่จะแสดงแบบไดนามิกที่โปรแกรมยังใช้กับกรณีคลาสสิกในเวลาความน่าเชื่อถือแตกต่างของประสิทธิภาพการทำงานที่ลดลงกับเวลา และใช้ผลจากส่วน 4.5 ค่าข้ามเท่ากัน .
5.1 รูปแบบเรียบง่าย
ประชากรเราพิจารณา Modi จึงเอ็ดรุ่นของรูปแบบเรียบง่ายของประชากร , การแนะนำโดย [ 38 ] มันเป็นแบบจุดและความไม่แน่นอนจะรวมเป็นคำเสริมให้ประชากรตัวแปรในแต่ละเวลา ขั้นตอน ทุกปริมาณการ nondimensional สำหรับความเรียบง่าย วิวัฒนาการของรัฐ¼ð X ; B Þอ่านð T þ 1 Þ¼เป็นð T T Þþðเป็นðÞ B ð T w T T B ÞþðÞÞΔð T þ 1 Þ¼ B ð T Þþ u ð T ; T ðÞ ;B ð T ÞÞ ( 29 ðÞนี้เป็นข้อมูลเต็มรูปแบบจากกรณีมาตรา 4.1 . การ x0 สถานะเริ่มต้น หมายถึง การออกแบบของระบบ ดังนั้นเราสามารถเขียนπ¼ x0 ¼ð A0 ; B0 Þ . เนื่องจากมีทั้งแบบไดนามิกหรือรัฐเวกเตอร์ขึ้นอย่างชัดเจนใน x0 อีคิว ( , 29 ) ภายใต้รูปแบบ x ð T þ 1 Þ¼ F ð t ; x ðÞ T ; U ð t ; x ð T ÞÞ ; w ð T ÞÞเหมือนในอีคิว ( 16 ) ดังนั้น การเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกและการคำนวณอื่น ๆ สามารถนำออกมาใช้ð T Y T ÞÞ¼ x ð ,และเราก็จะเก็บโน้ต x ( t ) แทน Y ( t ) ตลอดส่วนนี้ รัฐ คือ ประชากร ( T ) และ coef การเจริญเติบโตจึง cient B ( T ) ช่วงเวลาระหว่างสองติดต่อกันวันที่เป็นค่าคงที่ที่Δ T ¼ 1 รัฐตัวแปร B ( t ) ที่ถูกควบคุมโดยควบคุมตัวแปรð้ u t ; x ð T ÞÞ . ความคิดเห็นที่กฎ นั่นคือ การควบคุม จะเชื่อมโยงกับแต่ละรัฐจะมุ่งมั่นเพื่อเพิ่มความน่าเชื่อถือของระบบ พื้นที่ควบคุม
U ¼½ umin ; umax  และเป็นตัวแทนของความเฉื่อยในการวิวัฒนาการของประชากร ขอบเขตเหล่านี้ถ่ายเป็น umin ¼
0:5 umax ¼และ 0:5 . ความไม่แน่นอน W ( t ) คือ การรับรู้ของตัวแปรสุ่มเสียน W ð T Þเฉลี่ย 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 0.25 ในแบบเดียวกับในส่วน 4.4 , เราอยู่ใน markovian กรณี ,ให้ตัวแปรสุ่มเสียนð W T1 และ T2 w ÞðÞที่แตกต่างกันสองวันที่ T1 และ T2 เป็นอิสระทางสถิติ ในความเป็นจริงคำว่า W ð T Þ  Δ T จากอีคิว ( 29 ) Re flผลในเวลาเฉลี่ยในเวลาต่อเนื่อง ไม่ต่อเนื่อง รัฐตัวแปร ( T ) ถูกรบกวนโดยกระบวนการเสียงสีขาว ขนาดของประชากรเป็นบริษัทดังนั้นการตั้งค่าแสดงโดยต่อไปนี้การปฏิบัติงาน : G ð t ; x ð T ÞÞ¼กรัมð T ; T ðÞ ; B ð T T ÞÞ¼ðเป็นðÞ
0:2 Þð C ð T Þ
เป็นð T ÞÞð 30 Þเพื่อความอยู่รอดจึงเน็ดโดยชุดเด ð T Þเป็น½ 0:2 ; C ð T Þ  ที่ C ( t ) คือแบกความจุของระบบ ( C ð T Þ z0:2 ) ในนิเวศวิทยา แบกความจุสูงสุดขนาดของประชากรที่สามารถได้รับจากสิ่งแวดล้อมที่อาศัยอยู่ในให้ðการแสดงออกของ G T ; x ð T ÞÞในอีคิว ( 30 ) , ปัญหาการออกแบบเกี่ยวข้องกับการประเมินความน่าเชื่อถือที่ t ขอบฟ้าเวลาให้ x0 สถานะเริ่มต้น เนื่องจากความน่าเชื่อถือยังขึ้นอยู่กับวิธีระบบและควบคุม–หรือรักษา–ปัญหานี้คือการออกแบบและการบำรุงรักษาปัญหาที่อธิบายไว้ในมาตรา 3.2 . ในการศึกษานี้ ได้แบบจุดสภาพพื้นที่ ,ด้วยมติΔเป็น¼ 0:01 Δ B และ¼ 0:05 และพื้นที่ควบคุมเช่นเดียวกันกับความละเอียดแบบจุดΔ u ¼ 0:05 . ในพื้นที่ที่ไม่ต่อเนื่องนี้ การเปลี่ยนแปลงฟังก์ชันระหว่างสองขั้นตอนได้โดย การ ประมาณจากอีคิว ( 29 ) ในสิ่งต่อไปนี้ ช่วง ที่เกี่ยวข้องกับ บี พบว่าเป็น [
1.5,2.5 ]