A sum of positive natural numbers a

A sum of positive natural numbers adding up to n is called a partition of n. For
instance, 1+2+4 is a partition of 7. As none of the summands 1, 2, 4 are equal, this
is called a partition into unequal parts. There are five partitions of 7 into unequal
parts:
1 + 2 + 4, 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 7.
Since the partitions 1 + 2 + 4 and 7 contain an odd number of summands, they are
called odd partitions, whereas the other three partitions are called even. Add the
smallest numbers of the odd partitions, 1 + 7 = 8, and do the same for the smallest
numbers of the even partitions, 1 + 2 + 3 = 6. The difference between these two
sums, 8 − 6 = 2, is exactly the number of divisors of the prime 7.
In the sequel, p(n) denotes the sum of the smallest numbers of odd partitions of
n minus the smallest numbers of even partitions of n, and d(n) denotes the number
of divisors of n. For small numbers n, it is easy to check that p(n) equals d(n). This
is not a coincidence; we shall see that it is a general relation between the smallest
numbers of partitions into unequal parts and the number of divisors.
Theorem. p(n) = d(n) for all positive natural numbers n.
In order to prove this theorem, we introduce the sum of polynomial quotients
Pn(X) =
nX−1
i=0
(1 − Xi+1)(1 − Xi+2). . .(1 − Xn
)
1 − Xn−i
for positive natural numbers n. At each consecutive quotient, the degree of the
denominator decreases by one, and the leftmost factor in the numerator drops out.
Fix an m = 1, ..., n. We shall show that the coefficient αm for Xm in Pn(X) equals
d(m) − p(m).
First, we determine the contributions from the separate quotients of Pn(X) to αm.
Fix an i = 0, ..., n−1, and replace the denominator 1/(1− Xn−i
) in the ith quotient
of Pn(X) by its power series (which converges for |X| < 1). Hence, the ith quotient
of Pn(X) takes the form
(1 − Xi+1). . .(1 − Xn
)(1 + Xn−i + X2(n−i) + . . .).
Since m ≤ n, the contributions from this product to αm stem either from (1 −
Xi+1). . .(1 − Xn
) or from (1 + Xn−i + X2(n−i) + . . .). Now, we collect the contributions
to αm of these two types of terms.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ผลรวมของธรรมชาติบวกเพิ่มค่า n คือ n. สำหรับพาร์ติชันอินสแตนซ์ 1 + 2 + 4 คือ พาร์ติชัน 7 เป็นของ summands 1, 2, 4 เท่านี้เรียกว่าพาร์ติชันเป็นไม่ มีพาร์ 5 7 เข้าไม่เท่ากันส่วน:1 + 2 + 4, 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 7เนื่องจากพาร์ติชัน 1 + 2 + 4 และ 7 ประกอบด้วยหมายเลขคี่ของ summands พวกเขาจะเรียกว่าพาร์ติชันแปลก ในขณะสามพาร์ทิชันอื่น ๆ เรียกว่าแม้ เพิ่มการจำนวนพาร์ติชันคี่ 1 + 7 = 8 เล็กที่สุด และทำเช่นเดียวกันสำหรับน้อยที่สุดหมายเลขพาร์ติชันแม้ 1 + 2 + 3 = 6 ความแตกต่างระหว่างสองผล 8 − 6 = 2 คือ ว่าเลขตัวหารของนายก 7ในภาค p(n) หมายถึงผลรวมของจำนวนพาร์ติชันที่แปลกของน้อยที่สุดลบตัวเลขน้อยที่สุดกั้นแม้ n และ d(n) n หมายถึงจำนวนตัวหารของ n สำหรับตัวเลขขนาดเล็ก n ซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบที่ p(n) เท่ากับ d(n) นี้ไม่บังเอิญ เราจะเห็นว่า มันเป็นความสัมพันธ์ทั่วไประหว่างเล็กที่สุดหมายเลขพาร์ติชันเป็นส่วนที่ไม่เท่ากันและเลขตัวหารทฤษฎีบท p(n) = d(n) สำหรับ n บวกธรรมชาติทั้งหมดเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ เราแนะนำผลบวกของพหุนาม quotientsPn(X) =nX−1ฉัน = 0(Xi 1 − + 1) (Xi 1 − + 2) (1 − Xn)1 − Xn−iสำหรับธรรมชาติบวก n ในแต่ละผลหารต่อเนื่องกัน ระดับของการตัวส่วนลด โดยหนึ่ง และตัวซ้ายสุดในหยดเศษออกแก้ไขตัว m = 1,..., n เราจะแสดงที่ αm สัมประสิทธิ์สำหรับ Xm ในเท่ากับ Pn(X)d(m) − p(m)ครั้งแรก เรากำหนดการจัดสรรจาก quotients แยกของ Pn(X) กับ αmแก้ไขเป็น i = 0,..., n−1 และแทน /(1− Xn−i ตัวหาร 1) ในระยะผลหารของ Pn(X) โดยชุดของพลังงาน (ซึ่ง converges สำหรับ | X| < 1) ดังนั้น ระยะผลหารใช้รูปแบบของ Pn(X)(Xi 1 − + 1) (1 − Xn) (1 + Xn−i + X2(n−i) + ...)ตั้งแต่ m ≤ n การจัดสรรจากผลิตภัณฑ์นี้เพื่อ αm เกิดจาก (1 −ซีอานซีกวน + 1) (1 − Xn) หรือ (1 + Xn−i + X2(n−i) + ...) ตอนนี้ เรารวบรวมการจัดสรรการ αm ชนิดของเงื่อนไขเหล่านี้สอง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ผลรวมของตัวเลขธรรมชาติบวกเพิ่มขึ้นถึง n เรียกว่าพาร์ทิชันของ n สำหรับตัวอย่างเช่น 1 + 2 + 4 เป็นพาร์ทิชันของ 7. ไม่มี summands ที่ 1, 2, 4 มีค่าเท่ากันนี้เรียกว่าพาร์ทิชันเป็นส่วนไม่เท่ากัน มีห้าพาร์ทิชันที่ 7 เข้ามาไม่เท่ากันส่วน: 1 + 2 + 4, 1 + 6 + 2 5, 3 + 4 7. ตั้งแต่พาร์ทิชัน 1 + 2 + 4 และ 7 มีเลขคี่ของ summands พวกเขาจะเรียกว่าพาร์ทิชันที่แปลกในขณะที่อีกสามพาร์ทิชันที่เรียกว่าแม้ เพิ่มหมายเลขที่เล็กที่สุดของพาร์ทิชันคี่, 1 + 7 = 8 และทำเช่นเดียวกันสำหรับที่เล็กที่สุดจำนวนแม้พาร์ทิชัน1 + 2 + 3 = 6 แตกต่างระหว่างทั้งสองผลรวม8-6 = 2 เป็น ว่าจำนวนตัวหารของนายก 7. ในผลสืบเนื่องพี (n) หมายถึงผลรวมของตัวเลขที่มีขนาดเล็กที่สุดของพาร์ทิชันที่แปลกของn ลบหมายเลขที่เล็กที่สุดของพาร์ทิชันแม้แต่ของ n และ d (n) หมายถึงจำนวนของตัวหารของ n สำหรับตัวเลขขนาดเล็ก n มันเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่า P (n) เท่ากับ d (n) นี้ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ; เราจะเห็นว่ามันเป็นความสัมพันธ์ทั่วไประหว่างที่เล็กที่สุดจำนวนของพาร์ทิชันเป็นส่วนที่ไม่เท่ากันและจำนวนตัวหารได้. ทฤษฎีบท พี (n) = d (n) สำหรับจำนวนธรรมชาติบวกทั้งหมด n. เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เราแนะนำผลรวมของการบวกลบคูณหารพหุนามPn (X) = NX-1 i = 0 (1 - จิน + 1) (1 - จิน + 2) . . (1 - Xn) 1 - Xn ฉันสำหรับจำนวนธรรมชาติบวกn ในแต่ละหารติดต่อกันระดับของตัวหารลดลงหนึ่งและปัจจัยซ้ายสุดในเศษหยดออก. แก้ไข m = 1, ... , n เราจะแสดงให้เห็นว่าค่าสัมประสิทธิ์αmสำหรับ Xm ใน Pn (X) เท่ากับd (m) - พี. (เมตร). ครั้งแรกที่เราตรวจสอบผลงานที่ได้จากการบวกลบคูณหารที่แยกต่างหากจาก Pn (X) จะαmแก้ไขi = 0, .. , n-1 และแทนที่ตัวหาร 1 / (1 ​​Xn ฉัน) ในความฉลาดทาง ith ของ Pn (X) โดยชุดอำนาจของตน (ซึ่งลู่สำหรับ x | | <1) ดังนั้นความฉลาดทาง ith ของ Pn (X) ใช้รูปแบบ(1 - จิน + 1) . . (1 - Xn) (1 + Xn-i + X2 (n-i) +....) ตั้งแต่ม. ≤ n, ผลงานจากผลิตภัณฑ์นี้เพื่อαmเกิดทั้งจาก (1 - จิน + 1) . . (1 - Xn) หรือจาก (1 + Xn-i + X2 (n-i) +...) ตอนนี้ที่เราเก็บรวบรวมผลงานการαmของทั้งสองประเภทของข้อตกลง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

รวมตัวเลขของธรรมชาติบวกเพิ่มถึง N เรียกว่าพาร์ทิชันของ N
ตัวอย่าง 1 2 4 พาร์ทิชันของ 7 เป็นหนึ่งใน summands 1 , 2 , 4 เท่ากัน นี้
เรียกว่าพาร์ทิชันเป็นส่วนที่ไม่เท่ากัน มีห้าพาร์ทิชันของ 7 เป็นส่วนไม่เท่ากัน
:
1 2 4 1 6 2 5 3 4 7 .
เนื่องจากพาร์ทิชัน 1 2 4 และ 7 มีเลขคี่ของ summands พวกเขา
เรียกว่าแปลก พาร์ทิชันในขณะที่อีกสามพาร์ทิชันเรียกด้วยซ้ำ เพิ่ม
ตัวเลขที่เล็กที่สุดของพาร์ทิชันคี่ 1 7 = 8 และทำแบบเดียวกันกับตัวเลขน้อยที่สุด
ของพาร์ทิชันแม้ 1 2 3 = 6 ความแตกต่างระหว่างทั้งสอง
ผลรวม 8 − 6 = 2 เป็นจำนวนตัวหารของนายกรัฐมนตรี 7 .
ในผลสืบเนื่อง , P ( n ) หมายถึง ผลรวมของตัวเลขที่น้อยที่สุดของพาร์ทิชันของ
คี่N ลบตัวเลขน้อยที่สุดของพาร์ทิชันของ N , D ( n ) หมายถึงจำนวนของตัวหารของ N
N ตัวเลขเล็ก ๆ , มันเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่า P ( n ) เท่ากับ d ( N ) นี้
ไม่ใช่บังเอิญ เราก็จะเห็นว่ามันเป็น ทั่วไป ความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขน้อยที่สุด
พาร์ทิชันเป็นส่วนที่ไม่เท่ากันและจำนวนของตัวหาร .
ทฤษฎีบท P ( n ) = D ( n ) ทั้งหมดบวกตัวเลข N .
ธรรมชาติเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เราแนะนำผลรวมของพหุนามฉลาด
PN ( X ) =

= NX − 1 0
( 1 − 11 1 − 11 2 ) . . . . . . . ( 1 −คริสเตียน
)
1 −−ซินผม
สำหรับจำนวนธรรมชาติบวก . ในแต่ละครั้งของ ระดับของ
ตัวหารลดลง และปัจจัยด้านซ้ายนับหยดออก .
แก้ M = 1 , . . . . เราก็จะพบว่า M αสัมประสิทธิ์ XM ( x ) มีค่าเท่ากับ
ใน ?D ( M ) − P ( M )
ครั้งแรก เราตรวจสอบผลงานจากฉลาดแยกของ PN ( x ) α M .
แก้ฉัน = 0 , . . . , n − 1 และแทนที่ส่วนที่ 1 / ( 1 −−ซินผม

) ในแบบของ PN ( อ. X ) โดยชุดพลังของมัน ( ซึ่งจะมารวมกันเพื่อ | x | < 1 ) ดังนั้น อ. เชาว์
ของ PN ( x ) ใช้รูปแบบ
( 1 −ซี 1 ) . . . . . . . ( 1 − ( − 1 ซินซิน
) ฉัน x2 ( − 1 ) . . . . . . . . )
n เมื่อ m ≤ ,ผลงานจากผลิตภัณฑ์นี้α M ต้นจาก ( 1 −
ซี 1 ) . . . . . . . ( 1 −คริสเตียน
) หรือจาก ( 1 คริสเตียน− ( −ฉันฉัน x2 ) . . . . . . . ) ตอนนี้เรารวบรวมเงินเพื่อα
M
ทั้งสองประเภทของเงื่อนไข