Property 7. Given any real number ξ

Property 7. Given any real number ξ there exists a positive real number x
such that logx < ξ.
4516 A. H. Salas
Indeed, choose a positive integer m for which ξ > −m. Then 1+ξ/m > 0. We
define x = 1
2(1+ξ/m)m. Taking into account (2.5) we obtain fn(x) ≤ m( m
√
x−
1) for any n ≥ m. Letting n→∞in this inequality gives log x ≤ m( m
√
x−1).
Then
log x ≤ m( m
√
x − 1) < m( m

(1 + ξ/m)m − 1) = ξ. (3.11)
Property 8. The range of logarithmic function is the set of real numbers.
Indeed, let y be any real number. By Property 7, we may find a number a > 0
and a number b such that loga < y and log b < −y. Then
loga < y < −log b = log b, where b =
1
b .
It is clear that a < b. Let H = {t > 0 such that logt < y }. This set is
not empty since a ∈ H . If t ∈ H then logt < y < log b and this gives t < b.
Thus, H is bounded from above by b. Let x = supH. We claim that log x = y.
Indeed, suppose that logx < y. Let ε = y−log x. There exists δ > 0 such that
|log x − log t| < ε if |x − t| < δ. Let t = x+δ/2 > x. Then logt < log x+ε = y
and t ∈ H so that t ≤ x. But t > x. Contradiction.
On the other hand, suppose that logx > y. Let ε = log x−y. There exists
δ > 0 such that |log x − log s| < ε if |x − s| < δ. Choose some s such that
0 < s < x and |x − s| < δ. Then logs > log x − ε = y > log t so that t < s for
any t ∈ H. We conclude that s is an upper bound of H and then x ≤ s. But
x > s. Contradiction.
We have proved that log x = y. Since y was arbitrarily chosen, we conclude
that the range of log is the set of real numbers.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คุณสมบัติ 7 ให้ξจำนวนจริงใดๆ มี x เป็นตัวเลขจริงบวก
ให้ logx < ξ.
4516 ศาลา H. A.
แน่นอน เลือก m เป็นจำนวนเต็มบวกสำหรับที่ξ > −m แล้ว 1 ξ m > 0 เรา
กำหนด x = 1
2 (1 ξ/m) เมตรพิจารณา (2.5) เราได้รับ fn(x) ≤ m (m
√
x−
1) สำหรับทุก n ≥ n→∞in ซักเมตรที่ทำให้อสมการนี้ล็อก x ≤ m (m
√
x−1) .
แล้ว
ล็อก x ≤ m (m
√
x − 1) < m (m

(1 ξ/m) m − 1) =ξ. (3.11)
คุณสมบัติ 8 ช่วงของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นชุดของตัวเลขจำนวนจริง
จริง ให้ y เป็นจำนวนจริงใด ๆ โดยคุณสมบัติ 7 เราอาจค้นหาหมายเลข > 0
และเป็นหมายเลข b เช่นว่า loga < b y และล็อก < −y แล้ว
loga < y < −log b =ล็อก b ที่ b =
1
b.
ก็ชัดว่าเป็น < H ให้เกิด = { t > 0 เช่น logt ที่ < y } ชุดนี้เป็น
ไม่ว่างตั้งแต่∈ H ถ้า t ∈ H แล้ว logt < y < ล็อก b และนี้ทำให้ t < b.
ดัง H ล้อมรอบจากข้างต้น โดย b ให้ x = supH เราก็ล็อกที่ x = y.
จริง สมมติว่า logx < y. ให้ε = y−log ไฟร์มีδ > 0 ที่
t| |log x −ล็อก < εถ้า t| |x − < ให้δ t = x δ/2 > x. อัพ logt แล้ว < ล็อก x ε = y
t ∈ H และให้ t ≤ไฟร์แต่ t > x. อัพลง
บนมืออื่น ๆ สมมติว่า logx > y ให้ε = x−y ล็อก มี
δ > 0 ที่ |log x −ระบบ s| < Εถ้า s| |x − < δ. เลือก s บางที่
0 < s < x และ s| |x − <δแล้วล็อก > ล็อกε x − = y > ระบบ t ดังนั้น < s สำหรับ
ใด ๆ t ∈ H. เราสรุปว่า จะเป็นขอบเขตบนของ H และ x ≤ s ได้แต่
x > s. แย้ง
เราได้พิสูจน์ล็อกที่ x = y เนื่องจาก y โดยเลือก เราสรุป
ว่า ช่วงของล็อกเป็นชุดของจำนวนจริง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

7 สถานที่ให้บริการ ป.ร. ให้ไว้จำนวนจริงใด ๆ ξมีอยู่เป็นจำนวนจริงบวก x
ดังกล่าวว่า logx <ξ
4516 AH ศาลา
แท้จริงเลือกเมตรจำนวนเต็มบวกที่ξ> เมตร จากนั้น 1 + ξ / m> 0 เรา
กำหนด x = 1
2 (1 + ξ / เมตร) ม. โดยคำนึงถึง (2.5) เราได้รับศุกร์ (x) ≤เมตร (ม.
√
x-
1) สำหรับ n ≥เมตร ให้ n →∞ในความไม่เท่าเทียมกันนี้จะช่วยให้การบันทึก x ≤เมตร (ม.
√
x-1)
จากนั้น
เข้าสู่ระบบ x ≤เมตร (ม.
√
x - 1) <เมตร (เมตร
?
(1 + ξ / เมตร) เมตร - 1) = ξ . (3.11)
ทรัพย์สิน 8 ช่วงของฟังก์ชั่นลอการิทึมคือชุดของจำนวนจริง
อันที่จริงเรา y เป็นจำนวนจริงใด ๆ โดยสถานที่ 7 เราอาจพบจำนวน> 0
และจำนวนข? เช่นว่า loga <y และเข้าสู่ระบบข? <-y แล้ว
loga <y <-log b? = b เข้าสู่ระบบที่ b =
1
ข? .
เป็นที่ชัดเจนว่า <b Let h = {t> 0 เช่นที่ Logt <y} ชุดนี้เป็น
ไม่ว่างเปล่าตั้งแต่∈ H หากเสื้อ∈ H แล้ว Logt <y <b และเข้าสู่ระบบนี้จะช่วยให้ที <b
ดังนั้น H กระโดดจากข้างบนโดยข ให้ x = ทะเลแดง เราอ้างว่าบันทึก x = y
แท้จริงสมมติว่า logx <y ให้ε = y-x เข้าสู่ระบบ มีδ> 0 อยู่เช่นว่า
| log x - เข้าสู่ระบบที | <εถ้า | x - เสื้อ | <δ ให้ t = x + δ / 2> x แล้ว Logt <log x + y = ε
และเสื้อ∈ H เพื่อให้เสื้อ≤ x แต่เสื้อ> x ความขัดแย้ง
ในทางกลับกันสมมติว่า logx> y ให้ε = บันทึก x-y มีอยู่
δ> 0 เช่นที่ | log x - เข้าสู่ระบบ s | <εถ้า | x - s | <δ เลือกของบางอย่างเช่นที่
0 <s <x และ | x - s | <δ แล้วบันทึก> บันทึก x - ε = y> บันทึกเสื้อเพื่อให้เสื้อ <สำหรับ
เอชทีใด∈เราสรุปได้ว่า s เป็นขีด จำกัด ของ H แล้ว x ≤ s แต่
x> s ความขัดแย้ง
ที่เราได้พิสูจน์ให้เห็นว่าบันทึก x = y ตั้งแต่ปีได้รับการแต่งตั้งพลเราสรุป
ว่าช่วงของการเข้าสู่ระบบเป็นชุดของตัวเลขจริง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

คุณสมบัติ 7 ให้มีจํานวนจริง ξมีอยู่จำนวนจริงบวก x
เช่นที่ logx < ξ .
. .
4516 ซาลาสจริงๆเลือก M จำนวนเต็มบวกที่ξ > −ม. 1 ξ / m > 0 าเรา
x = 1
2 ( 1 ξ / m ) m ถ่ายลงในบัญชี ( 2.5 ) เราได้รับ FN ( X ) ≤ M ( M
√
x
n − 1 ) ใด ๆ≥ม. ให้ N →∞ในความไม่เท่าเทียมกันนี้จะช่วยให้เข้าสู่ระบบ x ≤ M ( M
√
x − 1 ) .
แล้ว
x ≤เข้าสู่ระบบ M ( M
√
x − 1 ) = m ( M

( 1 ξ / m ) m − 1 ) = ξ . คุณสมบัติ ( 3.11 )
8 ช่วงของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นเซตของจำนวนจริง
แน่นอนให้ y เป็นจำนวนจริงใด ๆ . ด้วยทรัพย์สิน 7 , เราอาจจะพบจำนวน > 0
และจำนวน  เช่นที่ loga < Y และ B  < − log Y
Y แล้ว loga < < − log B = B  เข้าสู่ระบบที่ B =
1
b  .
ก็เป็นที่ชัดเจนว่าให้ h = < B { t > 0 เช่นที่ logt < Y } ชุดนี้มี
ไม่ได้ว่างเปล่าตั้งแต่∈ H .ถ้าไม่∈ H แล้ว logt < Y < log B และนี้ช่วยให้ t < b
ดังนั้น H ถูกล้อมรอบจากข้างต้นโดย ให้ x = suph . เราอ้างว่าเข้าสู่ระบบ X = Y
แน่นอน สมมติว่า logx < Y ให้ε = y − log X มีอยู่δ > 0 เช่น
| เข้าสู่ระบบ x − log ไม่ | < εถ้า | x − T | < δ . ให้ t = x δ / 2 > X แล้ว logt < log x ε = Y
T ∈ H แล้ว T T > ≤ X แต่ X
ความขัดแย้ง บนมืออื่น ๆที่คิดว่า logx > Yให้ε = − log X Y มีอยู่
δ > 0 เช่นที่ | เข้าสู่ระบบ x − log ของ | < εถ้า | x − s | < δ . เลือกบางอย่างเช่นที่
0 < s < X และ | x − s | < δ . แล้วบันทึก > บันทึก x = y −ε T T < > เข้าสู่ระบบเพื่อสำหรับใด ๆ T
∈ . เราสรุปว่าเป็นขอบเขตบนของ H และ X ≤ S . แต่
x > S . ความขัดแย้ง .
เราได้พิสูจน์ให้เห็นแล้วว่าเข้าสู่ระบบ X = Y Y กำลังพลตั้งแต่เลือกได้
ที่ช่วงของบันทึกคือเซตของจำนวนจริง