8.ConclusionThe rejection of absolu

8.Conclusion
The rejection of absolutism should be seen as a banishment of mathematics from the Garden of Eden, the realm of cetaity and truth. The ‘loss of certainty’ (Kline,1980)doere not represent a loss of knowledge.
There is an illuminating analogy with developments in modern physics, General Relativity Theory requires relinquishing absolute, universal frames of reference in favour of s relativistic perspective. In Quatum Theory, Heisenberg’s Uncertainty Principle means that notions of precisely determined measurements of position and momentum for particles also hashas had to be given up. But what we see here are not the loss ofknowledge, of absolute frames and certainty. Rather we see the growth of knowledge, bringing with it a realizationof the limits of what can be known. Relativity and Uncertainty in physics represent major sdvances in knowledge, adnances which take us to the limits of knowledge(for so long as the theories are retained).
Likewise in mathematics, as our knowledge has become better founded and we learn more about its basis, we have come to realize that absolutist view is an idealization, a myth. This represents an advance in knowledge, not a retreat from past certainty. The absolutist Garden of Eden was nothing a fool’s paradise.
Notes
In this chapter, for sirnplicity.the definition of truth in mathematics is assued to be unprbleatic and unambiguous. Whilst justifird as a simplifying assumption, sincc none of the arguments of the chapter hinge on the ambiguity of this notion, the meaning of the conept of truth in mathematics has changed over time. We can distinguish between three truh-related concepts used in mathcmatics:
(a)Thcre is the traditional view of mathematical truth, namely the]at a mathematical truth is a general statement which not only correctly describes all its instances I the world (as does a true empirical gen),but only necessarily true of its instances liplicit in this view is the assumption that mathematical theories have anintended interpretation, namely some idealization of the world.
(b)There is the rnodern view of the truth of a mathematical statement relative to a background mathematical to this theory; the statement is satisfied by some interprctation or model of the theory. According to this (and the following) view, mathenmatics is open to multiple interprctations, i.e., possible worlds. Truth consists merely in being true (i.e., satisfied, following Tarski,1936)in one of these possible worlds.
(c) There is the modern view of the logicah truth or nalidity of a maathcmatical statement relaivc to abackground theory; the statement is satisfied by all interpretions or modcls of the theory . Thus the statcment is truc in all of these possible worlds.
Truth in sense( c) can be established by deduction from the background theory as an axiom set. For a given theory, truths in a sense( c)are a subset(usually a propert) of truths in sense (b).further in the next chapter, as one of several contributors to a proposed social constructivist philosophy of mathematics.

E. Empiricism
The empiricist view of the nature of mathematics (‘naïve empiricism’ ,to distinguish it from Lakatos’ quasi-empiricism) holds that the truths of mathematics are empirical generalizations. We can distinguish two empiricist theses: (i) the concepts of mathematics have empirical origins, and (ii) the truths of mathematics have empirical justification, that is, are derived from observations of the physical world. The first thesis unobjectionable , and is accepted by most philosophers of mathematics (given that many concepts are not directly formed from observations but are defined in terms of other concepts which lead, via definitional chains, to observational concepts) .The second thesis is rejected by all but empiricists, since it leads to some absurdities .THE initial objection is that most mathematical knowledge is accepted on theoretical, as opposed to empirical grounds. Thus I know that 999,999+1 =1000,000 not through having observed its truth in the world, but through my theoretical knowledge of number and numeration.
Mill (1961) partly anticipates this objections,suggesting that the principles and axioms of mathematics are induced from observations of the world, and that other truths are derived from these by deduction. However,empiricism is open to a number of further criticisms.
First of all, when our experience contradicts elementary mathematical truths, we do not give them up (Davis and Hersh, 1980). Rather we assume that some error has crept in to our reasoning, because there is shared agreement about mathematics, which precludes the rejection of mathematical truths(Wittgenstein, 1978). Thus, ‘1+1 =3’ is necessarily false, not because one rebbit added to another does not give three rabbits, but because by definition ‘1+1’ means ‘the successor of 1’ and ‘2’ is the successor of ‘1’
Secondly’ mathematics is largely abstract’ and so many of its concepts do not have their origins in observations of theworkd. Rather they are based on previously formed concepts. Truths about such concepts’ which form the buik of mathematics, cannot therefore be said to be induced from observations of the external world.
Finally, empiricism can be criticized for focusing almost exclusively on foundationist issues, and failing to account adequately for the nature of mathematics. This, as has been argued above, is the major purpose of the philosophy of mathematics. On the basis of this criticism we can reject the naïve empiricist view of mathematics as inadequate.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

8.Conclusion
ปฏิเสธอันทรงภูมิธรรมที่ควรเห็นเป็น banishment ของคณิตศาสตร์จากสวนของ Eden ขอบเขตของ cetaity และความจริง 'สูญเสียรู้' (ไคลน์ 1980) doere ได้แสดงถึงการสูญเสียของความรู้
มีการเปรียบเทียบสัญญาณที่ มีการพัฒนาในวิชาฟิสิกส์สมัยใหม่ ทฤษฎีทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปต้องการ relinquishing แบบเต็ม สากลกรอบของการอ้างอิงลงมุมมอง relativistic s Quatum ทฤษฎี หลักความไม่แน่นอนของ Heisenberg หมายความ ว่า กำลังวัดแม่นยำกำหนดตำแหน่งและโมเมนตัมสำหรับอนุภาคที่ยัง hashas มีการกำหนดค่า แต่สิ่งที่เราเห็นนี่ไม่ ofknowledge ขาดทุน เฟรมที่แน่นอนและแน่นอน แต่ เราเห็นการเติบโตของความรู้ นำด้วย realizationof เป็นขีดจำกัดของสิ่งที่สามารถรู้จักกัน ทฤษฎีสัมพัทธภาพและความไม่แน่นอนในฟิสิกส์แทน sdvances สำคัญในความรู้ adnances ซึ่งเราไปขีดจำกัดของ knowledge(for so long as the theories are retained)
ทำนองเดียวกัน ในคณิตศาสตร์ เป็นความรู้ของเราได้เป็นดีก่อตั้งขึ้น และเราเรียนรู้เกี่ยวกับพื้นฐาน เพิ่มเติม เราได้มารู้ว่าดู absolutist การ idealization ตำนาน นี้แสดงถึงการก้าวหน้าในความรู้ ไม่หนีจากความแน่นอนที่ผ่านมา Absolutist สวนของ Eden เป็นสวรรค์ของคนโง่อะไร
หมายเหตุ
ในบทนี้ สำหรับ sirnplicity.the คำนิยามของความจริงในวิชาคณิตศาสตร์คือ assued unprbleatic และชัดเจน ในขณะที่ justifird เป็นอัสสัมชัญ simplifying sincc อาร์กิวเมนต์ของบทไม่มีบานพับย่อของความคิดนี้ ความหมายของ conept ของความจริงในวิชาคณิตศาสตร์มีการเปลี่ยนแปลงเวลา เราสามารถแยกความแตกต่างระหว่างสาม truh ที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดที่ใช้ใน mathcmatics:
Thcre (a) เป็นมุมมองแบบดั้งเดิมของความจริงทางคณิตศาสตร์ ได้แก่การ] ความจริงทางคณิตศาสตร์เป็นคำทั่วไปซึ่งอธิบายไม่ถูกต้องเฉพาะอินสแตนซ์ทั้งหมดของฉันโลก (เป็นไม่เป็น gen ประจักษ์จริง), แต่เพียงจำเป็นต้องจริงของอินสแตนซ์ของ liplicit ในมุมมองนี้เป็นสมมติฐานที่ว่า ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์มี anintended ตี คือบาง idealization ของโลก
(b)มีมุมมอง rnodern ความจริงของคำสั่งทางคณิตศาสตร์สัมพันธ์กับพื้นหลังที่ทางคณิตศาสตร์กับทฤษฎีนี้ ยอดไม่พอใจบาง interprctation หรือแบบจำลองของทฤษฎี ตามนี้ (และต่อไปนี้) ดู mathenmatics มีหลาย interprctations เช่น โลกที่สามารถเปิด ความจริงประกอบด้วยแต่ในความจริง (เช่น พอใจ Tarski ต่อไปนี้ค.ศ. 1936) ใน worlds.
(c) เหล่านี้สามารถ มีมุมมองทันสมัยจริง logicah หรือ nalidity ของ relaivc มีงบ maathcmatical กับทฤษฎี abackground ยอดไม่พอใจ โดย interpretions หรือ modcls ของทฤษฎีทั้งหมด ตรุ๊กในทั้งหมดของเหล่านี้ได้โลกจึง statcment
สามารถสร้างความจริงในความรู้สึก (c) โดยหักจากทฤษฎีที่เป็นชุดเป็นสัจพจน์ได้ สำหรับทฤษฎีกำหนด สัจธรรมในความรู้สึก (c) เป็นชุดย่อย (ปกติ propert) ของจริงในความรู้สึก (b) .further ในบทถัดไป เป็นหนึ่งในผู้ให้การสนับสนุนหลายไปแบบสร้างสรรค์นิยมสังคมเสนอปรัชญาของคณิตศาสตร์

E. Empiricism
ดู empiricist ธรรมชาติของคณิตศาสตร์ ('ขำน่า empiricism"เพื่อแยกออกจาก Lakatos' quasi-empiricism) เก็บสัจธรรมของคณิตศาสตร์ generalizations ประจักษ์ เราสามารถแยกความแตกต่างสอง empiricist บรรณานุกรม: (i)แนวคิดของคณิตศาสตร์ได้ประจักษ์กำเนิด และ (ii)จริงของคณิตศาสตร์มีเหตุผลประจักษ์ คือ มาจากข้อสังเกตของโลกทางกายภาพได้ วิทยานิพนธ์ครั้งแรก unobjectionable และเป็นที่ยอมรับ โดยนักปรัชญาส่วนใหญ่ของคณิตศาสตร์ (ระบุว่าหลายแนวคิดจะไม่โดยตรงเกิดขึ้นจากการสังเกตการณ์ แต่จะกำหนดในรูปแนวคิดอื่น ๆ ที่นำ ผ่านโซ่ definitional แนวคิดเชิงสังเกตการณ์)วิทยานิพนธ์ที่สองถูกปฏิเสธทั้งหมดแต่ empiricists เนื่องจากจะนำไปสู่การไร้สาระบางมรดกเริ่มต้นอยู่ที่ความรู้ทางคณิตศาสตร์มากที่สุดเป็นที่ยอมรับในทฤษฎี ตรงข้ามกับเหตุผลรวมกัน ดังนั้น ฉันรู้ว่า 999,999 1 = 1000,000 ไม่ ผ่านมีสังเกตความจริงของโลก แต่ ทางของฉันความรู้ทฤษฎีจำนวนและ numeration
มิลล์ (1961) บางส่วนคาดการณ์การคัดค้านนี้แนะนำเกิดที่ หลักและสัจพจน์ของคณิตศาสตร์จากการสังเกตของโลก และที่ เว็บอื่น ๆ มาจากหักเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม empiricism จะเปิดให้จำนวนของเพิ่มเติมวิจารณ์
ครั้งแรกของทั้งหมด เมื่อประสบการณ์ของเราทุกเว็บคณิตศาสตร์ประถมศึกษา เราไม่สามารถ (Davis และ Hersh, 1980) แต่ เราสมมติว่า มี crept ข้อผิดพลาดบางอย่างในการใช้เหตุผลของเรา เนื่องจากมีข้อตกลงร่วมกันเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ซึ่งไม่สามารถปฏิเสธสัจธรรมทางคณิตศาสตร์ (Wittgenstein, 1978) , ' 1 = 3' เป็นจำเป็นเท็จ ไม่ได้ เพราะเพิ่มอีก rebbit หนึ่งให้กระต่ายสาม 1 แต่เนื่องจากตามนิยาม ' 1 1' หมายถึง 'สืบ 1' และ ' 2' จึงสืบ '1'
ประการที่สอง ' คณิตศาสตร์เป็นนามธรรมส่วนใหญ่ ' และเพื่อ ให้แนวคิดมากมายไม่มีจุดเริ่มต้นของพวกเขาในการสังเกตของ theworkd ค่อนข้าง จะอยู่ในแนวคิดรูปแบบก่อนหน้านี้ เว็บเกี่ยวกับดังกล่าวแนวคิดซึ่งเป็น buik ของคณิตศาสตร์ ไม่ดังนั้นจะกล่าวว่า จะเกิดจากการสังเกตของภายนอกโลก
ในที่สุด empiricism สามารถถูกวิพากษ์วิจารณ์โดยเฉพาะเน้นปัญหา foundationist และการบัญชีอย่างเพียงพอสำหรับธรรมชาติของคณิตศาสตร์ นี้ มีการโต้เถียงเหนือ เป็นวัตถุประสงค์หลักของปรัชญาของคณิตศาสตร์ โดยเราสามารถปฏิเสธดู empiricist ขำน่าของคณิตศาสตร์เป็นไม่เพียงพอการวิจารณ์นี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

8 . สรุป
การสัมบูรณ์ควรจะเห็นเป็นการเนรเทศของคณิตศาสตร์จากสวนเอเดน อาณาจักรของ cetaity และความจริง " การสูญเสียของความแน่นอน ( ไคลน์ , 1980 ) doere ไม่ได้เป็นตัวแทนของการสูญเสียของความรู้ .
มีการพัฒนาให้คล้ายคลึงกับฟิสิกส์สมัยใหม่ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป ต้องปัดแบบสัมบูรณ์สากลกรอบอ้างอิงในความโปรดปรานของมุมมองของแสง . ในทฤษฎี quatum ไฮเซนเบิร์กคือความไม่แน่นอนหมายความว่าช่องที่แน่นอนกำหนดวัดตำแหน่งและโมเมนตัมของอนุภาคยัง hashas ต้องยอมแพ้ แต่สิ่งที่เราเห็นที่นี่จะไม่สูญเสียความรู้ ของเฟรมที่แน่นอนและชัดเจน แต่เราเห็นการเจริญเติบโตของความรู้เอากับมัน realizationof ขอบเขตของสิ่งที่สามารถจะรู้จัก ความสัมพันธ์และความไม่แน่นอนในฟิสิกส์แทน sdvances สาขาความรู้ adnances ที่พาพวกเราไปที่ขอบเขตของความรู้ ( นานเป็นทฤษฎียังคงอยู่ ) .
เช่นเดียวกันในทางคณิตศาสตร์ ความรู้ของเราได้กลายเป็นดีขึ้นและเราเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นฐานของเราตระหนักดีว่า Absolutist ดูเป็นแหลกละเอียด , ตำนาน นี้แสดงความก้าวหน้าในความรู้ ไม่หนีจากอดีตแน่นอน โดย Absolutist สวนอีเดนอะไรโง่ๆ พาราไดซ์

ในบันทึกบทนี้ สำหรับ sirnplicity.the นิยามของความจริงในทางคณิตศาสตร์ คือ assued เป็น unprbleatic และชัดเจน . ขณะที่ justifird เป็นลการสมมุติฐานsincc ไม่มีข้อโต้แย้งของบทที่บานพับในความคลุมเครือของความคิดนี้ ความหมายของ conept ของความจริงในทางคณิตศาสตร์มีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา เราสามารถแยกความแตกต่างระหว่างสาม truh เกี่ยวข้องกับแนวคิดที่ใช้ใน mathcmatics :
( ) thcre เป็นมุมมองแบบดั้งเดิมของความจริงทางคณิตศาสตร์คือในความจริงทางคณิตศาสตร์เป็นนายพลสั่งที่ไม่เพียง แต่ถูกต้องอธิบายทั้งหมดของอินสแตนซ์ผมโลก ( ที่ไม่จริงเชิงประจักษ์ Gen ) แต่ต้องที่แท้จริงของอินสแตนซ์ liplicit ในมุมมองนี้มีสมมติฐานว่า ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ได้ anintended ตีความ คือบางแหลกละเอียดของโลก .
( ข ) มีมุมมอง rnodern ความจริงทางคณิตศาสตร์ งบเทียบกับพื้นหลังคณิตศาสตร์ ทฤษฎีนี้ งบพอ โดยบาง interprctation หรือรูปแบบของทฤษฎี ตามนี้ ( และต่อไป ) ดู วิชา คณิตศาสตร์ ( เปิดหลาย interprctations คือโลกที่เป็นไปได้ ความจริงเป็นเพียงการจริง ( เช่น , พอใจ , tarski ต่อไปนี้ ,1936 ) ในหนึ่งของโลกที่เป็นไปได้เหล่านี้ .
( C ) มีมุมมองที่ทันสมัยของ logicah ความจริงหรือ nalidity ของ relaivc งบ maathcmatical ทฤษฎี abackground ; งบพอ โดยทั้งหมด interpretions หรือ modcls ของทฤษฎี ดังนั้น statcment เป็นรถลากในทั้งหมดของโลกที่เป็นไปได้เหล่านี้ .
ความจริงในความรู้สึก ( C ) สามารถจะจัดตั้งขึ้นโดยการหักจากทฤษฎีหลังเป็นสัจพจน์เซตให้ทฤษฎีความจริงในความรู้สึก ( C ) เป็นเซตย่อย ( มักจะเป็นพร็อปเพิร์ต ) ความจริงในความรู้สึก ( ข ) ต่อไปในบทถัดไป เป็นหนึ่งใน หลาย ผู้เสนอสังคมตามแนวคิดปรัชญาของคณิตศาสตร์ .

E
empiricist ประสบการณ์นิยม ทิวทัศน์ธรรมชาติของคณิตศาสตร์ ( 'na ไตเคยเข้าแข่งขัน "แยกแยะความแตกต่างจาก ลากาตอส ' กึ่งประสบการณ์นิยม ) ถือว่าความจริงของคณิตศาสตร์ทั่วไปเชิงประจักษ์ เราสามารถแยกแยะสอง empiricist วิทยานิพนธ์ : ( ฉัน ) แนวคิดของคณิตศาสตร์มีต้นกำเนิดเชิงประจักษ์ และ ( ii ) ความจริงของคณิตศาสตร์เชิงประจักษ์เหตุผลนั้น คือมีที่มาจากการสังเกตของโลกทางกายภาพ วิทยานิพนธ์ unobjectionable แรก ,และเป็นที่ยอมรับโดยนักปรัชญาส่วนใหญ่ของคณิตศาสตร์ ( ระบุว่าแนวคิดมากไม่ขึ้นตรงจากการสังเกต แต่ถูกกำหนดในแง่ของอื่น ๆซึ่งนำแนวคิดทางโซ่ , คำนิยามแนวคิดเชิง ) . วิทยานิพนธ์ที่สองถูกทั้งหมด แต่ empiricists เพราะมันนำไปสู่ความไร้สาระบ้าง .โจทย์แรกคือ ความรู้ทางคณิตศาสตร์มากที่สุดคือการยอมรับในทางทฤษฎี ซึ่งตรงข้ามกับเหตุผลเชิงประจักษ์ ดังนั้นผมจึงรู้ว่า 999999 1 = 1000000 ไม่ผ่านมีสังเกตจริงในโลก แต่ด้วยทฤษฎีความรู้ของฉันของตัวเลขและการนับ .
โรงสี ( 1961 ) บางส่วนคาดการณ์นี้จะคัดค้านแนะนำว่า หลักการและหลักการของคณิตศาสตร์ที่เกิดจากการสังเกตของโลกและความจริงอื่น ๆที่ได้มาจากเหล่านี้โดยการอนุมาน อย่างไรก็ตาม ประสบการณ์นิยมเปิดไปยังหมายเลขของการวิพากษ์วิจารณ์เพิ่มเติม .
ครั้งแรกของทั้งหมด เมื่อประสบการณ์ของเราขัดแย้งกับความจริงทางคณิตศาสตร์เบื้องต้น เราไม่ให้พวกเขา ( เดวิสและ Hersh , 1980 )แต่เราสันนิษฐานว่าเกิดข้อผิดพลาดบางอย่างได้พุ่งในเหตุผลของเรา เพราะมีข้อตกลงร่วมกันเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ซึ่ง precludes การปฏิเสธความจริงทางคณิตศาสตร์ ( วิทเก้นสไตน์ , 1978 ) ดังนั้น ' 1 1 = 3 ' เป็นเท็จ ไม่ใช่เพราะ rebbit เพิ่มอีกไม่ให้สามกระต่าย แต่เพราะความ ' 1 ' หมายถึง ' ทายาทของ 1 ' และ ' 2 ' เป็นทายาทของ ' '
1ประการที่สอง ' คณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เป็นนามธรรมและมากมายของแนวคิดของมันไม่ได้มีต้นกำเนิดของพวกเขาในการสังเกตของ theworkd . แต่พวกเขาจะขึ้นอยู่กับรูปแบบก่อนหน้านี้แนวคิด ความจริงเกี่ยวกับแนวคิดดังกล่าว ซึ่งรูปแบบ buik คณิตศาสตร์ไม่ดังจะกล่าวว่าเป็นการสังเกตการณ์ของโลกภายนอก
ในที่สุดประสบการณ์นิยมสามารถวิพากษ์วิจารณ์เพื่อมุ่งเน้นเกือบเฉพาะในประเด็น foundationist และความล้มเหลวในบัญชีเพียงพอสำหรับธรรมชาติของคณิตศาสตร์ นี้ ได้มีการถกเถียงข้างต้นคือวัตถุประสงค์หลักของปรัชญาของคณิตศาสตร์ บนพื้นฐานของการวิจารณ์นี้ เราสามารถปฏิเสธ na ไตได้ empiricist มุมมองของคณิตศาสตร์
เป็นเพียงพอ