FIG, 2.-Geometry of the phase plane

FIG, 2.-Geometry of the phase plane for a typical social optimum. Arrows indicate
directions of trajectories in different sections of the plane. The rate of change of the
stock of knowledge, k, is zero everywhere on or below the locus denoted by k =*O; SO
denotes the socially optimal trajectory that stays everywhere between the lines X = 0
and k = 0.
Under the assumption that limbo DU(c) = oo, maximizing over c in
the definition of H(k, X) implies that DU(c) = XDg([9(k) - c]/k)
whenever the constraint k ? 0 is not binding; otherwise, c = i(k). This
gives c as a function of k and X. Substituting this expression in the
equations for k and A gives a system of first-order equations that
depends only on k and X.
Because of the restriction that k be nonnegative, the plane can be
divided into two regions defined by k = 0 and k - 0 (see fig. 2). In
a convenient abuse of the terminology, I will refer to the locus of
points dividing these two regions as the k = 0 locus. Along this locus,
both the conditions c = i;(k) and DU(c) = XDg([f(k) - c]lk) must hold.
Thus the k = 0 locus is defined by the equation DU(9(k)) = X. By the
concavity of U, it must be a nonincreasing curve in the k-X plane.
As usual, the equation A = 0 defines a simple locus in the plane.
When the derivative DIH(k, X) is evaluated along the k = 0 locus, the
equation for A there can be written A/X = 8- D(k). If D9 increases
without bound, there exists a value of k such that D9(k) > 8 for all k
Scheinkman (1983) prove the necessity of the transversality condition for nonconcave
discrete-time problems. In continuous time, a proof that requires a local Lipschitz
condition is given by Aubin and Clarke (1979).
INCREASING RETURNS 1023
larger than k, and for all such k, the A = 0 locus lies above the k = 0
locus. It may be either upward or downward sloping. If 3; were concave
and satisfied the usual Inada conditions, i = 0 would cross k = 0
from above and the resulting steady state would be stable in the usual
saddle-point sense. Here, K = 0 may cross k = 0 either from above or
from below. If D9i(k) is everywhere greater than 8, the A = 0 locus lies
everywhere above the k = 0 locus, and k can be taken to be zero.
(This is the case illustrated in fig. 2.) Starting from any initial value
greater than k, the optimal trajectory (K(t), k(t)), t ? 0, must remain
above the region where k = 0. Any trajectory that crosses into this
region can be shown to violate the transversality condition. Consequently,
k(t) grows without bound along the optimal trajectory.
This social optimum cannot be supported as a competitive equilibrium
in the absence of government intervention. Any competitive
firm that takes K(t) as given and is faced with the social marginal
products as competitive prices will choose not to remain at the optimal
quantities even if it expects all other firms to do so. Each firm will face
a private marginal product of knowledge (measured in terms of current
output goods) equal to D1f; but the true shadow price of capital
will be Dlf + SD2f > Dlf. Given this difference, each firm would
choose to acquire less than the socially optimal amount of knowledge.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ฟิก 2. -เรขาคณิตของระนาบระยะสำหรับความเหมาะสมทางสังคมทั่วไป ลูกศรแสดงทิศทางของ trajectories ในส่วนต่าง ๆ ของเครื่องบิน อัตราการเปลี่ยนแปลงของการหุ้นความรู้ k เป็นทุกศูนย์ หรือต่ำ กว่าโลกัสโพลสามารถบุ โดย k = * O ดังนั้นแสดงถึงวิถีสังคมดีที่สุดที่ทุกอยู่ระหว่างบรรทัด X = 0และ k = 0ภายใต้สมมติฐานที่บ้าน DU(c) =ดา เพิ่มกว่า c ในคำจำกัดความของ H (k, X) หมายถึงการที่ DU(c) = XDg([9(k) - c] /k)เมื่อ k ข้อจำกัดหรือไม่ ไม่มีการผูก 0 อื่น ๆ c = i(k) นี้ให้ c เป็นฟังก์ชัน k และ Substituting x. อัพนิพจน์นี้ในการสมการ k และ A ให้ระบบสมการแรกลำดับที่ขึ้นอยู่เท่ากับ k และ Xเนื่องจากข้อจำกัดที่ ว่า k เป็น nonnegative เครื่องบินได้แบ่งเป็นสองภูมิภาคกำหนด โดย k = 0 และ k - 0 (ดู fig. 2) ในละเมิดที่สะดวกของคำศัพท์ ฉันจะหมายถึงโลกัสโพลของคะแนนหารสองภูมิภาคเหล่านี้เป็น k = 0 โลกัสโพล ตามนี้โลกัสโพลทั้งสองเงื่อนไข c = i;(k) และ DU(c) = XDg([f(k) - c] แอล) ต้องการดังนั้น k = 0 โลกัสโพลถูกกำหนด โดยสมการ DU(9(k)) = X โดยconcavity ของ U มันต้องเป็นเส้นโค้งในระนาบ k X nonincreasingเป็นปกติ สมการ A = 0 กำหนดโลกัสโพลอย่างเครื่องบินเมื่อประเมิน DIH อนุพันธ์ (k, X) ตาม k = 0 โลกัสโพล การสมการ สำหรับการมีความสามารถเขียน A/X = 8-D(k) ถ้า D9 เพิ่มโดยไม่มีขอบ มีค่า k ดังกล่าวนั้น D9(k) > 8 สำหรับ k ทั้งหมดScheinkman (1983) พิสูจน์ความจำเป็นของเงื่อนไข transversality สำหรับ nonconcaveปัญหาไม่ต่อเนื่องของเวลา ในเวลาต่อเนื่อง หลักฐานที่ต้องใช้ Lipschitz ท้องถิ่นเงื่อนไขถูกกำหนด โดย Aubin และคลาร์ก (1979)เพิ่มผลตอบแทนทีใหญ่ กว่า k และทั้งหมดเช่น k = 0 โลกัสโพลอยู่ด้านบน k = 0โลกัสโพล มันอาจเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งขึ้น หรือลงลาดเอียง ถ้า 3 มีเว้าและพอใจเงื่อนไข Inada ตามปกติ ฉัน = 0 จะข้าม k = 0จากข้างต้น และท่อนผลลัพธ์จะมีเสถียรภาพในปกติอานจุดสัมผัส ที่นี่ K = 0 อาจข้าม k = 0 อย่างใดอย่างหนึ่งจากข้างต้น หรือจากด้านล่าง ถ้า D9i(k) เป็นทุก 8 มากกว่า = 0 โลกัสโพลอยู่ทุกข้าง k = 0 โลกัสโพล และ k ในการทำเป็นศูนย์ได้(นี้เป็นกรณีที่แสดงใน fig. 2) เริ่มต้นจากค่าเริ่มต้นใด ๆมากกว่า k วิถีสูงสุด (K(t), k(t)), t ต้องยังคง 0ข้างบนภูมิภาคที่ k = 0 วิถีลูกใด ๆ ที่ลงในนี้สามารถแสดงพื้นที่การละเมิดเงื่อนไข transversality ดังนั้นk(t) เติบโตขึ้นโดยไม่ถูกผูกไว้ตามวิถีที่เหมาะสมเหมาะสมทางสังคมนี้ไม่ได้รับการสนับสนุนเป็นสมดุลแข่งขันในการขาดงานของการแทรกแซงของรัฐบาล แข่งขันใด ๆบริษัทที่ใช้ K(t) ที่กำหนด และต้องเผชิญกับสังคมกำไรสินค้าเป็นราคาที่แข่งขันจะต้องไม่อยู่ที่ดีที่สุดปริมาณแม้คาดว่าบริษัทอื่นดัง แต่ละบริษัทจะเผชิญผลิตภัณฑ์กำไรส่วนตัวความรู้ (วัดปัจจุบันสินค้าส่งออก) มีค่าเท่ากับ D1f แต่ความจริงเงาราคาทุนจะ Dlf + SD2f > Dlf ให้ความแตกต่างนี้ แต่ละบริษัทจะเลือกที่จะได้รับน้อยกว่ายอดเงินสูงสุดสังคมความรู้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

มะเดื่อ 2-เรขาคณิตของเครื่องบินระยะที่เหมาะสมสำหรับสังคมโดยทั่วไป ลูกศรแสดงทิศทางของลูกทีมในส่วนต่าง ๆ ของเครื่องบิน
อัตราการเปลี่ยนแปลงของสต็อกของความรู้ k เป็นศูนย์ทุกที่บนหรือด้านล่างของสถานทีแสดงโดย k = * O;
ดังนั้นหมายถึงวิถีสังคมที่ดีที่สุดทุกที่ที่อยู่ระหว่างบรรทัด X = 0 และ k = 0 ภายใต้สมมติฐานที่ว่าลืม DU (c) = อูเพิ่มมากกว่าคในความหมายของH (k, X) ก็หมายความว่า DU (ค ) = XDG ([9 (k) - ค] / k) เมื่อใดก็ตามที่ข้อ จำกัด k? 0 ไม่ผูกพัน; ฉะนั้นฉัน c = (k) นี้จะช่วยให้คเป็นหน้าที่ของ k และเอ็กซ์แทนสำนวนนี้ในสมการสำหรับk และจะช่วยให้ระบบการทำงานของสมการสั่งซื้อครั้งแรกที่ขึ้นอยู่กับ k และเอ็กซ์เพราะข้อจำกัด ที่ k เป็นค่าลบที่เครื่องบินสามารถแบ่งออกเป็นสองภูมิภาคที่กำหนดโดย k = 0 และ k - 0 (. ดูรูปที่ 2) ในการละเมิดคำศัพท์ที่สะดวกในการที่ผมจะอ้างถึงสถานทีของจุดหารทั้งสองภูมิภาคเป็นk = 0 สถานที่ พร้อมสถานที่นี้ทั้งสองเงื่อนไข c = ฉัน. (k) และ DU (c) = XDG ([f (k) - ค] lk) ต้องถือดังนั้นk = 0 สถานที่จะถูกกำหนดโดยสมการ DU (9 ( k)) = X. โดยส่วนเว้าของU, มันจะต้องเป็นเส้นโค้ง nonincreasing ในระนาบ KX. ตามปกติสมก = 0 กำหนดสถานที่ที่เรียบง่ายในเครื่องบิน. เมื่อ DIH อนุพันธ์ (k, X) ได้รับการประเมิน พร้อม k = 0 สถานที่ที่สมการมีสามารถเขียนA / X = 8 D (k) หากมีการเพิ่ม D9 โดยไม่ต้องถูกผูกไว้มีอยู่ค่าของ k ดังกล่าวว่า D9 (ที่ k)> 8 สำหรับทุก k Scheinkman (1983) พิสูจน์ความจำเป็นของสภาพ transversality สำหรับ nonconcave ปัญหาเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง ในช่วงเวลาต่อเนื่องหลักฐานที่ต้องใช้ Lipschitz ท้องถิ่นเงื่อนไขจะได้รับจากAubin และคลาร์ก (1979). การเพิ่มผลตอบแทน 1023 มีขนาดใหญ่กว่า k และสำหรับทุก k เช่น A = 0 สถานที่อยู่เหนือ k = 0 สถานที่ มันอาจจะเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งขึ้นหรือลงที่ลาดเอียง ถ้า 3; เป็นเว้าและความพึงพอใจเงื่อนไข Inada ปกติ i = 0 จะข้าม k = 0 จากด้านบนและรัฐอย่างต่อเนื่องส่งผลให้จะมีเสถียรภาพในปกติความรู้สึกอานจุด ที่นี่ K = 0 อาจข้าม k = 0 ทั้งจากด้านบนหรือจากด้านล่าง หาก D9i (k) มีอยู่ทั่วไปมากกว่า 8, A = 0 สถานที่ตั้งอยู่ทุกที่ดังกล่าวข้างต้นk = 0 สถานที่และ k สามารถนำไปเป็นศูนย์. (นี่คือกรณีที่แสดงในรูปที่ 2.) เริ่มต้นจากการเริ่มต้นใด ๆ มูลค่ามากกว่าk, วิถีที่ดีที่สุด (K (t), k (t)), เสื้อ? 0, ต้องอยู่เหนือพื้นที่ที่k = 0 วิถีใด ๆ ที่ข้ามเข้าไปในภูมิภาคสามารถแสดงให้เห็นว่าละเมิดเงื่อนไขtransversality ดังนั้นk (t) เติบโตโดยไม่ต้องผูกพันตามแนววิถีที่ดีที่สุด. นี้เหมาะสมทางสังคมไม่ได้รับการสนับสนุนเป็นความสมดุลในการแข่งขันในกรณีที่ไม่มีการแทรกแซงของรัฐบาล ใด ๆ ในการแข่งขันของบริษัท ที่ใช้ K (t) ตามที่กำหนดและต้องเผชิญหน้ากับชายขอบสังคมผลิตภัณฑ์ในราคาที่แข่งขันจะเลือกที่จะไม่คงอยู่ที่ที่ดีที่สุดปริมาณแม้ว่าจะคาดว่าบริษัท อื่น ๆ จะทำเช่นนั้น แต่ละ บริษัท จะเผชิญกับผลิตภัณฑ์ร่อแร่ส่วนตัวของความรู้(วัดในแง่ของปัจจุบันสินค้าส่งออก) เท่ากับ D1f; แต่ราคาเงาที่แท้จริงของเงินทุนจะ Dlf + SD2f> Dlf ได้รับความแตกต่างนี้ บริษัท แต่ละคนจะเลือกที่จะได้รับน้อยกว่าจำนวนที่เหมาะสมเพื่อเข้าสังคมความรู้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

รูปที่ 2 - เรขาคณิตของเครื่องบินระยะที่เป็นปกติของสังคมที่เหมาะสม ลูกศรแสดงทิศทางของวิถี
ในส่วนต่าง ๆของเครื่องบิน อัตราการเปลี่ยนแปลงของ
หุ้นความรู้ , K , ศูนย์ทุกที่บนหรือด้านล่างของตนแทน โดย k = * O ;
หมายถึงบทบาทที่เหมาะสม ดังนั้นวิถีที่อยู่ทุกที่ระหว่างบรรทัด x = 0 =
และ k = 0
ภายใต้สมมติฐานว่า ลืมดู ( C ) = โอ้เพิ่มกว่า C
ความหมายของ H ( K ( , x ) บางที่ดู ( C ) = XDG ( [ 9 K ) c - ] / K )
เมื่อข้อจำกัด K 0 คือ ไม่ผูกพัน มิฉะนั้น , C = I ( K ) นี้
ให้ C เป็นฟังก์ชันของ K และ X แทนนิพจน์นี้ใน
สมการ K และทำให้ระบบสมการแรกที่
ขึ้นอยู่กับ K X .
เพราะข้อ จำกัด ที่ K เป็น nonnegative เครื่องบินสามารถ
แบ่งออกเป็นสองภาค กำหนดโดย k = 0 K - 0 ( ดูรูปที่ 2 ) ในการใช้ที่สะดวกของศัพท์ที่ผมจะอ้างถึงความเชื่อของ
จุดแบ่ง 2 ภาคนี้เป็น K = 0 - . ตามความเชื่อนี้
ทั้งสองเงื่อนไข C = I ; ( k ) และโด ( C ) = XDG ( [ F ( K ) c - ] LK ) ต้องถือ
k = 0 ดังนั้น ตนจะถูกกำหนดโดยสมการดู ( 9 ( K ) ) = x
โดยส่วนโค้งเว้าของวูมันต้องเป็น nonincreasing เส้นโค้งในระนาบ Kx .
ตามปกติ สมการ = 0 กำหนดความเชื่อง่าย ในเครื่องบิน
เมื่ออนุพันธ์ dih ( K ( , x ) คือการประเมินตามความเชื่อ
k = 0 , สมการที่สามารถเขียน / x = 8 - D ( K ) ถ้า D9 เพิ่ม
โดยไม่ผูกพันมีอยู่ค่า K ที่ D9 ( K ) k
8 ทั้งหมดscheinkman ( 1983 ) พิสูจน์ความจำเป็นของขวางสภาพปัญหาครั้ง nonconcave

ในเวลาต่อเนื่อง หลักฐานที่ต้องใช้เงื่อนไขลิพชิทซ์
ท้องถิ่นจะได้รับโดย aubin และ คลาร์ก ( 1979 )

เพิ่มผลตอบแทนมากกว่า 1023 k และทั้งหมดเช่น K , A = 0 - อยู่ข้างบน K = 0 =
- . มันอาจจะให้ขึ้นหรือลงลาด . ถ้าเป็นเว้า
3และเงื่อนไขอินาดะ ปกติพอ ฉัน = 0 จะข้าม K = 0 =
จากข้างต้นและผลสภาวะจะมีเสถียรภาพในปกติ
อานจุดเลย ที่นี่ , K = 0 อาจข้าม K = 0 =
ทั้งจากด้านบนหรือจากด้านล่าง ถ้า d9i ( K ) ไปมากกว่า 8 , a = 0 ตนอยู่ทุกที่ข้างบน
k = 0 ความเชื่อและ K สามารถถ่ายเป็นศูนย์ .
( เป็นกรณีนี้แสดงในรูปที่ 2) เริ่มจากค่าเริ่มต้น
มากกว่า K , วิถีที่เหมาะสม ( K ( , t ) k ( t ) t ? 0 จะต้องยังคงอยู่
เหนือเขตที่ k = 0 เส้นทางในภูมิภาคใด ๆที่ข้าม
สามารถแสดงขวางละเมิดเงื่อนไข โดย
k ( T ) เติบโตขึ้นโดยไม่ต้องผูกพันตามวิถีที่เหมาะสม .
ไม่สามารถที่เหมาะสมสังคมนี้ได้รับการสนับสนุนโดย
สมดุล แข่งขันในกรณีที่ไม่มีการแทรกแซงของรัฐบาล การแข่งขันใด ๆบริษัท ที่ต้องใช้
k ( t ) ที่ได้รับและจะเผชิญกับสังคมชายขอบ
ผลิตภัณฑ์ราคาแข่งขัน จะไม่เลือกที่จะอยู่ที่ปริมาณที่เหมาะสม
ถึงแม้จะคาดว่า บริษัท อื่น ๆทั้งหมดที่จะทำเช่นนั้น แต่ละ บริษัท จะเผชิญ
ผลิตภัณฑ์เพิ่มส่วนของความรู้ ( วัดในแง่ของสินค้า
กระแส ) เท่ากับ d1f ;แต่ความจริงเงาราคาทุน
จะ idle sd2f > idle . ระบุความแตกต่างนี้ แต่ละบริษัทจะ
เลือกที่จะได้รับน้อยกว่าปริมาณที่เหมาะสมของสังคมความรู้