Without loss of generality, let us

Without loss of generality, let us suppose that r2≥r1. Substituting for b, we have
q1a+r1=q2a+r2
But then
q1a−q2ar2−r1==r2−r1and thus,a(q1−q2)
Consequently, r2−r1 is some multiple of a.

However, since 0≤r1,r2r1, it must be the case that 0≤r2−r1

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Without loss of generality, let us suppose that r2≥r1. Substituting for b, we haveq1a+r1=q2a+r2But thenq1a−q2ar2−r1==r2−r1and thus,a(q1−q2)Consequently, r2−r1 is some multiple of a.However, since 0≤r1,r2r1, it must be the case that 0≤r2−r1Further, as seen before,q2=b−r2aandq1=b−r1aSince r1 and r2 agree in value, this forces q1 and q2 to agree in value as well.Thus, having shown that if b=q1a+r1 and b=q2a+r2, then it can only be the case that both q1=q2 and r1=r2, we can conclude that if there exist integers q and r such that b=qa+r with 0≤rSince the first part of our argument established the existence of these integers q and r, we are done. It is indeed the case that given integers a and b, with a>0, there exist unique integers q and r such that b=qa+r and 0≤rQED.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โดยไม่สูญเสียทั่วไปให้เราคิดว่าr2≥r1 แทนขเรามี
q1a + r1 = q2a + r2
แต่แล้ว
q1a-q2ar2-r1 r2 ==-r1and จึงเป็น (Q1-Q2)
ดังนั้น. r2-r1 มีหลายบางอย่างไรก็ตามเนื่องจาก0≤r1 , r2 r1 นั้นจะต้องเป็นกรณีที่0≤r2-r1


นอกจากนี้เท่าที่เห็นมาก่อน
q2 = b-r2aandq1 = b-R1A
ตั้งแต่ r1 และ r2 ยอมรับในค่านี้ q1 กองกำลังและ q2 จะเห็นด้วยมูลค่าเช่นกัน. ดังนั้นจึงมีการแสดงให้เห็นว่าถ้าข = q1a + r1 และ B = q2a + r2 แล้วก็สามารถเป็นกรณีที่ทั้งสอง q1 = q2 และ r1 = r2 เราสามารถสรุปได้ว่าถ้ามีอยู่ integers และคิวอาร์ดังกล่าวว่าข = qa + R กับ0≤r


ตั้งแต่ช่วงแรกของการโต้แย้งของเราเป็นที่ยอมรับการดำรงอยู่ของเหล่านี้คิวจำนวนเต็มและอาร์ที่เรากำลังทำ มันย่อมเป็นกรณีที่ได้รับจำนวนเต็มและ b ที่มี> 0 มีอยู่ integers ที่ไม่ซ้ำกันและคิวอาร์ดังกล่าวว่าข = qa + R และ0≤rQED

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

โดยไม่สูญเสียโดยทั่วไป ให้เราสมมติว่า≥ R1 R2 . แทน B เราได้
q1a R1 = q2a R2

แต่ก็ q1a −−− q2ar2 R1 R2 = = r1and ดังนั้น ( 1 − 2 )
2 − 1 ดังนั้นบางหลาย ๆ .

อย่างไรก็ตาม ตั้งแต่ 0 ≤ R1 , R2 R1 และ R2 > < มันต้อง เป็นคดีที่ 0 ≤ R2 R1 < A −เท่านั้น หลายแห่งในช่วงนี้เป็นศูนย์ดังนั้น− R1 R2 = 0 หรือก้อง R1 , R2 =

เพิ่มเติม เท่าที่เห็นก่อน
2 = B −− r1a
r2aandq1 = bตั้งแต่ R1 R2 และยอมรับในคุณค่า นี้บังคับให้ Q1 และ Q2 จะเห็นด้วยในค่าเช่นกัน

จึงได้มีแสดงว่า ถ้า b = 1 q1a และ B = q2a R2 แล้วมันก็เป็นแบบนั้นทั้ง Q1 Q2 R1 และ R2 = = เราสามารถสรุปได้ว่าหากมีจำนวนเต็ม Q และ R เช่น B = QA R 0 ≤ r < a แล้วพวกค่า Q และ R ที่เป็นเอกลักษณ์

ตั้งแต่ส่วนแรกของอาร์กิวเมนต์ของเราก่อตั้งขึ้นในการดำรงอยู่ของเหล่านี้จำนวนเต็ม Q และ R เราก็เสร็จแล้ว มันเป็นเรื่องจริงที่ระบุจำนวนเต็ม a และ b กับ a > 0 แล้ว ยังมีเอกลักษณ์และ R Q จำนวนเต็มเช่น B = QA R และ 0 ≤ r < a .

QED .