Corollary 4. The derivative (g o f)

Corollary 4. The derivative (g o f)'(x) of the composition of differentiable
real-valued functions equals the product g
f
(f(x)) • f'(x) of the derivatives of
these functions computed at the corresponding points.
There is a strong temptation to give a short proof of this last statement
in Leibniz' notation for the derivative, in which if z = z(y) and y = y(x), we
have
dz dz dy
dx dy dx
198 5 Differential Calculus
which appears to be completely natural, if one regards the symbol ^ or ^
not as a unit, but as the ratio of dz to dy or dy to dx.
The idea for a proof that thereby arises is to consider the difference quotient

Az _ Az Ay
Ax Ay Ax
and then pass to the limit as Ax -» 0. The difficulty that arises here (which
we also have had to deal with in part!) is that Ay may be 0 even if Ax ^ 0.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Corollary 4 อนุพันธ์ (g o f)'(x) ขององค์ประกอบของ differentiableฟังก์ชันมีค่าเป็นจริงเท่ากับ g ผลิตภัณฑ์f(f(x)) • f'(x) อนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้คำนวณจุดที่สอดคล้องกันมีการทดลองที่แข็งแกร่งเพื่อให้หลักฐานคำชี้แจงนี้ครั้งสุดท้ายสั้นใน Leibniz' สำหรับอนุพันธ์ ในซึ่งถ้า z = z(y) และ y = y(x) เรามีdz dz dydx dy dx 198 แคลคูลัสความแตกต่าง 5ซึ่งดูเหมือนจะเป็นธรรมชาติอย่างสมบูรณ์ ถ้าหนึ่งพิจารณาสัญลักษณ์ ^ หรือ ^ไม่ เป็นหน่วย แต่ เป็นอัตราส่วนของ dz dy หรือ dy การ dxสำหรับหลักฐานที่เกิดขึ้นจึงจะพิจารณาผลหารผลต่างAz _ Az AyAx Ay Axแล้ว ผ่านไปจำกัดเป็น Ax-» 0 ความยากลำบากที่เกิดขึ้นที่นี่ (ซึ่งเรายังได้มีการจัดการกับส่วนหนึ่ง) คือ ที่ Ay อาจเป็น 0 แม้ว่า Ax ^ 0

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ควันหลง 4. อนุพันธ์ (ขาด) '(x) ขององค์ประกอบของอนุพันธ์
ฟังก์ชั่นแบบ real-มูลค่าเท่ากับผลิตภัณฑ์ G
F
(f (x)) • F' (x) อนุพันธ์ของ
ฟังก์ชั่นเหล่านี้คำนวณที่จุดที่สอดคล้องกัน
มีสิ่งล่อใจที่แข็งแกร่งในการให้หลักฐานสั้น ๆ ของคำสั่งสุดท้ายนี้เป็น
สัญกรณ์ Leibniz 'สำหรับตราสารอนุพันธ์ซึ่งถ้า Z = Z (Y) และ Y = Y (x) เรา
มี
DZ DZ DY
DX DY DX
198 5 ความแตกต่าง แคลคูลัส
ซึ่งจะปรากฏเป็นธรรมชาติอย่างสมบูรณ์หากนับถือสัญลักษณ์ ^ หรือ ^
ไม่ได้เป็นหน่วย แต่เป็นอัตราส่วนของ DZ เพื่อ dy หรือ DY เพื่อ DX ได้.
ความคิดสำหรับหลักฐานว่าจึงเกิดขึ้นคือการพิจารณาความแตกต่างหาร

Az _ Az Ay
Ax Ay Ax
แล้วส่งผ่านถึงขีด จำกัด เป็นขวาน - » 0. ความยากลำบากที่เกิดขึ้นที่นี่ (ซึ่ง
เราก็ยังคงมีการจัดการกับบางส่วน) ก็คือว่าอาจจะ Ay 0 แม้ว่า Ax ^ 0

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ผลที่ตามมา 4 อนุพันธ์ ( g o f " ( x ) ขององค์ประกอบของ Differentiableฟังก์ชันค่าจริงเท่ากับสินค้ากรัมเอฟ( f ( x ) - f " ( x ) ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้คำนวณที่จุดที่สอดคล้องกันมีสิ่งล่อใจที่แข็งแกร่งเพื่อให้พิสูจน์สั้นนี้คำสั่งสุดท้ายในไลบนิซ " โน้ตสำหรับอนุพันธ์ ซึ่งถ้า Z = z ( Y ) และ y = y ( x ) , เรามีDZ DZ ดี้DX DY DX198 5 แคลคูลัสซึ่งดูเหมือนจะเป็นธรรมชาติ ถ้าใครนับถือสัญลักษณ์ ^ ^ หรือไม่ได้เป็นหน่วย แต่อัตราส่วนของ DZ ให้ดี้หรือดี้กับ DXความคิดเพื่อพิสูจน์ว่าจึงเกิดขึ้น เพื่อพิจารณาความแตกต่างAZ _ AZ . .ขวานขวาน . .แล้วผ่านไปยัง จำกัด เป็น»ขวาน - 0 ปัญหาที่เกิดขึ้นที่นี่ ซึ่งเรายังต้องจัดการกับในส่วน ! ) คือว่า นี่อาจเป็น 0 ถ้าขวาน ^ 0