By (X, mX ), we denote a nonempty s

By (X, mX ), we denote a nonempty set X with an m-structure mX on X
and it is called an m-space. Each member of mX is said to be mX -open and
the complement of an mX -open set is said to be mX -closed.

Definition 2.2. [3] Let X be a nonempty set and mX an m-structure on X .
For a subset A of X , the mX -closure of A and the mX -interior of A are defined
as follows:

(1) mCl(A) = ∩{F : A ⊆ F, X − F ∈ mX },

(2) mInt(A) = ∪{U : U ⊆ A, U ∈ mX }.

Lemma 2.3. [2] Let X be a nonempty set and mX a minimal structure on X .
For subset A and B of X , the following properties hold:

(1) mCl(X − A) = X − mInt(A) and mInt(X − A) = X − mCl(A),

(2) If (X −A) ∈ mX , then mCl(A) = A and if A ∈ mX , then mInt(A) = A,

(3) mCl(∅) = ∅, mCl(X) = X , mInt(∅) = ∅ and mInt(X) = X ,

(4) If A ⊆ B, then mCl(A) ⊆ mCl(B) and mInt(A) ⊆ mInt(B),

(5) A ⊆ mCl(A) and mInt(A) ⊆ A,

(6) mCl(mCl(A)) = mCl(A) and mInt(mInt(A)) = mInt(A).

Lemma 2.4. [2] Let X be a nonempty set with a minimal structure mX and
A a subset of X . Then x ∈ mCl(A) if and only if U ∩A = ∅ f

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

โดย (X, mX), เราแสดงชุด nonempty X กับ mX มีโครงสร้าง m บน X และเรียกว่า m-พื้นที่ แต่ละสมาชิกของ mX กล่าวได้ว่า เป็น mX-เปิด และ มากมายอย่างการ-กล่าวเป็น mX ชุดเปิด-ปิด Definition 2.2 [3] X ให้มีชุด nonempty และ mX เมตรเป็นโครงสร้างบน X สำหรับชุดย่อย A X, mX-ปิดของ mX และการ-defined กำลังภายในของ A ดังนี้: (1) mCl(A) =∩ { F: ⊆ F, mX ∈ X − F }, (2) mInt(A) =∪ { U: U ⊆ A, U ∈ mX } จับมือ 2.3 [2] X ให้เป็นชุด nonempty และ mX โครงสร้างน้อยที่สุดบน X ย่อย A และ B X คุณสมบัติต่อไปนี้ค้าง: (1) mCl(X − A) = mInt(A) X −และมิ้นท์ (A X −) = X − mCl(A) (2) ถ้า (X −A) ∈ mX แล้ว mCl(A) = A และ ถ้าเป็น∈ mX, mInt(A) = A (3) mCl(∅) =∅ mCl(X) = X, mInt(∅) =∅และ mInt(X) = X (4) ถ้าเป็น⊆ B, mCl(A) ⊆ mCl(B) และ mInt(A) ⊆ mInt(B) (5) การ⊆ mCl(A) และ mInt(A) ⊆ A (6) mCl(mCl(A)) = mCl(A) และ mInt(mInt(A)) = mInt(A) จับมือ 2.4 [2] X ให้เป็น nonempty ที่ตั้งอย่างน้อยที่สุดโครงสร้าง และ A เป็นเซตย่อยของ X แล้ว x ∈ mCl(A) ถ้าและเฉพาะถ้า U ∩A =∅ f

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โดย (x, mX) เราแสดงชุด X กับว่างเมตรโครงสร้าง mX ใน X
และเป็นที่เรียกเมตรพื้นที่ สมาชิกของแต่ละ mX กล่าวจะเปิด mX และ
ส่วนประกอบของชุด mX เปิดกล่าวจะ mX -closed. De ไฟ nition 2.2 [3] ให้ X เป็นชุดว่างและ mX เมตรโครงสร้างใน X. สำหรับชุดย่อยของ X, -closure mX ของและ -interior mX ของมีนิยามดังนี้(1) MCL (A) = ∩ {F: ⊆ F, X - F ∈ mX} (2) MINT (A) = ∪ {U: U ⊆ยู∈ mX}. บทแทรก 2.3 . [2] ให้ X เป็นชุดว่างและ mX โครงสร้างน้อยที่สุดใน X สำหรับเซต A และ B ของ X คุณสมบัติดังต่อไปนี้ถือ: (1) MCL (X -) = x - มิ้นท์ (A) และมิ้นท์ (X -) = x - MCL (A), (2) ถ้า (x -A) ∈ mX แล้ว MCL (A) = และถ้า∈ mX แล้วมิ้นท์ (A) =, (3) MCL (∅ ) = ∅, MCL (x) = x, มิ้นท์ (∅) = ∅และมิ้นท์ (x) = x, (4) ถ้า B ⊆แล้ว MCL (A) ⊆ MCL (B) และมิ้นท์ (A) ⊆มิ้นท์ (B), (5) ⊆ MCL (A) และมิ้นท์ (A) ⊆, (6) MCL (MCL (A)) = MCL (A) และ MINT (MINT (A)) = MINT (A) บทแทรก 2.4 [2] ให้ X จะว่างชุดที่มีโครงสร้างและน้อยที่สุด mX ย่อยของ X แล้ว x ∈ MCL (A) และถ้าหาก∩A U = ∅ฉ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

( X , MX ) เราแสดงชุดเซต X กับ m-structure MX บน X
และเป็นที่เรียกว่า m-space . แต่ละสมาชิกของ MX เป็น MX - เปิดและ
ส่วนเติมเต็มของ MX - เปิดตั้งเป็น MX - ปิด

เดอ จึง nition 2.2 . [ 3 ] ให้ X เป็นเซตเป็นชุดและ m-structure MX บน X .
เป็นเซตย่อยของ x , MX - ปิดและ MX - ตกแต่งภายในของ de จึงเน็ด
ดังนี้

( 1 ) mcl ( ) = ∩ { fเป็น⊆ F , X − F ∈ MX } ,

( 2 ) สะระแหน่ ( ) = ∪ { u : u ⊆ A , u ∈ MX }

ฟาง 2.3 [ 2 ] ให้ X เป็นเซตตั้งค่า MX น้อยที่สุดและโครงสร้างใน X .
สำหรับย่อย A และ B x , คุณสมบัติต่อไปนี้ถือ :

( 1 ) mcl ( x = x −− ) สะระแหน่ ( Mint ) และ ( x = x −− ) mcl ( A )

( 2 ) ถ้า x − ) ∈ MX แล้ว ( mcl ) = และถ้า∈ MX แล้ว มิ้นท์ ( ) = ,

( 3 ) ( ∅ ) = ∅ mcl mcl , ( X ) = Xสะระแหน่ ( ∅ ) = ∅และสะระแหน่ ( x ) = x

( 4 ) ถ้า⊆ บี แล้ว⊆ mcl mcl ( ก ) ( ข ) และมินต์ ( Mint ) ⊆ ( B )

( 5 ) ⊆ mcl ( ) และ ( ) ⊆ , สะระแหน่

( 6 ) ( mcl mcl mcl ( ) = ( ) และมินต์ ( สะระแหน่ ( Mint ) = ( )

พ 2.4 . [ 2 ] ให้ X เป็นเซตเป็นชุดกับ MX โครงสร้างน้อยที่สุดและ
เป็นส่วนย่อยของ x . แล้ว X ∈ mcl ( ) ถ้าและเพียงถ้าคุณ∩ = ∅ F