Questions about the convergence of

Questions about the convergence of infinite sequences or series of matrices can be treated with vector norms just as one treats infinite se quences or series of vector.

Ex. Let { A } < M be a given infinite sequence of matrices. Show that the series M = 0 converges to some matrix in M if there is a vector norm || on M such that the numerical series M= o is convergent (or even if its partial sums are bounded ). Hint: Show that the partial sums form a Cauchy sequence.

One special case for matrices that does not arise in the study of infinite series of vectors is the case of power series of matrices. But because of the submultiplicative property of matrix norms, it is easy to give a simple sufficient condition for convergence of matrix power series.

5.6.15 Theorem. If A < M , then the series M… converges if there is a matrix norm || on M such that the numerical series M = || converges, or even if the partial sums of this series are bounded.

Ex. Prove (5.6.15)
Ex. Show by example that it is possible that the series M =0 converges and the series M = || diverges. This is analogous to conditional convergence (convergence but not absolute convergence) for numerical series.

Ex. Let the function f(z) be defined by the power series f(z) = M , which has radius of convergence R > 0 , and let || be a matrix norm on M . Show that f(A) =_ M is well defined for all A < M such that || . More generally, show that f(A) is well defined for all A

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คำถามเกี่ยวกับการบรรจบกันของลำดับอนันต์หรือชุดของเมทริกซ์สามารถรักษา ด้วยเวกเตอร์บรรทัดฐานเหมือนหนึ่งจะ quences se อนันต์หรือชุดของเวกเตอร์

Ex ให้ {A } < M สามารถกำหนดลำดับอนันต์ของเมทริกซ์ แสดงว่าชุด M = 0 converges กับเมทริกซ์บางใน M ถ้ามีเวกเตอร์บรรทัดฐาน || ใน M ให้ชุดตัวเลข M = o เป็น convergent (หรือแม้ของผลรวมบางส่วนล้อมรอบ) คำแนะนำ: แสดงว่า ผลรวมบางส่วนแบบลำดับ Cauchy ที่

หนึ่งกรณีพิเศษสำหรับเมทริกซ์ที่ไม่เกิดขึ้นในการศึกษาของอนันต์ของเวกเตอร์ เป็นกรณีของอนุกรมกำลังของเมทริกซ์ แต่เนื่องจากคุณสมบัติ submultiplicative ของเมตริกซ์บรรทัดฐาน ซึ่งง่ายต่อการให้เงื่อนไขอย่างง่ายเพียงพอสำหรับการบรรจบกันของเมทริกซ์อนุกรมกำลัง

5.6.15 ทฤษฎีบท ถ้า A < M แล้วชุดเมตร... ถ้าไม่ปกติเมตริกซ์ converges || ใน M ให้ชุดตัวเลข M = || converges หรือล้อมรอบแม้ว่าบางส่วนผลรวมของชุดนี้

เช่น Prove (5.6.15)
Ex ดูตามตัวอย่างที่เป็นไปได้ที่ชุด M = 0 converges และชุด M = || diverges นี้จะคล้ายคลึงกับเงื่อนไขบรรจบกัน (บรรจบกันแต่ลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ไม่) สำหรับตัวเลขชุดนั้น

Ex ให้ f(z) ฟังก์ชันที่กำหนด โดย f(z) พลังงาน = M ซึ่งมีรัศมีของการลู่เข้า R > 0 และปล่อยให้ || เป็นปกติเมตริกซ์ใน M แสดงที่ f(A) _ M ดีไว้ทั้งหมด A = < M ที่ || . เพิ่มเติมทั่วไป แสดงที่ f(A) ที่กำหนดไว้สำหรับทุก A < M เช่น p(A) ที่ < R.

Ex ถ้าเป็น diagonalizable และ A = S หนึ่งบางครั้งกำหนด..., ที่ f(A...) แสดงว่า คำนิยามนี้ของ f(A) ตกลง มีการกำหนดพลังงานในแบบฝึกหัดก่อนหน้านี้ถ้าเป็น diagonalizable เป็นหนึ่งในนิยามทั้งสองเพิ่มเติมกว่าอื่น ๆ

เช่นแสดงว่าเมทริกซ์ที่เนนโดยชุดไฟ


ไว้ด้วยสำหรับทุก A < M

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คำถามเกี่ยวกับการบรรจบกันของลำดับที่ไม่มีที่สิ้นสุดหรือชุดของการฝึกอบรมที่สามารถรับการรักษาด้วยบรรทัดฐานเวกเตอร์เช่นเดียวกับที่ปฏิบัติต่อหนึ่ง quences SE ไม่มีที่สิ้นสุดหรือชุดของเวกเตอร์อดีต ให้ {} <M เป็นลำดับอนันต์ที่ได้รับการฝึกอบรม แสดงให้เห็นว่าซีรีส์ M = 0 ลู่กับเมทริกซ์ในเอ็มบางอย่างถ้ามีบรรทัดฐานเวกเตอร์ || ที่เอ็มดังกล่าวว่าชุดตัวเลข M = o เป็นมาบรรจบกัน (หรือแม้กระทั่งถ้าผลรวมบางส่วนของ บริษัท มีการกระโดด) คำแนะนำ: แสดงให้เห็นว่าผลรวมบางส่วนในรูปแบบลำดับ Cauchy กรณีพิเศษหนึ่งสำหรับการฝึกอบรมที่ไม่ได้เกิดขึ้นในการศึกษาแบบไม่มีที่สิ้นสุดของเวกเตอร์เป็นกรณีของชุดพลังของการฝึกอบรม แต่เนื่องจากสถานที่ให้บริการ submultiplicative ของบรรทัดฐานเมทริกซ์มันเป็นเรื่องง่ายที่จะให้เงื่อนไขที่เพียงพอที่ง่ายสำหรับการบรรจบกันของเมทริกซ์ชุดไฟ5.6.15 ทฤษฎีบท ถ้า <M แล้วชุด M ... ลู่ถ้ามีบรรทัดฐานเมทริกซ์ที่ || M ดังกล่าวว่าชุดตัวเลข M = || ลู่หรือแม้ว่าผลรวมบางส่วนของชุดนี้จะกระโดดอดีต พิสูจน์ (5.6.15) อดีต แสดงโดยตัวอย่างที่เป็นไปได้ว่าชุด M = 0 ลู่และชุด M = || ลู่ นี้จะคล้ายคลึงกับการบรรจบเงื่อนไข (ลู่ลู่ แต่ไม่สมบูรณ์) สำหรับชุดที่เป็นตัวเลขอดีต ให้ฟังก์ชัน f (Z) ถูกกำหนดโดยอำนาจแบบ f (Z) = M ซึ่งมีรัศมีของการบรรจบ R> 0 และให้ || เป็นบรรทัดฐานเมทริกซ์ในเอ็ม แสดงว่า f (A) = _ M มีการกำหนดไว้อย่างดีสำหรับทุก M <เช่นที่ || อื่น ๆ โดยทั่วไปแสดงให้เห็นว่า f () จะถูกกำหนดไว้อย่างดีสำหรับทุก











อดีต ถ้าเป็น diagonalizable และ S = หนึ่งบางครั้งกำหนด ... ที่ f (... ). แสดงให้เห็นว่าคำนิยามนี้ของ f () เห็นด้วยกับคำนิยามของชุดพลังงานในการออกกำลังกายก่อนหน้านี้ถ้าเป็น diagonalizable เป็นหนึ่งในสองความหมายทั่วไปมากขึ้นกว่าที่อื่น ๆ ? อดีต แสดงให้เห็นว่าแทนเมทริกซ์ที่กำหนดโดยอำนาจแบบที่กำหนดไว้อย่างดีสำหรับทุก <M

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

คำถามเกี่ยวกับการบรรจบกันของลำดับอนันต์ หรือชุดของเมทริกซ์สามารถรักษาได้กับเกณฑ์เวกเตอร์เช่นเดียวกับหนึ่งถือว่าอนันต์ เซ quences หรือชุดของเวกเตอร์

ขอให้ { } < M จะให้ลำดับอนันต์ของเมทริกซ์แสดงให้เห็นว่าชุด M = 0 - บางเมทริกซ์ M หากมีบรรทัดฐาน | เวกเตอร์ | m ที่ตัวเลขชุด M = O จะลู่เข้า ( หรือแม้ของผลรวมบางส่วนถูกล้อมรอบ ) คำใบ้ : แสดงผลรวมบางส่วนรูปแบบลำดับ Cauchy .

พิเศษกรณีสำหรับเมทริกซ์ที่ไม่ได้เกิดขึ้นในการศึกษาชุดอนันต์ของเวกเตอร์เป็นกรณีของอำนาจแบบเมทริกซ์แต่เพราะคุณสมบัติ submultiplicative บรรทัดฐานเมทริกซ์ , มันเป็นเรื่องง่ายที่จะให้เงื่อนไขเพียงพอที่ง่ายสำหรับการบรรจบกันของชุดไฟเมทริกซ์

5.6.15 ทฤษฎีบท ถ้า < M แล้วชุด . . . - ถ้ามีค่าประจำเมทริกซ์ | | m ที่ตัวเลขชุด M = | | ๆหรือแม้ผลรวมบางส่วนของอนุกรมนี้มีจำกัด เช่น พิสูจน์ ( 5.6.15 )

.แสดงโดยตัวอย่างที่เป็นไปได้ว่าชุด M = 0 - และชุด M = | | diverges . นี้จะคล้ายกับการลู่เข้าตามเงื่อนไข ( บรรจบกันแต่ไม่บรรจบกันแน่นอน ) สำหรับชุดตัวเลข

ขอให้ฟังก์ชัน f ( Z ) ถูกกำหนดโดยอำนาจแบบ f ( z ) = M ซึ่งมีรัศมีของบรรจบกัน r > 0 และให้ | | เป็นบรรทัดฐานเมทริกซ์ m .แสดงให้เห็นว่า f ( A ) = _ M เป็นที่ชัดเจนสำหรับทุกคน < M เช่นที่ | | . โดยทั่วไปแล้ว แสดงว่า f ( ) คือการกำหนดสำหรับทั้งหมด < M เช่นว่า P ( A ) < R .

ถ้าเป็น diagonalizable และ = S , หนึ่งบางครั้งกำหนด . . . . . . . ที่ F ( . . . ) แสดงว่านิยามของ f ( a ) เห็นด้วยกับชุดไฟคำนิยามในการออกกำลังกายก่อนหน้านี้ถ้าเป็น diagonalizable .เป็นหนึ่งในสองความหมายทั่วไปมากขึ้นกว่าคนอื่น ๆ ?

เช่น แสดงให้เห็นว่าเมทริกซ์เลขชี้กำลังที่ได้รับจากชุดไฟ


เป็นอย่างดีที่กำหนดไว้สำหรับทุก < M .