The remarkable quality of Euclid’s

The remarkable quality of Euclid’s work is evidenced by the fact countless millions of people have learned geometry from his books, and much of the geometry taught in schools is almost unchanged from the original form.
The general content of the thirteen books of Euclid’s Elements is:
1: Constructions, congruence, area, Pythagorean Theorem
2: Geometry as it applies to algebra
3: Geometry of the circle
4: Constructions of polygons
5,6 Proportions and similar figures
7,8 ,9 Number Theory
10 Irrational numbers
11-13 Solid geometry dealing with volume, area, and construction
The method of developing ideas in the Elements is carried out in a very systematic way that came to characterize Greek mathematics. Euclid First established definitions for basic terms and concepts. Some of them are listed here:
Definitions
1. Point: a point is that which has no parts nor magnitude.
2. Line Segment: a line segment is length without thickness.
3. Ends of a Line Segment: the ends of a line segment are points.
4. Straight Line Segment: a straight line segment lies evenly between is end points
5. Surface: a surface is that which has length and width but not thickness.
6. Extremities of a Surface: the extremities of a surface are line segments.
7. Plane Surface: a plane surface is such that if any two points in it are joined by a line, the line lies wholly in that surface.
8. Parallel Lines: parallel lines are lines are lines in the same plane surface which, if extended ever so far in both directions, would not meet.

Once definitions were developed, Euclid’s next task was to state concisely several other basic ideas called axioms. A mathematical notion, the truth of which seems obvious, is called an axiom. Euclid’s axioms included the following:
Axioms
1. Things equal to the same or equal things are equal.
2. If equals are added to equals, the results are equal.
3. If equals are subtracted from equals, the results are equal.
4. Things which coincide with one another are equal.
5. The whole is greater than any of its parts.

A third and important characteristic of Euclid’s mathematics is that of geometric construction. A straightedge, such as an unmarked ruler, and a compass are the only tools permitted to carry out Euclidean Constructions.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คุณภาพโดดเด่นของ euclid's ทำงานเป็นหลักฐานข้อเท็จจริง มากมายหลายล้านคนได้เรียนรู้เรขาคณิตจากหนังสือของเขา และเรขาคณิตที่สอนในโรงเรียนเป็นเกือบไม่เปลี่ยนแปลงจากแบบเดิม เนื้อหาของหนังสือสิบสามของ euclid's องค์ประกอบคือ:1: ก่อสร้าง ลงตัว พื้นที่ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 2: รูปทรงเรขาคณิตเป็นกับพีชคณิต3: รูปทรงของวงกลม4: สิ่งก่อสร้างของรูปหลายเหลี่ยมสัดส่วน 5,6 และตัวเลขที่คล้ายกัน7,8, 9 หมายเลขทฤษฎีจำนวนอตรรกยะ 1011-13 เรขาคณิตแข็งจัดการกับปริมาตร พื้นที่ และก่อสร้าง วิธีการพัฒนาแนวคิดในองค์ประกอบจะดำเนินการอย่างเป็นระบบมากที่มาพร้อมกับลักษณะคณิตศาสตร์กรีก Euclid แรกก่อตั้งข้อกำหนดสำหรับข้อกำหนดเบื้องต้นและแนวคิด บางส่วนของพวกเขาอยู่ที่นี่:ข้อกำหนด1 จุด: จุดอยู่ที่ว่าไม่มีส่วนหรือขนาด2. บรรทัดเซ็กเมนต์: ส่วนที่เป็นเส้นมีความยาวไม่หนา3. ปลายของส่วนของเส้นตรง: ปลายของส่วนของเส้นตรงจุดนี้4. ตรงบรรทัดเซ็กเมนต์: ส่วนที่เป็นเส้นตรงอยู่ระหว่างเท่า ๆ กันเป็นจุดสิ้นสุด5. พื้นผิว: พื้นผิวเป็นที่ซึ่งมีความยาว และความกว้าง แต่ไม่หนา6. อวัยวะส่วนปลายสุดของพื้นผิว: อวัยวะส่วนปลายสุดของพื้นผิวเป็นเส้น7. ระนาบพื้นผิว: พื้นผิวเครื่องบินอยู่ซึ่งถ้าสองจุดใด ๆ ในเข้าร่วม โดยบรรทัด บรรทัดทั้งหมดที่อยู่ในพื้นผิวที่8 เส้น: เส้นขนานเป็นเส้นคือ เส้นในระนาบระนาบซึ่ง จะพบถ้าขยายเคยไกลในทั้งสองทิศทาง เมื่อข้อกำหนดได้รับการพัฒนา euclid's งานถัดไปคือการ ระบุง่าย ๆ หลายพื้นฐานความคิดอื่น ๆ เรียกว่าสัจพจน์ ความคิดในทางคณิตศาสตร์ ความจริงที่ดูเหมือนชัดเจน เรียกว่าสัทพจน์การ สัจพจน์ของ euclid's รวมต่อไปนี้:สัจพจน์1. เท่ากับสิ่งเดียวกัน หรือเท่ากับสิ่งเท่ากัน2. ถ้าจะเพิ่มเท่ากับเท่ากับ ผลลัพธ์เท่ากัน3. ถ้าเท่ากับออกจากเท่ากับ ผลลัพธ์เท่ากัน4. สิ่งที่ตรงกับคนอื่นเท่ากัน5. ทั้งหมดมีค่ามากกว่าของส่วน ภายนอกและลักษณะสำคัญของคณิตศาสตร์ euclid's เป็นที่ก่อสร้างรูปทรงเรขาคณิต มี straightedge เช่นไม้บรรทัดที่ทำเครื่องหมาย และเข็มทิศเป็นเครื่องมือเท่านั้นที่ได้รับอนุญาตให้ดำเนินการก่อสร้างแบบยุคลิด

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ที่มีคุณภาพที่โดดเด่นของการทำงานของยุคลิดเป็นหลักฐานโดยความเป็นจริงนับล้านนับไม่ถ้วนของผู้คนได้เรียนรู้รูปทรงเรขาคณิตจากหนังสือของเขาและมากของรูปทรงเรขาคณิตสอนในโรงเรียนเกือบจะไม่เปลี่ยนแปลงจากรูปแบบเดิม.
เนื้อหาทั่วไปของสิบสามหนังสือของ Euclid 's องค์ประกอบคือ
1: ก่อสร้าง,
ความสอดคล้องกันพื้นที่ทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่2:
เรขาคณิตตามที่ใช้กับพีชคณิตที่3:
เรขาคณิตของวงกลมที่4: การก่อสร้างของรูปหลายเหลี่ยม
5,6 สัดส่วนและตัวเลขที่คล้ายกัน
7,8, 9 ทฤษฎีจำนวน
10 หมายเลขลงตัว
11-13 ของแข็ง
เรขาคณิตการจัดการกับปริมาณพื้นที่และการก่อสร้างวิธีการพัฒนาความคิดในองค์ประกอบจะดำเนินการอย่างเป็นระบบมากที่มาถึงลักษณะคณิตศาสตร์กรีก Euclid คำจำกัดความที่จัดตั้งขึ้นเป็นครั้งแรกสำหรับแง่พื้นฐานและแนวคิด บางส่วนของพวกเขาอยู่ที่นี่:
นิยาม
1 จุดจุดคือสิ่งที่มีส่วนสำคัญหรือไม่.
2 ส่วนงานสาย: ส่วนของเส้นตรงคือความยาวโดยไม่ต้องหนา.
3 สิ้นสุดของส่วนงานสาย: ปลายของส่วนของเส้นตรงที่มีจุด.
4 ส่วนงานสายตรงส่วนของเส้นตรงอยู่เท่า ๆ กันระหว่างเป็นจุดสิ้นสุด
5 พื้นผิว: พื้นผิวที่เป็นสิ่งที่มีความยาวและความกว้าง แต่ไม่หนา.
6 แขนขาของพื้นผิว: ขาของพื้นผิวที่มีส่วนของเส้น.
7 พื้นผิวเครื่องบิน: พื้นผิวเครื่องบินเป็นเช่นนั้นถ้ามีสองจุดในนั้นจะเข้าร่วมด้วยเส้นบรรทัดทั้งหมดอยู่ในพื้นผิวที่.
8 เส้นขนาน:. เส้นเป็นเส้นเป็นเส้นในพื้นผิวระนาบเดียวกันซึ่งหากเคยขยายเพื่อให้ห่างไกลในทั้งสองทิศทางจะไม่ตอบสนองเมื่อคำจำกัดความได้รับการพัฒนางานต่อไปของยุคลิดเป็นรัฐหลายรัดกุมความคิดพื้นฐานอื่นๆ ที่เรียกว่าหลักการ ความคิดทางคณิตศาสตร์ของความจริงที่ดูเหมือนชัดเจนที่เรียกว่าความจริง หลักการของ Euclid รวมต่อไปนี้: สัจพจน์1 สิ่งที่เท่าเทียมกันกับสิ่งเดียวกันหรือเท่ากับมีค่าเท่ากัน. 2 ถ้าเท่ากับมีการเพิ่มเท่ากับผลลัพธ์ที่มีค่าเท่ากัน. 3 ถ้าจะเท่ากับเท่ากับหักออกจากผลที่มีค่าเท่ากัน. 4 สิ่งที่ตรงกับอีกคนหนึ่งที่มีค่าเท่ากัน. 5 ทั้งมีค่ามากกว่าใด ๆ ของส่วนของตน. ลักษณะที่สามและที่สำคัญของคณิตศาสตร์ยุคลิดเป็นที่ของการก่อสร้างทางเรขาคณิต ระนาบเช่นผู้ปกครองที่ไม่มีเครื่องหมายและเข็มทิศเป็นเครื่องมือเดียวที่ได้รับอนุญาตให้ดำเนินการก่อสร้างแบบยุคลิด

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

คุณภาพที่โดดเด่นของยูคลิดงานเป็นหลักฐานโดยความเป็นจริงที่นับไม่ถ้วนนับล้านคนได้เรียนรู้รูปทรงเรขาคณิตจากหนังสือของเขาและมากของรูปทรงเรขาคณิตที่สอนในโรงเรียนแทบจะไม่เปลี่ยนแปลงจากรูปแบบเดิมเนื้อหาของหนังสือของสิบสามของยูคลิดองค์ประกอบคือ :1 : ก่อสร้าง , ความสอดคล้อง , พื้นที่ , ทฤษฎีบทพีทาโกรัส2 : เรขาคณิตที่ใช้ในพีชคณิตที่ 3 : เรขาคณิตวงกลม4 : สร้างรูปหลายเหลี่ยม5 , 6 สัดส่วนตัวเลขที่คล้ายกันและ7 , 8 , ทฤษฎี 9 หมายเลข10 ตัวเลข ไร้เหตุผล11-13 เรขาคณิตการจัดการกับปริมาณพื้นที่ และการก่อสร้างวิธีการพัฒนาความคิดในองค์ประกอบจะดําเนินการในระบบมากที่มาศึกษาคณิตศาสตร์กรีก ยูคลิดแรกสร้างความหมายสำหรับเงื่อนไขพื้นฐานและแนวคิด บางส่วนของพวกเขาที่นี่ :คำนิยาม1 . จุด : จุดที่ไม่มีส่วนหรือขนาด2 . ส่วนของเส้น : เส้นตรงความยาวโดยไม่มีความหนา3 . ปลายของเส้นตรง : ปลายของส่วนของเส้นตรงที่มีจุด4 . ส่วนของเส้นตรงส่วนเส้นตรงอยู่เท่าๆ กัน คือ จุดที่สิ้นสุด5 . ผิว : ผิวซึ่งมีความกว้างและความยาว แต่ไม่หนา6 . ขา : ขาของพื้นผิวของพื้นผิวเป็นส่วนของเส้นตรง7 . เครื่องบิน : เครื่องบินพื้นผิวพื้นผิวเช่นว่าถ้าจุดสองจุดใด ๆในนั้นจะเข้าร่วมด้วย เส้นอยู่ทั้งหมดในที่พื้นผิว8 . เส้นขนาน : เส้นขนานเป็นเส้นเป็นสายในพื้นผิวระนาบเดียวกันซึ่ง ถ้าขยายได้เพื่อให้ห่างไกลในทั้งสองทิศทาง ไม่เจอเมื่อคำนิยามได้รับการพัฒนา , ยูคลิดต่อไปงานรัฐรวบรัดหลาย ๆแนวคิดพื้นฐานเรียกว่าสัจพจน์ . ความคิดทางคณิตศาสตร์ ความจริงที่ดูเหมือนว่าชัดเจน เรียกว่าสัจพจน์ . ยุคลิดเป็นสัจพจน์รวมต่อไปนี้ :สัจพจน์1 . มันเท่ากับสิ่งที่เหมือนกันหรือเท่ากันจะเท่ากัน2 . ถ้าเท่ากับจะเพิ่มเท่ากับ ผลเท่ากัน3 . ถ้าเสมอกันจะหักออกจากเท่ากับผลเท่ากัน4 . สิ่งซึ่งตรงกันกับคนอื่นเท่านั้น5 . ทั้งหมดเป็นมากขึ้นกว่าใด ๆของชิ้นส่วนของสามลักษณะของยูคลิดเป็นคณิตศาสตร์ที่สำคัญของการก่อสร้างทางเรขาคณิตและ ไม้บรรทัด เช่น ไม้บรรทัด ป่าทึบ และเข็มทิศเป็นเครื่องมือที่อนุญาตให้นำออกมาใช้ในการก่อสร้าง