where G is, in comparison with line

where G is, in comparison with linear theory, the stress relaxation second-order tensor, P denotes the second Piola–
Kirchhoff stress, and t refers to time. The quantity Pe is a strain measure, which here can be considered as the instantaneous
second Piola–Kirchhoff elastic stress response derived from a strain energy function W. As noted above, of fundamental
importance in QLV is that the function G is independent of the local strain. The tensorial form (1) is a natural generalisation
of the one-dimensional law proposed by Fung, 1981 and preserves objectivity.
It should be noted that many more complicated deformation states for compressible materials with QLV-type behaviour
have been studied in the past, including those in Wineman and Waldron, 1995, Waldron and Wineman, 1996. However it
appears that these and other papers, e.g. (Simo, 1987) incorporate only one relaxation function into the constitutive model
for the material. For the general theory of isotropic compressible viscoelastic materials two independent relaxation functions
are required in order for the constitutive behaviour to reduce to linear viscoelasticity upon taking the limit of small displacement
gradients in the QLV constitutive law. A single relaxation function in the viscoelastic equation is only relevant to the
case of incompressible materials as described in De Pascalis et al., 2014.
In Section 2 an overview of QLV in the context of compressible materials is given and the problem in hand here, i.e. simple
shear, is stated. Note that timescales are assumed slow enough that the effects of inertia can be ignored. Explicit expressions
are provided for the non-zero components of stress in terms of a general strain energy function. When the deformation is
prescribed (i.e. for strain or displacement controlled experiments) this can simply be fed into these expressions to provide
a prediction of the resulting stresses. On the other hand, in cases when the traction is prescribed these relations are nonlinear
Volterra integral equations which must be solved for the resulting deformation (shear) field. Therefore, in Section 3 the procedure
for solving the resulting integral equations is described, based upon the method introduced in De Pascalis et al., 2014.
Since the above analysis applies to compressible materials, in Section 4 it is described how the various details are modified
when the constraint of incompressibility, common in biomechanical and rubber-like material applications, is imposed. In
Section 5 a number of results are given, associated with the simple-shear problem. It is shown that, even for this isochoric
deformation, compressibility does have an effect on the resulting deformation and stress fields. The energy dissipated for a
deformation that is piecewise linear in time is determined, as well as energy loss per unit cycle for oscillatory shear. We close
in Section 6 with a brief summary and some directions for future research.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ที่ G เมื่อเปรียบเทียบกับทฤษฎีเชิงเส้น ความเครียดผ่อนคลายสองสั่ง tensor, P หมายถึงที่สอง Piola –ความเครียด Kirchhoff และ t หมายถึงเวลา ปริมาณ Pe เป็นการวัดต้องใช้ ซึ่งที่นี่ถือได้ว่าเป็นการกำลังตอบสนองความเครียดยืดหยุ่น Piola – Kirchhoff ที่สองมาจากฟังก์ชันพลังงานต้องใช้ปริมาณ ตามที่กล่าวข้างต้น ของพื้นฐานความสำคัญ QLV คือว่า ฟังก์ชัน G ขึ้นอยู่กับสายพันธุ์ท้องถิ่น แบบฟอร์ม tensorial (1) เป็น generalisation ธรรมชาติกฎหมาย one-dimensional เสนอ โดยฝั่ง 1981 และรักษาปรวิสัยควรสังเกตว่า มากมายซับซ้อนอเมริกาแมพสำหรับพฤติกรรม QLV ชนิดวัสดุอัดตัวได้มีการศึกษาในอดีต รวมทั้งใน Wineman และ Waldron, 1995, Waldron และ Wineman, 1996 อย่างไรก็ตามมันปรากฏที่นี่และเอกสารอื่น ๆ เช่น (Simo, 1987) รวมเป็นเดียวฟังก์ชันเป็นรูปแบบขึ้นสำหรับวัสดุที่ สำหรับทฤษฎีทั่วไปของฟังก์ชันเป็นอิสระวัสดุสอง viscoelastic isotropic อัดตัวได้ต้องการพฤติกรรมขึ้นเพื่อลดการ viscoelasticity เชิงเส้นตามจำนวนขนาดเล็กแทนการไล่ระดับสีในกฎหมายขึ้น QLV ฟังก์ชันเป็นหนึ่งในสมการ viscoelastic จะเกี่ยวข้องกับการกรณีวัสดุ incompressible อธิบายไว้ใน De Pascalis et al., 2014ในภาพรวมของ QLV ในบริบทของวัสดุที่อัดตัวได้จะได้รับ 2 ส่วนและปัญหาในมือนี่ อย่างเช่นแรงเฉือน ระบุ หมายเหตุว่า timescales จะถือว่าช้าพอที่สามารถละเว้นลักษณะพิเศษของความเฉื่อย นิพจน์ที่ชัดเจนมีส่วนประกอบหนึ่งของความเครียดในรูปแบบของฟังก์ชันทั่วไปต้องใช้พลังงาน เมื่ออยู่ในแมพกำหนด (เช่นต้องใช้หรือแทนที่ควบคุมการทดลอง) นี้สามารถเพียงสามารถรับนิพจน์เหล่านี้ให้การคาดการณ์ความตึงเครียดได้ บนมืออื่น ๆ ในกรณี เมื่อลากจะกำหนด ความสัมพันธ์เหล่านี้จะไม่เชิงเส้นVolterra สมการสำคัญที่ต้องแก้ไขสำหรับแมพได้ (แรงเฉือน) ฟิลด์ ดังนั้น ในส่วนที่ 3 ขั้นตอนสำหรับการแก้สมการเป็นผลอธิบาย ตามวิธีที่แนะนำใน De Pascalis et al., 2014เนื่องจากการวิเคราะห์ข้างต้นใช้วัสดุที่อัดตัวได้ ในส่วน 4 จะอธิบายวิธีการปรับเปลี่ยนรายละเอียดต่าง ๆเมื่อจะกำหนดข้อจำกัดของ incompressibility ใน biomechanical และยางเช่นวัสดุประยุกต์ ในส่วน 5 จำนวนผลได้ เกี่ยวข้องกับปัญหาแรงเฉือนง่าย มันแสดงให้เห็นว่า แม้สำหรับ isochoric นี้แมพ compressibility มีลักษณะพิเศษในฟิลด์แมพผลลัพธ์และความเครียด พลังงาน dissipated สำหรับการแมพที่ piecewise เชิงเส้นในเวลาที่กำหนด และสูญเสียพลังงานต่อหน่วยวงจรสำหรับแรงเฉือน oscillatory เราปิดใน 6 ส่วนสรุปโดยย่อและคำแนะนำบางอย่างสำหรับการวิจัยในอนาคต

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ที่ G เป็นในการเปรียบเทียบกับทฤษฎีเชิงเส้นผ่อนคลายความเครียดเมตริกซ์ที่สองสั่งซื้อ P หมายถึงสอง Piola-
ความเครียด Kirchhoff และทีหมายถึงเวลา ปริมาณ Pe
เป็นวัดสายพันธุ์ซึ่งที่นี่ถือได้ว่าเป็นทันทีที่สองPiola-Kirchhoff
ยืดหยุ่นตอบสนองต่อความเครียดมาจากฟังก์ชั่นพลังงานความเครียดดับเบิลยูตามที่ระบุไว้ข้างต้นของพื้นฐานสำคัญในQLV คือฟังก์ชั่นจีเป็นอิสระของท้องถิ่น สายพันธุ์ รูปแบบ tensorial (1)
เป็นลักษณะทั่วไปธรรมชาติของกฎหมายหนึ่งมิติที่เสนอโดยFung 1981 และรักษาความเที่ยงธรรม.
มันควรจะตั้งข้อสังเกตว่ารัฐเสียรูปที่ซับซ้อนอื่น ๆ อีกมากมายสำหรับวัสดุอัดที่มีพฤติกรรม QLV
ชนิดได้รับการศึกษาในอดีตที่ผ่านมารวมทั้งผู้ที่อยู่ใน Wineman และลดรอนปี 1995 ลดรอนและ Wineman 1996
อย่างไรก็ตามปรากฏว่าเอกสารเหล่านี้และอื่นๆ เช่น (Simo, 1987)
รวมเพียงหนึ่งฟังก์ชั่นการผ่อนคลายลงในรูปแบบที่เป็นส่วนประกอบสำหรับวัสดุ สำหรับทฤษฎีทั่วไปของวัสดุ viscoelastic isotropic
อัดสองฟังก์ชั่นการผ่อนคลายอิสระจะต้องเพื่อให้พฤติกรรมที่เป็นส่วนประกอบในการลดการviscoelasticity เชิงเส้นเมื่อการขีด จำกัดของการเคลื่อนที่ขนาดเล็กไล่ระดับสีในกฎหมายส่วนประกอบ QLV
ฟังก์ชั่นการผ่อนคลายเดียวในสมการ viscoelastic
เป็นเพียงที่เกี่ยวข้องกับกรณีของวัสดุอัดที่อธิบายไว้ในDe Pascalis et al., 2014
ในส่วนที่ 2 ภาพรวมของ QLV ในบริบทของวัสดุอัดจะได้รับและปัญหาในมือที่นี่
คือง่ายเฉือนที่ระบุไว้ โปรดทราบว่าระยะเวลาจะถือว่าช้าพอที่จะทำให้ผลกระทบของความเฉื่อยสามารถปฏิเสธ
การแสดงออกที่ชัดเจนจะมีให้สำหรับส่วนประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ของความเครียดในแง่ของฟังก์ชั่นพลังงานความเครียดทั่วไป เมื่อความผิดปกติที่มีการกำหนดไว้ (เช่นสำหรับการกำจัดความเครียดหรือการทดลองควบคุม) นี้ก็สามารถที่จะป้อนเข้าแสดงออกเหล่านี้เพื่อให้การคาดการณ์ของความเครียดที่เกิดขึ้นได้ ในทางกลับกันในกรณีที่การลากที่มีการกำหนดความสัมพันธ์เหล่านี้จะไม่เป็นเชิงเส้นVolterra สมการหนึ่งซึ่งจะต้องได้รับการแก้ไขสำหรับความผิดปกติที่เกิดขึ้น (เฉือน) สนาม ดังนั้นในส่วนที่ 3 ขั้นตอนในการแก้สมการหนึ่งที่เกิดขึ้นอธิบายไว้ขึ้นอยู่กับวิธีการที่นำมาใช้ในDe Pascalis et al., 2014 ตั้งแต่การวิเคราะห์ข้างต้นนำไปใช้กับวัสดุที่อัดในมาตรา 4 จะอธิบายรายละเอียดวิธีการต่างๆที่มี การแก้ไขเมื่อข้อจำกัด ของ incompressibility ร่วมกันในการใช้งานวัสดุชีวกลศาสตร์และยางเหมือนที่จะเรียกเก็บ ในหมวดที่ 5 จำนวนผลจะได้รับการเชื่อมโยงกับปัญหาที่เกิดขึ้นง่ายเฉือน มันแสดงให้เห็นว่าแม้สำหรับ isochoric นี้เปลี่ยนรูปอัดจะมีผลกระทบต่อความผิดปกติที่เกิดความเครียดและสาขา พลังงานกระจายสำหรับความผิดปกติที่เป็นเชิงเส้นค่ในเวลาที่กำหนดเช่นเดียวกับการสูญเสียพลังงานต่อวงจรหน่วยเฉือนแกว่ง เราปิดในมาตรา 6 ที่มีการสรุปและทิศทางบางอย่างสำหรับการวิจัยในอนาคต

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ที่ G คือ เปรียบเทียบกับทฤษฎีเชิงเส้น , การผ่อนคลายความเครียดสอง - สั่งเมตริกซ์ , P หมายถึงสองปิโอลา–
เคอร์ชอฟฟ์ความเครียดและ t คือเวลา ปริมาณ PE เป็นสายพันธุ์วัดซึ่งที่นี่ถือได้ว่าเป็น "
2 ปิโอลา–เคอร์ชอฟฟ์ยืดหยุ่นความเครียดการตอบสนองที่ได้จากสายพันธุ์ของฟังก์ชันพลังงาน W . ดังที่ระบุไว้ข้างต้น
พื้นฐานความสำคัญใน qlv คือฟังก์ชัน g เป็นอิสระของสายพันธุ์ท้องถิ่น แบบฟอร์ม tensorial ( 1 ) เป็น generalisation ธรรมชาติ
ของมิติกฎหมายที่เสนอโดย ฟง , 1981 และรักษาความเป็นกลาง .
มันควรจะสังเกตว่ารูปที่ซับซ้อนมากขึ้นสำหรับวัสดุอัดกับชนิด qlv
พฤติกรรมได้รับการศึกษาในอดีต รวมทั้งใน wineman และ วอลดรอน , 1995วอลดรอน และ wineman 1996 แต่มัน
ปรากฏว่าเหล่านี้และเอกสารอื่น ๆเช่น ( ซีโม , 1987 ) รวมเพียงหนึ่งผ่อนคลายในรูปแบบและฟังก์ชั่น
สำหรับวัสดุ สำหรับทฤษฎีทั่วไปของวัสดุยืดหยุ่นตัวได้สองฟังก์ชั่นการผ่อนคลายอิสระ
ใช้เพื่อให้พฤติกรรมพฤติกรรมเพื่อลด viscoelasticity เชิงเส้นเมื่อรับขีด จำกัด ของการไล่ระดับสีใน qlv
ขนาดเล็กและกฎหมาย ฟังก์ชั่นการผ่อนคลายเดียวในสมการได้เป็นเพียงที่เกี่ยวข้องกับ
กรณีวัสดุอัด ตามที่อธิบายไว้ใน เดอ pascalis et al . ,
2014ในส่วนที่ 1 ภาพรวมของ qlv ในบริบทของวัสดุอัดจะได้รับและปัญหาในมือ ที่นี่คือง่ายๆ
เฉือน ระบุไว้ ทราบว่า timescales สมมติช้าพอดีว่าผลของความเฉื่อยสามารถละเว้น ชัดเจนแสดงออก
ไว้เพื่อไม่เป็นองค์ประกอบของความเครียดในแง่ของพลังงานความเครียดทั่วไป ฟังก์ชัน เมื่อการเคลื่อนตัว
กำหนด ( เช่นสำหรับความเครียดหรือการควบคุม การทดลองนี้สามารถถูกป้อนลงในนิพจน์เหล่านี้ให้
การทำนายผลความเครียด บนมืออื่น ๆ ในกรณีที่การลากคือความสัมพันธ์เหล่านี้กำหนดเป็นเส้น
Volterra integral สมการที่ต้องแก้ผลการเสียรูป ( เฉือน ) ฟิลด์ ดังนั้นในส่วนขั้นตอน
3สำหรับการแก้ปัญหาที่เกิดเป็นสมการอธิบายตามวิธีที่แนะนำใน เดอ pascalis et al . , 2014
ตั้งแต่การวิเคราะห์ข้างต้นใช้กับวัสดุได้ ในมาตรา 4 จะอธิบายว่ารายละเอียดต่าง ๆแก้ไข
เมื่อเจริญเติบโตของ incompressibility ทั่วไปในทางชีวกลศาสตร์และยางพารา เช่น การใช้งานวัสดุที่กำหนด ใน
มาตรา 5 จำนวนของผลลัพธ์จะได้รับที่เกี่ยวข้องกับการตัดง่าย ปัญหา มันแสดงให้เห็นว่า แม้การ isochoric
นี้การมีผลกระทบ ทำให้เกิดการเปลี่ยนรูปและความเครียดด้าน พลังงานกระจายเป็น
รูปเชิงเส้นเป็นช่วงเวลาที่กำหนด รวมทั้งการสูญเสียพลังงานต่อวงจรหน่วยลังเลตัด เราปิด
ในมาตรา 6 ด้วยสรุปสั้น ๆและทิศทางการวิจัยในอนาคต