Since (r, s) = 1, it is easy to see

Since (r, s) = 1, it is easy to see that (rs, r2 − s2) = 1. Here both rs and
r2 − s2 are perfect square. Since r and s are opposite parity and (r, s) = 1, it
follows that (r − s, r + s) = 1. Using the fact that r2 − s2 = (r − s) (r + s) ,
it is seen that r − s and r + s are perfect square. Then, there exist integers
t, k, c, d such that r = t2, s = k2, r−s = c2 and r+s = d2. So, we immediately
have t2 − k2 = c2 and t2 + k2 = d2. Besides, using v = 2rs, b2 = 2uv and
s = k2, we see that b2 = 4urk2. This implies that k < b. But this contradicts
the definition of b. As a consequence, there is no integers a, b, x, y such that
a2 − b2 = x2 and a2 + b2 = y2.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เนื่องจาก (r, s) = 1 ง่ายต่อการดูว่า (อาร์เอส r2 − s2) = 1 ที่นี่ทั้งอาร์เอส และ
r2 − s2 เป็นสี่เหลี่ยมเหมาะ เนื่องจาก r และ s เป็นตรงข้ามกับพาริตี้ และ (r, s) = 1 มัน
ตามนั้น (r − s, r s) = 1 ใช้ข้อเท็จจริงว่า s2 − r2 = (r − s) (r s),
จะเห็นว่า r − s และ r s เป็นสี่เหลี่ยมเหมาะ แล้ว มีเต็ม
t, k, c, d ดังกล่าวที่ r = t2, s = k2, r−s = c2 และ r = d2 ดังนั้น เราทันที
มี t2 − k2 = k2 c2 และ t2 = d2 นอกจาก ใช้ v = 2rs, b2 = 2uv และ
s = k2 เราดูที่ b2 = 4urk2 หมายความว่า k < b แต่นี่ทุก
นิยามของ b ผล มีไม่เต็ม a, b, x, y ที่
a2 − b2 = a2 b2 และ x 2 = y2

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตั้งแต่ (r, s) = 1, มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่า (อาร์เอส, r2 - s2) = 1 ที่นี่ทั้งอาร์เอสและ.
r2 - s2 เป็นตารางที่สมบูรณ์แบบ ตั้งแต่ r และ s มีความเท่าเทียมกันและตรงข้าม (r, s) = 1 ก็
ต่อว่า (r - s r + s) = 1 ใช้ความจริงที่ว่า r2 -. s2 = (r - s) (r + s)
จะเห็นว่า r - และ r + s เป็นตารางที่สมบูรณ์แบบ จากนั้นมีอยู่ integers
T, k, C, D เช่นที่ r = t2, s = k2 = c2 r-s และ r + s = d2 ดังนั้นเราทันที
มี t2 - = k2 c2 และ t2 + k2 = d2 นอกจากนี้การใช้ v = 2RS, b2 = 2uv และ
s = k2 เราจะเห็นว่า b2 = 4urk2 นี่ก็หมายความว่า k <b แต่ในทางตรงกันข้าม
ในความหมายของข เป็นผลให้ไม่มีจำนวนเต็มข x, y เช่นว่า
a2 - b2 = x2 และ a2 + b2 = y2

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตั้งแต่ ( r , s ) = 1 , มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่า ( RS , R2 − S2 ) = 1 ที่นี่ทั้ง RS และ
R − S2 สมบูรณ์แบบสแควร์ ตั้งแต่ r และ s เป็นตรงข้ามกัน และ ( r , s ) = 1 , ( r − s
1 r , s ) = 1 ใช้ความจริงที่ว่า R2 − S2 = ( r − s ) ( R )
จะเห็นได้ว่า R − s r s สมบูรณ์แบบสแควร์ แล้วมีจำนวนเต็ม
t , K , C , D เช่นที่ R = T2 S = K2 R − s = C2 R S = D2 . ดังนั้นเราได้ทันที
2 = − 2 C2 และ T2 D2 K2 = . นอกจากนี้ การใช้ V = 2RS , B2 = 2uv และ
S = ทางเราเห็นว่า B2 = 4urk2 . แสดงว่า K < b แต่นี้ขัดแย้งกับ
ความหมายของ บี เป็นผลให้ไม่มีจำนวนเต็ม A , B , X , Y เช่น
A2 และ B2 X2 = − 2 = A2 Y2 .