6). The Convolution Theorem for Lap

6). The Convolution Theorem for Laplace Transform

This is an important theorem that will be used in solving integral equations.
The kernel K (x, t) of the integral equation:
u(x) = f (x) + λ h(x) K (x, t)u(t)dt, (1.163)

g(x)

is termed difference kernel if it depends on the difference x − t. Examples
of the difference kernels are ex−t ,sin(x − t), and cosh(x − t). The integral

equation (1.163) can be expressed as
u(x) = f (x) + λ h(x) K (x − t)u(t)dt. (1.164)

g(x)

Consider two functions f (x) and f (x) that possess the conditions needed
1 2
for the existence of Laplace transform for each. Let the Laplace transforms
for the functions f (x) and f (x) be given by
1 2

L{f1(x)} = F1(s),
(1.165)
L{f2 (x)} = F2 (s).
The Laplace convolution product of these two functions is defined by

(f ∗ f )(x) = x f (x − t)f (t)dt, (1.166)

1 2 1 2
0
or
(f ∗ f )(x) = x f (x − t)f (t)dt. (1.167)

2 1 2 1
0

Recall that
(f ∗ f )(x) = (f ∗ f )(x). (1.168)
1 2 2 1

We can easily show that the Laplace transform of the convolution product
(f ∗ f )(x) is given by
1 2
L{(f ∗ f )(x)} = L x f (x − t)f (t)dt = F (s)F (s). (1.169)

1 2 1 2 1 2
0

It was stated before, that this theorem will be used in the coming chapters.
To illustrate the use of this theorem we examine the following example.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

6) ทฤษฎีบทบิดสำหรับการแปลงลาปลาซ

นี้คือทฤษฎีบทที่สำคัญที่จะนำไปใช้ในการแก้สมการหนึ่ง
เคอร์เนล K (x, t) สมการหนึ่ง:
U (x) = f (x) λ H (x) K (x, t) U (t) dt, (1.163)

g (x)

ที่เรียกว่าเคอร์เนลความแตกต่างถ้ามันขึ้นอยู่กับความแตกต่าง x t - ตัวอย่าง
จากเมล็ดแตกต่างเป็นอดีต t-บาป (x - t) และกระบอง (x - t) หนึ่ง

สมการ (1.163) จะแสดงเป็น
U (x) = f (x) λ H (x) K (x - t) U (t) dt (1.164)

g (x)

พิจารณาสองฟังก์ชัน f (x) และ f (x) ที่มีเงื่อนไขที่จำเป็น

1 2 สำหรับการดำรงอยู่ของ LaPlace แปลงสำหรับแต่ละ ให้ LaPlace แปลง
สำหรับฟังก์ชั่น f (x) และ f (x) จะได้รับโดย
1 2

l {f1 (x)} = f1 (s)
(1.165)
l {f2 (x)} = F2 (s)
ผลิตภัณฑ์บิด LaPlace ของทั้งสองฟังก์ชั่นที่ถูกกำหนดโดย

(ฉ * ฉ) (x) = XF (x​​ - t) f (t) dt, (1.166)

1 2 1 2
0

หรือ (ฉ * F) (x) = XF (x​​ - t) f (t) dt (1.167)

2 1 2 1
0


จำได้ว่า (ฉ * ฉ) (x) = (ฉ * ฉ) (x) (1.168)
1 2 2 1

เราสามารถแสดงให้เห็นว่า LaPlace แปลงของผลิตภัณฑ์บิด
(ฉ * ฉ) (x) จะได้รับโดย
1 2
l {(ฉ * ฉ) (x)} = lxf (x - t) f (t) dt = f (s) f (s) (1.169)

1 2 1 2 1 2
0

มันเป็นตามที่ระบุไว้ก่อนว่าทฤษฎีบทนี้จะถูกนำมาใช้ในบทที่ผ่านมา
แสดงให้เห็นถึงการใช้งานของทฤษฎีบทนี้เราตรวจสอบตัวอย่างต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

6) . ทฤษฎีบท Convolution ที่การแปลงลาปลาส

เป็นทฤษฎีบทสำคัญที่จะใช้ในการแก้สมการเป็นการ
Kernel K (x, t) ของสมการสำคัญ:
u(x) = f (x) λ h(x) K (x, t) u (t) dt, (1.163)

g(x)

เรียกว่าเคอร์เนล difference ถ้าขึ้นอยู่กับต. x − difference เป็นตัวอย่าง
ของ difference เมล็ดมี ex−t, sin (x − t), และ cosh (x − t) ทฤษฎีบูรณาการ

สามารถแสดงเป็นสมการ (1.163)
u(x) = f (x) λ h(x) K (x − t) u (t) dt (1.164)

g(x)

พิจารณาสองฟังก์ชัน f (x) และ f (x) ที่มีเงื่อนไขจำเป็น
1 2
การดำรงอยู่ของการแปลงลาปลาสสำหรับแต่ละการ ให้แปลงลาปลาส
สำหรับฟังก์ชัน f (x) และ f (x) ถูกกำหนดโดย
1 2

L{f1(x) } = F1(s),
(1.165)
L { f2 (x) } = F2 (s)
ผลิตภัณฑ์ convolution ลาปลาสของฟังก์ชันเหล่านี้สองเป็น defined โดย

(f ∗ f) (x) = x f f (x − t) (t) dt, (1.166)

1 2 1 2
0
หรือ
(f ∗ f) (x) = x f f (x − t) (t) dt (1.167)

2 1 2 1
0

เรียกคืนที่
(f ∗ f) (x) = (f ∗ f) (x) (1.168)
1 2 2 1

เราสามารถได้แสดงว่าการแปลงลาปลาสผลิตภัณฑ์ convolution
(f ∗ f) (x) ถูกกำหนดโดย
1 2
L {(f ∗ f) (x) } = L x f f (x − t) (t) dt = F (s) F (s) (1.169)

1 2 1 2 1 2
0

จะได้ระบุไว้ก่อน ว่า ทฤษฎีบทนี้จะใช้ในบทมา
การแสดงการใช้ของทฤษฎีบทนี้ เราตรวจสอบตัวอย่างต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

6 ) บทพิสูจน์ convolution สำหรับอ่านตำราเปลี่ยน

นี้เป็นบทพิสูจน์สำคัญที่จะใช้ในการแก้ปัญหาและในตัว
เคอร์เนล K ( X , T )ของตัวสมการ:
U ( X )= F ( X )Λ H ( X ) K ( X , T ), U ( T ) DT ,( 1.163 )

G ( X )

เรียกว่า difference เคอร์เนลถ้ามันขึ้นอยู่กับ difference X - T . ตัวอย่างเช่น
ของเคอร์เนล difference มี ex - T เครื่องบูชาไถ่บาป( X - T )และ cosh ( X - T ) ที่สำคัญ

สมการ( 1.163 )สามารถได้รับการแสดงออกเป็น
U ( X )= F ( X )Λ h ( X ) K ( X - T ) U ( T )วันที่ปรับปรุงล่าสุด ( 1.164 )

G ( X )

พิจารณาถึงฟังก์ชั่นการทำงานเป็นสอง F ( X )และ F ( X )ที่มีเงื่อนไขที่จำเป็น

12 สำหรับการดำรงอยู่ของอ่านตำราเปลี่ยนสำหรับแต่ละเครื่อง ปล่อยให้อ่านตำราปฏิรูปที่
สำหรับการจัดงานที่ F ( X )และ F ( X )ได้รับโดย
12

L { F 1 ( x )}= F 1 ( S )
( 1.165 )
L { F 2 ( X )}= F 2 ( S )
ที่อ่านตำรา convolution ผลิตภัณฑ์ ของทั้งสองงานมี defined โดย

( F ∗ F )( X )= x F ( X - T ), F ( T ) DT ,( 1.166 )

12120


หรือ( F ∗ F )( X )= x F ( X - T ), F ( T )วันที่ปรับปรุงล่าสุด ( 1.167 )

21210



เรียกคืน( F ∗ F )( X )=( F ∗ F )( X ที่) ( 1.168 )
1221

เราสามารถแสดงให้เห็นว่าอ่านตำราที่เปลี่ยนแปลงของ ผลิตภัณฑ์ convolution ที่
( F ∗ F ได้อย่างง่ายดาย)( X )จะได้รับโดย

1 , 2L {( F ∗ F )( X )}= L x F ( X - T ), F ( T ) DT = F ( s ), F ( S ) ( 1.169 )

1212120


มันเป็นบทพิสูจน์ได้แสดงไว้ก่อนที่จะใช้ในบทที่จะมาถึง.
เพื่อแสดงให้เห็นถึงการใช้บทพิสูจน์แห่งนี้เราตรวจสอบตัวอย่างต่อไปนี้: