A Bernoulli random variable has two

A Bernoulli random variable has two possible outcomes: 0 or 1. A binomial distribution is the sum of independent and identically distributed Bernoulli random variables.

So for example, say I have a coin, and when tossed, the probability it lands heads is p. So the probability that it lands tails is 1−p (there are no other possible outcomes for the coin toss). If the coin lands heads, you win one dollar. If the coin lands tails, you win nothing.

For a single coin toss, the probability you win one dollar is p. The random variable that represents your winnings after one coin toss is a Bernoulli random variable.

Now, if you toss the coin 5 times, your winnings could be any whole number of dollars from zero dollars to five dollars, inclusive. The probability that you win five dollars is p5, because each coin toss is independent of the others, and for each coin toss, the probability of heads is p.

What is the probability that you win exactly three dollars in five tosses? That would require you to toss the coin five times, getting exactly three heads and two tails. This can be achieved with probability (53)p3(1−p)2. And in general, if there are n Bernoulli trials, then the sum of those trials is binomially distributed with parameters n and p.

Note that a binomial random variable with parameter n=1 is equivalent to a Bernoulli random variable--there only one trial.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตัวแปรสุ่ม Bernoulli มีผลได้ 2: 0 หรือ 1 การแจกแจงทวินามเป็นผลรวมของตัวแปรสุ่ม Bernoulli ของอิสระ และกระจายเหมือนกันดังเช่น กล่าวว่า มีเหรียญ และเพราะ ความน่าเป็นเรื่องที่ดินหัวเป็น p ดังนั้น ความน่าเป็นว่า ที่ดินหางคือ 1−p (มีไม่อื่นได้ผลลัพธ์ของการโยนเหรียญ) ถ้าเหรียญที่ดินหัว คุณชนะหนึ่งดอลลาร์ ถ้าเหรียญที่ดินหาง คุณชนะไม่โยนเหรียญเดียว ความน่าเป็นคุณชนะหนึ่งดอลลาร์เป็น p ตัวแปรสุ่มที่แสดงรายได้ของคุณหลังจากการโยนเหรียญหนึ่งเป็นตัวแปรสุ่ม Bernoulliตอนนี้ ถ้าคุณโยนเหรียญ 5 ครั้ง ชนะของคุณคืออาจเป็นจำนวนเต็มใด ๆ ดอลลาร์จากศูนย์ดอลลาร์ 5 ดอลลาร์ รวม ความเป็นไปได้ว่า คุณชนะ 5 ดอลลาร์ ได้ p5 เนื่องจากแต่ละโยนเหรียญขึ้นอยู่กับผู้อื่น และสำหรับแต่ละเหรียญโยน น่าหัว pความเป็นไปได้ว่า คุณชนะแน่นอนสามดอลลาร์ใน tosses 5 คืออะไร ที่จะต้องโยนเหรียญห้าครั้ง ได้รับสามตรงหัวและหางสอง นี้สามารถทำได้ ด้วยความน่าเป็น (53) p3 (1−p) 2 และโดยทั่วไป ถ้ามีเอ็นนู แล้วผลรวมของการทดลองที่ binomially กระจายกับพารามิเตอร์ n และ pสังเกตว่า ตัวแปรสุ่มทวินามที่ มีพารามิเตอร์ n = 1 จะเท่ากับตัว Bernoulli แปรสุ่ม - ทดลองมีเพียงหนึ่งเดียว

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตัวแปรสุ่ม Bernoulli มีสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้: 0 หรือ 1 กระจายทวินามคือผลรวมของอิสระและกระจายกัน Bernoulli ตัวแปรสุ่ม. ดังนั้นสำหรับตัวอย่างเช่นสมมติว่าผมมีเหรียญและเมื่อโยนความน่าจะเป็นที่ดินหัวเป็นพี ดังนั้นน่าจะเป็นที่ที่ดินหางเป็น 1-P (ไม่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปอื่น ๆ สำหรับการโยนเหรียญ) ถ้าเหรียญที่ดินหัวคุณจะชนะหนึ่งดอลลาร์ ถ้าเหรียญที่ดินหางคุณจะชนะอะไร. สำหรับเหรียญเดียวโยนความน่าจะเป็นคุณชนะหนึ่งดอลลาร์เป็นพี ตัวแปรสุ่มที่แสดงถึงการชนะของคุณหลังจากที่โยนเหรียญหนึ่งเป็นตัวแปรสุ่ม Bernoulli. ตอนนี้ถ้าคุณโยนเหรียญ 5 ครั้งชนะของคุณอาจจะเป็นจำนวนใด ๆ ทั้งดอลลาร์จากศูนย์ดอลลาร์ห้าดอลลาร์รวม น่าจะเป็นที่ที่คุณชนะห้าดอลลาร์เป็น p5 เพราะโยนเหรียญแต่ละความเป็นอิสระของผู้อื่นและโยนเหรียญแต่ละน่าจะเป็นของหัวคือพี. อะไรคือสิ่งที่น่าจะเป็นที่ว่าคุณจะชนะสามดอลลาร์ในห้าโยนหรือไม่ ที่จะทำให้คุณต้องโยนเหรียญห้าครั้งได้รับตรงสามหัวและสองหาง นี้สามารถทำได้ด้วยความน่าจะเป็น (53) p3 (1-P) 2 และโดยทั่วไปหากมีการทดลอง n Bernoulli แล้วผลรวมของการทดลองเหล่านั้นมีการกระจาย binomially กับพารามิเตอร์และ n พี. โปรดทราบว่าทวินามตัวแปรสุ่มที่มีพารามิเตอร์ n = 1 เทียบเท่ากับตัวแปรสุ่ม Bernoulli - มีเพียงหนึ่งในการพิจารณาคดี .

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เป็นเบอร์นูลีตัวแปรสุ่มสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คือ 0 หรือ 1 การแจกแจงทวินามคือผลรวมของการสุ่มตัวแปรอิสระ Bernoulli เหมือนกัน

ดังนั้น ยกตัวอย่างเช่น ผมมีเหรียญ และเมื่อโยน โอกาสที่ดินหัวเป็นหน้าดังนั้นความน่าจะเป็นมันเหยียบหาง 1 − P ( ไม่มีผลที่เป็นไปได้อื่น ๆสำหรับเหรียญโยน ) ถ้าเหรียญที่ดินหัวนายชนะหนึ่งดอลลาร์ ถ้าเหรียญที่ดินหาง คุณชนะ ไม่มีอะไร

สำหรับโยนเหรียญเดียว น่าจะเป็นคุณชนะหนึ่งดอลลาร์หน้าสุ่มตัวแปรที่แสดงถึงการชนะของคุณหลังจากหนึ่งโยนเหรียญเป็นตัวแปรสุ่ม Bernoulli .

ตอนนี้ถ้าคุณโยนเหรียญ 5 ครั้งชนะของคุณสามารถใด ๆทั้งหมดจำนวนดอลลาร์ จากศูนย์เหรียญ ห้าเหรียญ รวมการที่คุณชนะห้าดอลลาร์เป็น P5 เพราะแต่ละคนโยนเหรียญอิสระของผู้อื่น และให้แต่ละคนโยนเหรียญ ความเป็นไปได้ที่หัวเป็นหน้า

อะไรคือความน่าจะเป็นที่คุณชนะตรงสามดอลลาร์ใน 5 โยน ? ที่คุณต้องโยนเหรียญ 5 ครั้ง รู้สึกว่าสามหัว 2 หาง นี้สามารถบรรลุกับความน่าจะเป็น ( 53 ) P3 ( 1 − 1 ) 2 . และในทั่วไปถ้ามี n การทดลอง Bernoulli แล้วผลรวมของการทดลองนั้น binomially กระจายกับพารามิเตอร์ N และ P .

ทราบว่าตัวแปรสุ่มทวินามกับพารามิเตอร์ N = 1 จะเท่ากับการสุ่มตัวแปร -- มีเพียงหนึ่ง Bernoulli ทดลอง