G(k(k−1)/2+1) = A(1) B(k), G(k(k−1)

G(k(k−1)/2+1) = A(1) B(k), G(k(k−1)/2+2) = A(2) B(k−1), . . . , G(k(k−1)/2+k) = A(k) B. Moreover, we define G ̃ (v) := fl(G(v)) for all v.
Theorem 2 Assume that
k−1 k(k−1)/2+k
(i) (j) (i) (k−i+1) (k) ̃(k)
C=flAB+flAB+flAB= G. i+j≤k i=1 k=1
Then,
|C − AB| ≤ nkγn · 2(β−h)(k−1) · 2P(1) 2Q(1) T =: E. (30) If D(1) is the result of fl( k(k−1)/2+k G ̃ (k)), then

k=1
|D(1)−C|≤γ
If D(2) is the result of a summation algorithm for k(k−1)/2+k G ̃ (k) with faithful
rounding as in [11], then
|D −C|≤2u
in Algorithm 5, then |D(1)−AB|≤|C−AB|+|D(1)−C|=E+γ
k(k−1)/2+k−1
k(k−1)/2+k
|G ̃(i)|.
i=1
(31)
k(k−1)/2+k−1
k(k−1)/2+k
|G ̃(i)|
k(k−1)/2+k
(2) ̃(i)
G .
Therefore, if we apply ordinary floating-point summation in final summation
If we apply a summation algorithm with faithfully rounded result, then
k(k−1)/2+k
(2) (2) ̃(i)
i=1
Proof The error bounds of |D(1) − C| and |D(2) − C| are easily obtained by an a priori error analysis and definition of the faithful rounding. Therefore, we show only the error bound of |C − AB|. Let γn be
γn = nu forn∈N. (33) 1−nu
Then from [8], an upper bound of the rounding error of the floating-point matrix product fl(AB) is
|AB − fl(AB)| ≤ γn|A||B|. (34)
|D − AB|≤|C− AB|+|D −C|= E+2u
G . (32)
i=1
i=1
k=1

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

G (k (k-1) / 2 + 1) = a (1) B (k), G (k (k-1) / 2 + 2) = a (2) B (K-1) . . จี (k (k-1) / 2 + k) = a (k) บีนอกจากนี้เรากำหนด G (V):. = ฟลอริด้า (G (V)) สำหรับทุก V
ทฤษฎีบท 2 สมมติว่า
K-1 K (K-1) / 2 + K
(i) (ญ) (i) (K-i + 1) (k) (k)
c = flab + + flab flab = กรัม i + j≤ki = 1 K = 1
แล้ว
| C - AB | ≤nkγn· 2 (β-H) (K-1) · 2P (1) 2Q (1) T =: อี (30) หาก D (1) เป็นผลมาจากฟลอริด้า (k (k-1) / 2 + K G (k)) แล้วK = 1 | D (1) -C | ≤γ หาก D (2) เป็นผลมาจากอัลกอริทึมบวกสำหรับ K (K-1) / 2 + K จี (k ) โดยมีซื่อสัตย์ปัดเศษใน [11] แล้ว| D -C | ≤2u ในอัลกอริทึมที่ 5 แล้ว | D (1) -AB | ≤ | C-AB | + | D (1) -C | = E + γ K (K-1) / 2 + K-1 K / 2 + K (K-1) | G (i). | i = 1 (31) K (K-1) / 2 + K-1 K ( K-1) / 2 + K | G (i) | K (K-1) / 2 + K (2) (i) G. ดังนั้นถ้าเราใช้สามัญบวกลอยจุดในผลรวมสุดท้ายถ้าเราใช้ อัลกอริทึมบวกกับผลกลมนับถือแล้วK (K-1) / 2 + K (2) (2) (i) i = 1 หลักฐานขอบเขตของข้อผิดพลาด | D (1) - C | และ | D (2) - C | จะได้รับได้อย่างง่ายดายโดยการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดเบื้องต้นและความหมายของการปัดเศษซื่อสัตย์ ดังนั้นเราจึงแสดงเฉพาะข้อผิดพลาดของการผูกพัน | C - AB | ให้γnจะγn = nu forn∈N (33) 1 nu แล้วจาก [8] เป็นบนผูกพันของข้อผิดพลาดการปัดเศษของจุดลอยตัว FL ผลิตภัณฑ์แมทริกซ์ (AB) คือ| AB - ฟลอริด้า (AB) | ≤γn | || B | (34) | D - AB | ≤ | C- AB | + | D -C | = E + 2u G (32) i = 1 i = 1 K = 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

G ( K ( K ( − 1 ) / ( 2 + 1 ) = ( 1 ) B ( k ) g ( K ( K ( − 1 ) 2 + 2 ) = ( 2 ) B ( K ( − 1 ) . . . . . . . , g ( k ( K ( − 1 ) / 2 + k ) = A ( k ) B . นอกจากนี้ เรากำหนด̃ G ( V ) : = FL ( G ( v ) ) สำหรับทุก Vทฤษฎีบท 2 สันนิษฐานว่าK K ( − 1 , − 1 ) / 2 + เค( ผม ) ( J ) ( ฉัน ) ( I + K − 1 ) ( K ) ̃ ( K )C = flab + flab + flab = GI + J ≤ k i k = 1 = 1จากนั้น| C − AB | ≤ NK γ N ด้วย 2 ( β− H ) ( K ( − 1 ) ด้วย ( 1 ) 2p 2Q ( 1 ) T = : E ( 30 ) ถ้า D ( 1 ) เป็นผลของ FL ( K ( K ( − 1 ) / 2 + K G ̃ ( k ) ) จากนั้นK = 1| D ( 1 ) − C | ≤γถ้า D ( 2 ) ผลของการใช้ K ( K ( − 1 ) / 2 + K G ̃ ( K ) กับซื่อสัตย์การปัดเศษใน [ 11 ] แล้ว| D − C | ≤ 2Uในขั้นตอนที่ 5 แล้ว | D ( 1 ) −− AB AB | ≤ | C | + | D ( 1 ) − C | = E + γK ( K ( − 1 ) / 2 + K − 1K ( K ( − 1 ) / 2 + เค| กรัม̃ ( ฉัน ) | .ฉัน = 1( 31 )K ( K ( − 1 ) / 2 + K − 1K ( K ( − 1 ) / 2 + เค| กรัม̃ ( ฉัน ) |K ( K ( − 1 ) / 2 + เค( 2 ) ̃ ( ฉัน )กรัมดังนั้น ถ้าเราใช้สามัญในการรวมจุด - สุดท้ายถ้าเราใช้วิธีบวกกับซื่อกลม ผล แล้วK ( K ( − 1 ) / 2 + เค( 2 ) ( 2 ) ̃ ( ฉัน )ฉัน = 1พิสูจน์ความผิดพลาดของขอบเขตของ | D ( 1 ) | | − C และ D ( 2 ) − C | จะรับได้ โดยระหว่างข้อผิดพลาดในการวิเคราะห์และคำนิยามของซื่อสัตย์ราวน์ ดังนั้นเราจึงแสดงข้อผิดพลาดผูกพันของ | C − AB | . ให้γ n เป็นγ n = Nu พื้นที่∈ . ( 33 ) 1 −นูแล้วจาก [ 8 ] , ขอบเขตบนของการปัดเศษข้อผิดพลาดของจุด - เมตริกซ์ผลิตภัณฑ์ FL ( AB ) คือ| AB − FL ( AB ) | ≤γ N | เป็น | | B | . ( 34 )| D −− AB AB | ≤ | C | + | D − C | = E + ทูยูกรัม ( 32 )ฉัน = 1ฉัน = 1K = 1