Mathematicians have been using sets

Mathematicians have been using sets since the very beginning of the subject. For example, Greek mathematicians defined a circle as the set of points at a fixed distance r from a fixed point P. However, the concepts of 'infinite set' & 'finite set' eluded mathematicians and philosophers over the centuries. For example, Hindu minds conceived of infinite in their scriptural text Ishavasy-opanishad as follows: "The Whole is there. The Whole is here. From the hole imanates the Whole. Taking away the Whole from the Whole , what remains is still a Whole". Phythagoras(~ 585-500 B.C.), a Greek mathematicians, associated good and evil with the limited and the unlimited, respectively. Aristotle(384-322 B.C.) said, "The infinite is imperfect, unfinished and therefore, unthinkable; it is formless and confused." The Roman Emperor and philosopher Marcus Aqarchus(121-180 A.D.) said infinity is a fathomless gulf, into which all things vanish". English philosopher Thomas Hobbes(1588-1679) said, "When we say anything is infinite, we signify only that we are not able to conceive the ends and bounds of the thing named".
The working mathematician, as well as the street, is seldom concerned with the unusal question: what is a number? But the attempt to answer this question precisely has motivated much of the work by mathematicians and philosophers in the foundations of mathematics during the past hundred years. Characterization of the integers, rational numbers and real numbers has been a central problem for the classical researches of Weierstrass, Dedekind, Kronecker, Frege, Peano, Russell, Whitehead, Brouwer, and others. The researches of Georg Cantor around 1870 in the theory of infinite series and related topics of analysis gave a new direction for the development of the set theory. Cantor, who is usually considered the founder of the set theory as a mathematical discipline, was led by usually considered the founder of set theory as a mathematical discipline, was led by his work into a consideration of infinite sets or classes of arbitrary character.
However, Cantor's results were not immediately accepted by his contemporaries. Also, it was discovered that his definition of a set leads to a contradictions and logical paradoxes. The most well known among these was given in 1918 by Bertrand Russell(1872-1970), now known as Russell's paradox.
In effort to resolve these paradoxes, the first reaction of mathematicians was to 'axiomatize' Cantor's intuitive set theory. Axiomatization means the following: starting with a set of unambiguous statements called axioms, whose truth is assumed, one is able to deduce all the remaining propositions of the theory from these axioms using axioms of logical inference. Russell and Alfred North Whitehead(1861-1974) in 1903 proposed an axiomatic theory of sets in their three-volume work called Principia Mathematicians found it awkward to use. An axiomatic set theory which is workable and is fully logistic was given in 1908 by Ernst Zermello(1871-1953). This wa improved in 1921 by Abraham A. fraenkel (1891-1965) and T. Skolem (1887-1963) and is now known as 'Zermello-frankel(ZF)-axiomatic theory of sets.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Mathematicians ใช้ชุดตั้งแต่เริ่มต้นของเรื่องนี้ ตัวอย่าง mathematicians กรีกำหนดวงกลมเป็นชุดของจุดที่ r ถาวรห่างจาก P. เป็นจุดคงที่ อย่างไรก็ตาม แนวคิดของ 'อนันต์ตั้ง' และ 'ชุดจำกัด' eluded mathematicians และปรัชญามากกว่าอื่น ๆ ตัวอย่าง ฮินดูจิตรู้สึกของอนันต์ในกับข้อความว่า Ishavasy opanishad เป็นดังนี้: "ทั้งหมดมีการ ทั้งหมดอยู่ที่นี่ จาก imanates หลุมทั้งหมด การทั้งหมดออกไปจากทั้งหมด ส่วนที่เหลืออยู่ยังคงทั้งหมด" Phythagoras (~ 585-500 ก่อนคริสต์กาล), mathematicians กรีกโบราณ สัมพันธ์ดี และความชั่ว ด้วยการจำกัดและการจำกัด ตามลำดับ อริสโตเติล (384-322 บี) กล่าวว่า, "อนันต์ได้ไม่สมบูรณ์ ยังไม่เสร็จ จึง unthinkable มันเป็นเกม และสับสน" จักรพรรดิโรมันและนักปราชญ์มาร์คัส Aqarchus(121-180 A.D.) กล่าวว่ายเป็นอ่าว fathomless ซึ่งทุกสิ่งสูญ" นักปราชญ์อังกฤษ Thomas Hobbes(1588-1679) กล่าวว่า "เมื่อเราพูดอะไรก็มี เรามีความหมายเฉพาะว่า เราจะไม่สามารถตั้งครรภ์สิ้นสุดและขอบเขตของสิ่งที่ชื่อ" นักคณิตศาสตร์ทำงาน เป็น street บทบาทเกี่ยวข้องกับคำถาม unusal: คือหมายเลขอะไร แต่ความพยายามในการตอบคำถามนี้ตรงมีแรงจูงใจมากงานของ mathematicians และปรัชญาในรากฐานของคณิตศาสตร์ในช่วงร้อยปี สมบัติของจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ และจำนวนจริงมีปัญหากลางสำหรับงานวิจัยคลาสสิก Weierstrass, Dedekind, Kronecker, Frege, Peano รัสเซล Whitehead, Brouwer และอื่น ๆ งานวิจัยของคันทอร์จอร์จรอบศาสตร์ในทฤษฎีของลำดับอนันต์และหัวข้อที่เกี่ยวข้องวิเคราะห์ให้ทิศทางใหม่สำหรับการพัฒนาของทฤษฎีเซต คันทอร์ ซึ่งมักจะถือว่าเป็นผู้ก่อตั้งทฤษฎีเซตเป็นวินัยทางคณิตศาสตร์ นำโดยมักจะถือว่าเป็นผู้ก่อตั้งทฤษฎีเซตเป็นวินัยทางคณิตศาสตร์ นำ โดยงานของเขาพิจารณาชุดอนันต์หรือประเภทของอักขระที่กำหนด อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ของคันทอร์ได้ไม่ทันทียอมรับ โดย contemporaries ของเขา ยัง เป็นการค้นพบว่า เขานิยามของชุดนำไปกันข้ามเป็น paradoxes ทางตรรกะและการ สุดรู้จักกันดีในหมู่เหล่านี้ถูกกำหนดใน 1918 เบอร์ Russell(1872-1970) ตอนนี้ เรียกว่าปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์ ในการพยายามที่จะแก้ปัญหาเหล่านี้ paradoxes ปฏิกิริยาแรกของ mathematicians คือการ 'axiomatize' ทฤษฎีเซตง่ายของคันทอร์ Axiomatization หมายถึง ต่อไปนี้: หนึ่งเริ่มต้น ด้วยชุดของคำสั่งชัดเจนที่เรียกว่าสัจพจน์ สันนิษฐาน ความจริงจะสามารถอนุมานขั้นที่เหลือทั้งหมดของทฤษฎีจากสัจพจน์เหล่านี้โดยใช้สัจพจน์ข้อตรรกศาสตร์ รัสเซลและอัลเฟรดนอร์ธ Whitehead(1861-1974) ใน 1903 นำเสนอทฤษฎีการ axiomatic ชุดในงานสามเสียงเรียก Mathematicians Principia ที่พบรวมไปถึงใช้ ทฤษฎีเซต axiomatic ซึ่งสามารถทำงานได้ และเป็น logistic ทั้งหมดถูกกำหนดในค.ศ. 1908 โดยเอิร์นสท์ Zermello(1871-1953) Wa นี้ขึ้นในปี 1921 โดยอับราฮัม A. fraenkel (1891-1965) และต. Skolem (1887-1963) และตอนนี้เรียกว่า ' Zermello-frankel (ZF) -ทฤษฎี axiomatic ชุด

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คณิตศาสตร์ได้ใช้ชุดตั้งแต่จุดเริ่มต้นของเรื่อง ยกตัวอย่างเช่นนักคณิตศาสตร์กรีกกำหนดวงกลมเป็นชุดของจุดระยะทาง r คงที่จากจุดคงที่พีอย่างไรก็ตามแนวคิดของ 'อนันต์ชุด' & 'ขอบเขต' หลุดนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาหลายศตวรรษที่ผ่าน ตัวอย่างเช่นจิตใจรู้สึกของชาวฮินดูที่ไม่มีที่สิ้นสุดในข้อความพระคัมภีร์ของพวกเขา Ishavasy-opanishad ดังนี้... "ทั้งหมดมีทั้งอยู่ที่นี่จากหลุม imanates ทั้งการออกไปทั้งจากทั้งสิ่งที่เหลืออยู่ยังคงเป็นทั้ง " Phythagoras (~ 585-500 BC) นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกที่เกี่ยวข้องดีและความชั่วที่มี จำกัด และไม่ จำกัด ตามลำดับ อริสโตเติล (384-322 BC) กล่าวว่า "ไม่มีที่สิ้นสุดไม่สมบูรณ์ยังไม่เสร็จจึงคิดไม่ถึงมันเป็นรูปร่างและสับสน." จักรพรรดิโรมันและนักปรัชญามาร์คัส Aqarchus (121-180 AD) กล่าวว่าอินฟินิตี้เป็นอ่าวอาจเข้าใจได้ลงไปในทุกสิ่งที่หายไป ". ปราชญ์ภาษาอังกฤษโทมัสฮอบส์ (1588-1679) กล่าวว่า" เมื่อเราพูดอะไรไม่มีที่สิ้นสุดเรามีความหมายเพียงแค่นั้น เราไม่สามารถที่จะตั้งครรภ์ปลายและขอบเขตของสิ่งที่ชื่อ ".
นักคณิตศาสตร์ที่ทำงานเช่นเดียวกับถนนที่ไม่ค่อยเกี่ยวข้องกับคำถาม unusal: อะไรคือจำนวน แต่ความพยายามที่จะตอบคำถามนี้ได้อย่างแม่นยำที่มีแรงจูงใจมาก? ของการทำงานโดยนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาในรากฐานของคณิตศาสตร์ช่วงที่ผ่านมาร้อยปี. ลักษณะของจำนวนเต็มตัวเลขเหตุผลและตัวเลขจริงมีปัญหากลางสำหรับงานวิจัยที่คลาสสิกของ Weierstrass, Dedekind, Kronecker, Frege, อาโน่, รัสเซล เฮดเว่อร์และอื่น ๆ . งานวิจัยของเฟรดต้นเสียงรอบ 1870 ในทฤษฎีของแบบไม่มีที่สิ้นสุดและหัวข้อที่เกี่ยวข้องในการวิเคราะห์ให้ทิศทางใหม่สำหรับการพัฒนาของการตั้งทฤษฎี. แคนเทอร์ที่มักจะถือว่าเป็นผู้ก่อตั้งของทฤษฎีเซตเป็น วินัยทางคณิตศาสตร์ที่นำโดยมักจะคิดว่าผู้ก่อตั้งทฤษฎีเซตเป็นวินัยทางคณิตศาสตร์ที่นำโดยการทำงานของเขาเข้าสู่การพิจารณาของชุดอนันต์หรือชั้นเรียนของตัวละครโดยพล.
อย่างไรก็ตามผลต้นเสียงไม่เป็นที่ยอมรับทันทีโดยโคตรของเขา นอกจากนี้ก็พบว่าความหมายของเขาชุดนำไปสู่ความขัดแย้งและความขัดแย้งทางตรรกะ ที่รู้จักกันดีในหมู่เหล่านี้ได้รับในปี 1918 โดยเบอร์ทรานด์รัสเซล (1872-1970) ที่รู้จักกันในขณะนี้เป็นความขัดแย้งของรัสเซล.
ในความพยายามที่จะแก้ปัญหาความขัดแย้งเหล่านี้ปฏิกิริยาแรกของนักคณิตศาสตร์คือการ 'axiomatize' ต้นเสียงตั้งทฤษฎีที่ใช้งานง่าย axiomatization หมายความว่าต่อไปนี้: เริ่มต้นด้วยชุดของงบที่ชัดเจนเรียกว่าสัจพจน์ซึ่งความจริงจะสันนิษฐานหนึ่งคือสามารถที่จะสรุปข้อเสนอทั้งหมดที่เหลืออยู่ของทฤษฎีจากหลักการเหล่านี้โดยใช้หลักการของการอนุมานตรรกะ อัลเฟรดรัสเซลและนอร์ทเฮด (1861-1974) ในปี 1903 ที่เสนอทฤษฎีซึ่งเป็นจริงชุดในการทำงานสามปริมาณของพวกเขาเรียกว่า Principia คณิตศาสตร์พบว่ามันอึดอัดใจที่จะใช้ จริงทฤษฎีเซตซึ่งจะสามารถทำงานได้และโลจิสติกอย่างเต็มที่ได้รับในปี 1908 โดย Ernst Zermello (1871-1953) วานี้ปรับตัวดีขึ้นในปี 1921 โดยอับราฮัมเอ Fraenkel (1891-1965) และ Skolem ตัน (1887-1963) และเป็นที่รู้จักกันในขณะนี้เป็น 'Zermello-แฟรงเคิล (ZF) ทฤษฎี -axiomatic ชุด

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

นักคณิตศาสตร์ได้ใช้ชุดตั้งแต่จุดเริ่มต้นของเรื่อง ตัวอย่างเช่น นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก เป็นวงกลม กำหนดคะแนนเป็นชุดที่ระยะทางคง R จากจุดคงที่หน้า อย่างไรก็ตาม แนวคิดของเซตอนันต์ ' ' เซตจำกัด ' & eluded นักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาผ่านศตวรรษ ตัวอย่างเช่นใจชาวฮินดูรู้สึกอนันต์ในพระคัมภีร์ข้อความ ishavasy opanishad ดังนี้ : " ทั้งหมดอยู่ที่นั่น ทั้งหมดอยู่ที่นี่ จากหลุม imanates ทั้งหมด เอาทั้งหมดจากทั้งหมด ที่เหลือก็ยังเป็นทั้ง " phythagoras ( ~ 585-500 ปีก่อนคริสตกาล ) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกที่ดี และ ชั่ว กับ จำกัด และไม่ จำกัด ตามลำดับ อริสโตเติล ( 384-322 B.C . ) กล่าวว่า" อนันต์ จะไม่สมบูรณ์ ยังไม่เสร็จ ดังนั้น จึงเป็นไปไม่ได้ มันเป็นสิ่งไม่มีตัวตน สับสน " จักรพรรดิโรมันและปราชญ์มาร์คัส aqarchus ( 121-180 A.D . ) กล่าวว่า อินฟินิตี้ เป็นอ่าว fathomless , ในที่ทั้งปวง หายไป " นักปรัชญาชาวอังกฤษโทมัส ฮอบส์ ( 1588-1679 ) กล่าวว่า " เมื่อเราพูดสิ่งที่เป็นอนันต์เราหมายถึงเพียงว่าเราไม่สามารถที่จะตั้งครรภ์สิ้นสุดลงและขอบเขตของเรื่องที่ชื่อ "
วิธีการทำงาน รวมทั้งถนนที่ไม่ค่อยเกี่ยวข้องกับคำถาม unusal : อะไรคือหมายเลข แต่ความพยายามที่จะตอบคำถามนี้ได้อย่างแม่นยำมีแรงจูงใจมากของงานโดยนักคณิตศาสตร์และนักปรัชญาในฐานรากของคณิตศาสตร์ในช่วงร้อยปีที่ผ่านมาลักษณะสมบัติของจำนวนเต็มจำนวนเต็มและตัวเลขจริงมีปัญหากลางสำหรับงานวิจัยที่คลาสสิกของไวแยร์สตราสส์ kronecker frege Dedekind , , , , เปอาโน รัสเซล สิว บรูเวอร์ และอื่น ๆ งานวิจัยของ เกออร์ก คันทอร์รอบ 1870 ในทฤษฎีของอนุกรมอนันต์และหัวข้อที่เกี่ยวข้องในการวิเคราะห์ให้ทิศทางใหม่สำหรับการพัฒนาของทฤษฎีเซต . นักร้อง ,ที่มักจะถือว่าเป็นผู้ก่อตั้งของทฤษฎีเซตเป็นวินัยทางคณิตศาสตร์ คือ นำโดย มักจะถือว่าเป็นผู้ก่อตั้งของทฤษฎีเซตเป็นวินัยทางคณิตศาสตร์ คือ นำโดย งานของเขาในการพิจารณาของอนันต์ชุดหรือชั้นเรียนของตัวละครเอง
แต่ผลของต้นเสียงได้ทันทีได้รับการยอมรับโดยโคตรของเขา นอกจากนี้พบว่าคำนิยามของชุด นำไปสู่ความขัดแย้ง และความขัดแย้งทางตรรกะ ส่วนใหญ่ที่รู้จักกันดีในหมู่เหล่านี้ได้รับใน ค.ศ. 1918 โดยเบอร์แทรนด์ รัสเซล ( 1872-1970 ) , ที่รู้จักกันในขณะนี้เป็นปฏิทรรศน์ของรัสเซิลล์ . ในความพยายามที่จะแก้ปัญหาความขัดแย้งเหล่านี้
, ปฏิกิริยาแรกคือ ' ' คันทอร์นักคณิตศาสตร์ axiomatize ง่ายตั้ง ทฤษฎี axiomatization หมายความว่าต่อไปนี้ :เริ่มต้นด้วยชุดของชัดเจนงบเรียกว่าสัจพจน์ ซึ่งความจริงคือว่า หนึ่งสามารถอนุมานที่เหลือทั้งหมดข้อเสนอของทฤษฎีจากสัจพจน์เหล่านี้โดยใช้หลักการของการอนุมานเชิงตรรกะ รัสเซลและอัลเฟรดไวท์เฮด ( เหนือ 1861-1974 ) ในปี 1903 เสนอทฤษฎีเชิงสัจพจน์ของชุดในชุดที่สามของการทำงานที่เรียกว่า principia นักคณิตศาสตร์พบว่ามันน่าอึดอัดที่จะใช้เป็นสัจพจน์ทฤษฎีเซตซึ่งสามารถใช้งานได้ และเป็นอย่างโลจิสติกได้รับใน 1908 โดยเอินส์ท zermello ( 1871-1953 ) วา นี้ขึ้นในปี 1921 โดยอับราฮัม . เฟริงเคิล ( 1891-1965 ) และ ต. skolem ( 1887-1963 ) และตอนนี้เรียกว่าเป็น ' zermello แฟรงเคิล ( ZF ) - ทฤษฎีเชิงสัจพจน์
ของชุด