Gödel's incompletenessFormal system

Gödel's incompleteness
Formal systems seem to provide the perfect framework for proving everything there is to prove within mathematics, but as it turns out, they come with limitations. Gödel's first incompleteness theorem says that within any formal system that's strong enough to express arithmetic, is free of contradiction and whose axioms can be recognised by a computer algorithm, there are statements, expressed in the system's own language, which you can neither prove nor refute. You can of course try to settle such an undecidable statement by adding whatever axioms are necessary to prove it, but according to Gödel's result, other undecidable statements will pop up elsewhere.
The most famous undecidable statement within the ZFC axioms is the continuum hypothesis. It's undecidable in a very profound way, but it's concerned with rather strange infinite sets of real numbers that working mathematicians rarely ever come across. "In the normal course of mathematics one considers much more regular sets of real numbers," explains Friedman. "In fact, these days, one often looks at things one can simulate on a computer, which are several layers of magnitude more concrete."
Over the years, Friedman and others have come up with examples of incompleteness that feel a lot more concrete than the continuum hypothesis. They still don't put ordinary maths into any immediate danger, but they are striking nevertheless, especially because you don't need to have studied advanced maths to get an idea of what they're about

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ระบบไม่สมบูรณ์อย่างเป็นทางการของGödelด​​ูเหมือนจะให้กรอบการทำงานที่สมบูรณ์แบบสำหรับการพิสูจน์ทุกสิ่งที่มีคือการพิสูจน์ในคณิตศาสตร์ แต่มันจะเปิดออกพวกเขามาพร้อมกับข้อ จำกัด ทฤษฎีบทGödelไม่สมบูรณ์เป็นครั้งแรกกล่าวว่าในทุกระบบอย่างเป็นทางการที่แข็งแรงพอที่จะแสดงคณิตศาสตร์เป็นอิสระจากความขัดแย้งและมีหลักการที่สามารถได้รับการยอมรับโดยอัลกอริทึมคอมพิวเตอร์มีงบแสดงในภาษาของตัวเองของระบบที่คุณไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้าง คุณสามารถของหลักสูตรพยายามที่จะชำระเช่นคำตัดสินไม่ได้โดยการเพิ่มสิ่งที่หลักการเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อพิสูจน์มัน แต่ตามผลของGödelงบ undecidable อื่น ๆ จะปรากฏขึ้นที่อื่น ๆ .
คำตัดสินไม่ได้มีชื่อเสียงมากที่สุดภายในสัจพจน์ ZFC เป็นสมมติฐานความต่อเนื่องมันเป็นเรื่องที่ตัดสินไม่ได้ในทางที่ลึกซึ้งมาก แต่ก็มีความกังวลกับชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดค่อนข้างแปลกของตัวเลขจริงที่นักคณิตศาสตร์ที่ทำงานไม่ค่อยเคยเจอ "ในหลักสูตรปกติของคณิตศาสตร์พิจารณาชุดปกติมากขึ้นของจำนวนจริง" อธิบายฟรีดแมน "ในความเป็นจริงวันนี้อย่างใดอย่างหนึ่งมักจะมองไปที่สิ่งหนึ่งที่สามารถจำลองในเครื่องคอมพิวเตอร์ซึ่งมีหลายชั้นของขนาดเป็นรูปธรรมมากขึ้น. "
ในช่วงปีที่ผ่านมาฟรีดแมนและคนอื่น ๆ เข้ามาพร้อมกับตัวอย่างของการขาดความรู้สึกที่เป็นรูปธรรมมากขึ้นกว่าสมมติฐานความต่อเนื่อง. พวกเขายังคงไม่ใส่คณิตศาสตร์สามัญในอันตรายทันทีใด ๆ แต่ พวกเขาจะยังคงโดดเด่นโดยเฉพาะอย่างยิ่งเพราะคุณไม่จำเป็นต้องมีการศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูงที่จะได้รับความคิดของสิ่งที่พวกเขากำลัง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ของเกอเดล
ระบบทางดูเหมือนจะ ให้กรอบเหมาะสำหรับพิสูจน์ทุกสิ่งทุกอย่างที่มีการ พิสูจน์ในคณิตศาสตร์ แต่เป็นมันเปิดออก พวกเขามาพร้อมกับข้อจำกัด ของทฤษฎีบทเกอเดลแรกกล่าวว่า ภายในระบบการศึกษา ที่แข็งแรงพอที่ให้เลขคณิตด่วน ไม่ขัดแย้งและสัจพจน์สามารถรับอัลกอริทึมคอมพิวเตอร์ มีงบ แสดงในภาษาของระบบ ที่คุณไม่สามารถพิสูจน์ หรือยุค แน่นอนคุณสามารถลองการชำระดังกล่าวเป็นคำชี้ undecidable เพิ่มสัจพจน์สิ่งจำเป็นในการพิสูจน์มัน แต่ตามผลของ งบอื่น ๆ undecidable จะปรากฏค่าอื่น
คำชี้ undecidable แห่งภายในสัจพจน์ ZFC คือ สมมติฐานความต่อเนื่อง จะ undecidable แบบลึกซึ้งมาก แต่มันเป็นเรื่องค่อนข้างแปลกชุดอนันต์ของจำนวนจริงที่ทำงาน mathematicians ไม่ค่อยเคยเจอ "ในหลักสูตรปกติของคณิตศาสตร์ หนึ่งพิจารณาปกติมากชุดของตัวเลขจำนวนจริง อธิบายฟรีดแมน "ความเป็นจริง วันนี้ มักจะมองในสิ่งหนึ่งสามารถจำลองบนคอมพิวเตอร์ ซึ่งมีหลายชั้นของคอนกรีตมากขนาด"
ปี ฟรีดแมนและอื่น ๆ มีมากับตัวอย่างของเกอเดลที่รู้สึกมากคอนกรีตกว่าสมมติฐานความต่อเนื่อง พวกเขายังไม่ใส่คณิตศาสตร์ธรรมดาเป็นอันตรายใด ๆ ทันที แต่พวกเขาได้ออกมาอย่างไรก็ตาม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เพราะคุณไม่จำเป็นต้องมีศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูงจะได้รับความคิดของพวกเขากำลังเกี่ยวกับ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ค่าสินไหมทดแทนแก่ของก็
ซึ่งจะช่วยระบบอย่างเป็นทางการก็ดูเหมือนจะมีโครงสร้างที่สมบรูณ์แบบสำหรับพิสูจน์ทุกสิ่งทุกอย่างที่มีให้พิสูจน์ ภายใน คณิตศาสตร์แต่เมื่อคุณได้รับข้อความเป็นออกมามันก็จะเข้ามาพร้อมด้วยข้อจำกัด บทพิสูจน์ค่าสินไหมทดแทนแก่แห่งแรกของก็บอกว่า ภายใน ระบบอย่างเป็นทางการที่แข็งแกร่งพอที่จะ Express ธรรมดาเป็นแบบไม่เสียค่าบริการของความขัดแย้งและไม่ต้องพิสูจน์)จะสามารถได้รับการยอมรับนับถือจากอัลกอริธึมคอมพิวเตอร์มีรายงานว่าใน ภาษา ของระบบที่คุณไม่สามารถพิสูจน์ได้และไม่โต้แย้ง แน่นอนที่ท่านสามารถลองทำการตัดสินไม่ได้( undecidable problems )ที่ประกาศดังกล่าวโดยการเพิ่มไม่ว่าไม่ต้องพิสูจน์)มีความจำเป็นในการพิสูจน์แต่ตามผลของก็ตัดสินไม่ได้( undecidable problems )งบอื่นๆจะปรากฏขึ้นในที่อื่นๆ.
งบตัดสินไม่ได้( undecidable problems )ที่มีชื่อเสียงมากที่สุด ภายใน ไม่ต้องพิสูจน์) zfc ตราบใดก็ตามที่เป็นข้อสมมุติฐานที่มันเป็นตัดสินไม่ได้( undecidable problems )ในทางอย่างลึกซึ้งเป็นอย่างมากแต่มันเป็นความกังวลพร้อมด้วยชุดแบบไม่มีขอบเขตแปลกตาของหมายเลขที่เราทำงานแทบจะไม่เคยเข้ามาทางฝั่งด้านตรงข้าม "ในหลักสูตรปกติของวิชาคณิตศาสตร์หนึ่งเห็นว่าชุดเป็นประจำมากขึ้นของหมายเลขอย่างแท้จริง"อธิบาย Friedman จาก "ในความเป็นจริงแล้ววันนี้เรามักจะมีลักษณะที่สิ่งหนึ่งสามารถจำลองการบนคอมพิวเตอร์ได้ซึ่งมีหลายชั้นหลายเท่ามากกว่าคอนกรีต"
มากกว่าปีอื่นๆที่วงการสื่อสารมวลชนทุกคนและได้มีตัวอย่างของค่าสินไหมทดแทนแก่ความรู้สึกมากกว่าสมมุติฐานคอนกรีตตราบใดก็ตามที่ แต่พวกเขาก็ยังไม่ได้ทำให้คณิตศาสตร์สามัญเข้าไปในจุดอันตรายได้ทันทีแต่มีความโดดเด่นแต่เนื่องจากคุณไม่จำเป็นต้องได้ศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูงเพื่อทำความเข้าใจในสิ่งที่พวกเขา กำลัง